湘教版数学八年级下册全册教案含教学反思.docx
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湘教版数学八年级下册全册教案含教学反思
第1章直角三角形
1.1直角三角形的性质和判定（I）
第1课时直角三角形的性质和判定
1•掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；（重点）
2•探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性
质.（重点、难点）
、情境导入
在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三
角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质.
二、合作探究
探究点-
「直角三角形两锐角互余
如图，AB//DF,AC丄BC于C,BC
A.110°B.100°C.80°D.70°
解析：
•••ACLBC于ABC是直角三角形，•―ABC=90°—/A=90°
—20°=70°,/•/ABC=Z1=70°,vAB//DF,/./1+/CE1180°,即/CEF
=180°—/1=180°—70°=110°.故选A.
方法总结：
熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题
的关键.
探究点二：
有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，已知AB//CD/BAF
=/F,/ED（=/E,求证：
△EOF是直角三角形.
解析：
三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问
题的突破口，本题欲证厶EOF是直角三角形，只需证/E+ZF=90°即可，而/E
11
=2（180°-ZBCD，ZF=2（180°-zABC，由AB//CD可知ZABC+ZBC亠
180°，即问题得证.
1
证明：
tZBAF=ZF，ZBAF+ZF+ZABF=180°,：
ZF=2（180°-
11
ZABF•同理，ZE=2（180°-ZECDE+ZF=180°—2（ZABF+
1
ZECD••••AB//CD•••/ABF+ZEC亠180°./-ZE+ZF=180°-p180°=
90°，/△EOF是直角三角形.
方法总结：
由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为
180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形.
探究点三：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是ABAC的中点.
⑴若A吐10,AC=8,求四边形AEDF的周长；
（2）求证：
EF垂直平分AD
1
解析：
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=AE=?
AB,
1
DF=AF=2AC,再根据四边形的周长的公式计算即可得解；⑵根据“到线段两
端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可.
11
（1）解：
TAD是高，E、F分别是ABAC的中点，•••DE=AE=吐必10=
11
5,DF=AFpAC=2X8=4,二四边形AEDF勺周长二AE+DRDF+AF=5+5+4+4=18;
（2）证明：
：
DE=AEDF=AF,aE是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，•••EF垂直平分AD
方法总结：
当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明.
探究点四：
直角三角形性质的综合运用
［类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系
如图，在△ABC中，A吐AC,/
BAC=120°,EF为AB的垂直平分线，交BC于F,交AB于点E.求证：
FC=2BF
解析：
根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF,得到△AFB为等腰三角形.又可求得/B=ZC=ZBAI30°,进而求得/FAC二90°.取CF的中点M连接AM,就可以利用直角三角形的性质进行证明.
证明：
如图，取CF的中点M连接AF、AMtEF是AB的垂直平分线，二AF
1=BF•••/BAF=ZB.tAB=AC,/BAC=120°,二/B=ZBAF=ZC=2（180°
—120°）=30°.•••/FAO/BAC-/BAM90°.在Rt△AFC中,/C=30°,M
1
为CF的中点，•••/AFM=60°,AM=qFJFM/•△AFM为等边三角形.二AF=AM=|fC.又tBF=AF,：
BF=2fc即FC=2BF.
方法总结：
当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线.
［类型二】利用直角三角形的性质解决实际问题
如图所示，四个小朋友在操场上
做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、B、CD处，球放在
EF的中点0处，则游戏（填“公平”或“不公平”）.
解析：
游戏是否公平就是判断点ABCD到点0的距离是否相等•四个直角三角形有公共的斜边EF,且0为斜边EF的中点•连接OAOBOC0D根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，0A0圧0C=0D
1
=2EF，即点AB、CD到0的距离相等•由此可得出结论：
游戏公平.
方法总结：
题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题.
【类型三】利用直角三角形性质解动态探究题
如图所示，在Rt△ABC中，A吐
AC,/BAC=90°,O为BC的中点.
（1）写出点0到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系；
⑵如果点MN分别在线段ABAC上移动，移动中保持AN=BM请判断△OMN的形状，并证明你的结论.
1
解析：
⑴由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得O爪0吐OC=?
BC
（2）由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，
得/CAO^ZB=Z45°,OA=OB又AN=MB所以△AON2^BOM所以ON=OM
/NO怎ZMOB于是有ZNOMZAOB=90°,所以△OMI是等腰直角三角形.
解：
⑴连接AQ在Rt△ABC中，/BAG90°,O为BC的中点，二OA^BC
=QB=QC即QAQB=QC
（2）△QMN是等腰直角三角形.理由如下：
TAOBA,QC=QBZBAG90°,
1
•••QA=QBZNAdqZCA圧ZB=45°,AQLBC,又AN=BM/•△AQN2^BