湘教版数学八年级下册全册教案含教学反思.docx

1、湘教版数学八年级下册全册教案含教学反思第1章直角三角形1 . 1直角三角形的性质和判定（I ）第1课时直角三角形的性质和判定1 掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角 形是直角三角形；（重点）2探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质.（重点、难点）、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质.二、合作探究探究点-直角三角形两锐角互余如图，AB/ DF, AC丄BC于 C, BCA.110 B . 100 C . 80 D . 70解析： ACL BC于 A

2、BC是直角三角形， ABC= 90/ A= 9020= 70, / ABC=Z 1= 70, v AB/ DF, /./ 1 + / CE1180,即/CEF=180/ 1= 180 70= 110 .故选 A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键.探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知 AB/ CD / BAF=/ F,/ ED(=/ E,求证： EOF是直角三角形.解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证厶EOF是直角三角形，只需证/ E+Z F= 90即可，而/ E11=2(180 -Z BC

3、D，Z F = 2(180 -z ABC，由 AB/ CD 可知Z ABC+Z BC亠180，即问题得证.1证明：tZ BAF=Z F，Z BAF+Z F+Z ABF= 180,：Z F= 2(180 -11Z ABF 同理，Z E= 2(180 -Z ECD E+Z F = 180 2( Z ABF+1Z ECD AB/ CD / ABF+Z EC亠 180 . /-Z E+Z F= 180- p 180 =90，/ EOF是直角三角形.方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180，如果一个三角形中有两个角的和为 90，可知该三角形为直角三角形.探究点三：直角三角形斜边

4、上的中线等于斜边的一半如图， ABC中，AD是高，E、F 分别是AB AC的中点. 若A吐10, AC= 8,求四边形AEDF的周长；(2)求证：EF垂直平分AD1解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DE= AE=?AB,1DF= AF= 2AC,再根据四边形的周长的公式计算即可得解； 根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可.11(1)解：TAD是高，E、F分别是AB AC的中点， DE= AE= 吐必10=1 15, DF= AFpAC= 2X 8= 4,二四边形 AEDF勺周长二 AE+ DR DF+ AF= 5 + 5 + 4 + 4= 18;

5、(2)证明：DE= AE DF= AF,a E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的 垂直平分线上的点， EF垂直平分AD方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直 角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或 证明.探究点四：直角三角形性质的综合运用类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在 ABC中，A吐AC, /BAC= 120, EF为AB的垂直平分线，交 BC于F,交AB于点E.求证：FC= 2BF解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接 AF,得到 AFB为等腰三角形.又可求得/ B=Z C=Z BAI 3

6、0,进而求得/ FAC 二90 .取CF的中点M连接AM,就可以利用直角三角形的性质进行证明.证明：如图，取CF的中点M连接AF、AM t EF是AB的垂直平分线，二AF1 =BF / BAF=Z B. t AB= AC,/ BAC= 120,二/ B=Z BAF=Z C= 2(180 120 ) = 30 . / FAO / BAC-/ BAM 90 .在 Rt AFC中,/ C= 30, M1为 CF的中点，/AFM= 60, AM= qFJFM / AFM为等边三角形.二 AF= AM =|fC.又t BF= AF,： BF= 2fc 即 FC= 2BF.方法总结：当已知条件中出现直角三

7、角形斜边上的中线时，通常会运用到 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注 意找准斜边和斜边上的中线.类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点 A、B、C D处，球放在EF的中点0处，则游戏 （填“公平”或“不公平”）.解析：游戏是否公平就是判断点 A B C D到点0的距离是否相等四个 直角三角形有公共的斜边 EF,且0为斜边EF的中点连接OA OB OC 0D根 据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知， 0A 0圧0C= 0D1=2EF，即点A B、C D到0的距离相等由

8、此可得出结论：游戏公平.方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应 连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解 题.【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在Rt ABC中，A吐AC,/ BAC= 90, O 为 BC 的中点.(1)写出点0到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系； 如果点MN分别在线段ABAC上移动，移动中保持AN= BM请判断 OMN 的形状，并证明你的结论.1解析： 由于 ABC是直角三角形，O是BC的中点，得O爪0吐OC=?BC(2)由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得

9、/ CAOZ B=Z 45, OA= OB 又 AN= MB 所以 AON2 BOM 所以 ON= OM/ NO怎Z MOB于是有Z NOMZ AOB= 90,所以 OMI是等腰直角三角形.解： 连接AQ在Rt ABC中，/ BAG 90, O为BC的中点，二OABC=QB= QC 即 QA QB= QC(2) QMN是等腰直角三角形.理由如下：T AO BA, QC= QB Z BAG 90,1 QA= QB Z NAdqZ CA圧 Z B= 45, AQL BC,又 AN= BM / AQN2 BQM QN= QM Z NQAZ MQB Z NQA_Z AQMtZ MQg-Z AQM Z

10、NQMtZ AQB 二90, MQN是等腰直角三角形.方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半， 直角三角形两锐角互余.三、板书设计1.直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2.直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形.通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角 三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题在今后的教

11、学中应让学生不断强化提高这一第2课时 含30锐角的直角三角形的性质及其应用1 理解并掌握含30锐角的直角三角形的性质；（重点）2能利用含30锐角的直角三角形的性质解决问题.（难点）一、情境导入用两个全等的含30角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流二、合作探究探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半4i等腰三角形的一个底角为75。，腰长4cm那么腰上的高是 cm这个三角形的面积是 cm.解析：因为75不是特殊角，但是根据“三角形内角和为 180”可知等腰三角形的顶角为30，依题意画出图形，则有/ A= 30, BD

12、丄AC, AB= 4cm,所以 BD= 2cm, Saab= qAC BD= qx 4X 2= 4(cm).故答案为 2, 4.方法总结：作出准确的图形、构造含 30角的直角三角形是解决此题的关键.探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对的角等于30如图所示，在四边形 ACB冲，AD/ BC AB丄AC且AC= *BC求/ DAC的度数.解析：根据题意得/ CBA= 30，由平行得/ BA亠30，进而可得出结论.解： AB丄 AC /CA= 90 . t AC= 2bC :丄 CBA= 30 . v AD/ BC/ BAD= 30，aZ CA=/ CABZ

13、BAD= 120 .方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30。的角，再利用相关条件求解.探究点三：含30锐角的直角三角形性质的应用B如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60方向; 该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30方向； 航行到D处，观测到海岛B在北偏西30方向；当船到达C处时恰与海岛B相 距20海里.请你确定轮船到达 C处和D处的时间.解析：根据题意得出/ BAC / BCD / BDA勺度数，根据直角三角形的性质 求出BC AC CD的长度.根据速度、时间、路程关系式求出时间.解：由题意得/ BC圧90 30= 6

14、0,/ BDC= 90 30= 60 .二/ BCD=Z BD(= 60, BCD为等边三角形.在厶ABD中, v/ BAD= 90 60 =30, / BD(= 60,二/ AB 90,即厶ABD为直角三角形，/ ABC= 30 .1v BC= 20 海里， CD= BD= 20 海里.又 v BD= qAD 二 AD= 40 海里.二 AC= ADCD= 20(海里).v船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为10= 2(h)，从A处到D处的时间为40 = 4(h) .轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分.方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的

15、原则，弄清楚方位角是 解决这类题的关键，再利用含 30。角的直角三角形的性质解题.三、板书设计1.含30锐角的直角三角形的性质(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所 对的角等于30 .2.含30锐角的直角三角形的性质的应用.在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误 1.2直角三角形的性质和判定（n）第1课时勾股定理1 经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的

16、思想； （重点）2掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；（重点）3 了解利用拼图验证勾股定理的方法.（难点）、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉 斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角 三角形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理D 已知：如图，在 ABC中，/ ACB= 90，AB= 13cm BC= 5cm, CDL AB于D,求：(1)AC的长;(2)Saabc；CD的长.解析： 由于在 ABC中，/ ACB= 90 , AB= 13cm

17、 BC= 5cm,根据勾股 定理即可求出AC的长； 直接利用三角形的面积公式即可求出 Sabc； (3)根据 CD- A吐BC- AC即可求出CD解： t 在厶 ABC中, / ACB= 90 , AB= 13cm BC= 5cm 二 AC= , AB BC =12(cm);1 1 2(2)- Saabc= CB AC= qX 5X 12= 30(cm);-AB, t Sa abc= 1AC- BC=AC- BC 60二 C= AB =召cm)-方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用 两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解 这个方程即可.

18、类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在厶ABC中, AB= 15, AC= 13, BC边上的高 AD= 12,试求 ABC周长.解析：本题应分厶ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解：此题应分两种情况：(1)当厶ABC为锐角三角形时，如图所示，在 Rt ABD中, BD= ,AB AD =；152 122= 9, 在 Rt ACD中，CC=pAC2 AD =寸 132 122 = 5,二 BC= 5+ 9 =14,二厶 ABC的周长为 15+ 13+ 14= 42; 当厶ABC为钝角三角形时，如图所示，在 Rt ABD中, BD= .AB AD=152 122= 9.在 Rt

19、ACD中, CD= AC AD = 132 122 = 5,二 BC= 9 5 = 4, ABC的周长为：15+ 13 + 4 = 32,仏 ABC的周长为 32 或 42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形， 判断是否符合题意.【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合ffi如图所示，已知 ABC中，/ B= 22.5,AB的垂直平分线分别交BCAB于D F点，BD= 6 2, AE丄BC于E,求AE的长.解析：欲求AE,需与BD联系，连接AD,由线段垂直平分线的性质可知 AD 二BD可证 ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求 AE的长.解：如图所示，连接 AD

20、v DF是线段AB的垂直平分线，二AD= BD= 62,BAD=/ B= 22.5 . v/ ADE=X B+/ BAD= 45 , AE丄 BC DAE= 45 AE= DE 由勾股定理得 AE+ DE= Ad,. 2AE= （6 ：2）2,方法总结：22.5。虽然不是特殊角，但它是特殊角 45的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法.探究点二二勾股定理与图形的面积对任意的符合条件的直角三角形 ABC绕其顶点A旋转90。得直角三角形AED所以/ BAE= 90，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 面积相等，而四边形 ABFE

21、的面积等于Rt BAE和Rt BFE的面积之和根据图 示写出证明勾股定理的过程；任意的符合条件的两个全等的 Rt BEA和Rt ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗?解析：方法1:根据四边形ABFE的面积等于Rt BAE和Rt BFE的面积之 和进行解答；方法 2:根据 ABC和Rt ACD的面积之和等于 Rt ABDft BCD 的面积之和解答.解：方法1：S 正方形 ACFD= S 四边形 ABFE= SBAe+ Sa BFE,2 1 2 1即 b =2c + 2(b + a)( b a),整理得 2b2 = c2 + b2 a2,： a2 + b2= c2；方法2： S

22、 四边形 ABCD= Saabc+ SA AC, S 四边形 ABCD= Saabd+ SA BCD, 即 Saabc+ SA ACD= Sa ABD1111+ Sabcd, 即2圧+ 2&b= qc2+ 2*（b a），整理得 b2+ ab= c2 + a（b a）, b2 + ab= c2 + ab a2 , a2+ b2= c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.三、板书设计1 .勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为 a , b ,斜边长为c ,那么a2 + b2= c2.2.勾股定理

23、的应用3.勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中，提 高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突 破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层 层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破本节课的难点第2课时勾股定理的实际应用1.熟练运用勾股定理解决实际问题；（重点）2.勾股定理的正确使用.（难点）、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B处, 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A处爬向B处，你们想- 想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际

24、生活中的应用类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用D如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳 子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳问6秒后船向岸边移动了 多少米（假设绳子是直的，结果保留根号）？解析：开始时，AO 5米，BC= 13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC AC长度即可求得AB的值，然后解答即可.解：在 Rt ABC中, BC= 13 米，AC= 5 米，贝U AB= . BC AC= 12 米，6 秒后，BC= 13 0.5 X 6= 10米，贝U AB= - BC AC= 5,；3米，则船向岸边移动距离为（12 53）米.方法总结：在实际生产生活

25、中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角 形，在计算中常应用勾股定理.类型二】 含30或45等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用912由于过度采伐森林和破坏植被,我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭,今日A市测得沙尘暴中心在 A市的正西方向300km的B处，以10 一 7km/h的速度 向南偏东60的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出 A市受沙尘暴影响的时间.，再根据直角三角形解析：过点A作AC BF于C,然后求出/ ABG= 30130。角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC qAB,从而判断出A市受沙尘暴

26、影响，设从D点开始受影响，此时ADU 200km利用勾股定理列式求出 CD的长， 再求出受影响的距离，然后根据时间二路程宁速度计算即可得解.解：如图，过点A作ACL BF于C,由题意得，/ ABCU90 60= 30,1 1 ACU尹吐QX 300= 150(km)，v 150V200,二A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，则 AD= 200km.由勾股定理得，CD= ；AD AC= ,-2002 1502= 50 ；7(km)，受影响的距离为 2CD= 100 :7km,受影响的时间位 100 ；7- 107 =10(h).方法总结：熟记“直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半”这一

27、 性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定 理是解这类题的关键.探究点二：勾股定理在几何图形中的应用【类型一】利用勾股定理解决最短距离问题ffi如图，长方体的长BE= 15cm,宽 AB= 10cm,咼 AD= 20cm,点 M在 CH上，且CMk 5cm, 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点M,需要爬行 的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图（将正面与上面展开 ）所示，AM= /102+（ 20+ 5） 2 = 5 29，如图25(cm) .T 5 29 25,（将正面与右侧面展开）所示，AM= ：202+（ 10 + 5 ） 2 =第二种短些

28、，此时最短距离为 25cm如图（将正面与左侧面展开）所示，AM=；(20+ 10) 2 + 52= 5 37(cm).5 3725,二最短距离为 25cm.I 图方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前 面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可.【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题，且B C= 3,则AM的长是（ ）点A的对应点为AD如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MNff叠，使点B

29、 落在CD边上的B处，A. 1.5 B . 2C，在MDB 中，B M = MD+ DBz 2, / MB= MB，即 92 + x2= (9 x)2+ (9 - 3)2,解得 x= 2,HcRt ABM中, AW + AM= BM,在 Rt AB + AM = BM= Bf M= mD+ DB 2, 即AM= 2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为 X，然后用含有x的式子 表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（)A. 5+ 1 B .划:5+ 1C. .5- 1 D. ；;5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即 可求出A点的坐标.图中的直角三角形的两直角边为 1和2,二斜边长为；12+ 22=;5，a- 1到A的距离是，5 那么点A所表示的数为.5- 1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离.三、板书设计1.勾股定理在实际生活中的应用2.勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“ a2 + b2= c2”，没有分析问题 的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学 模型还存在较大的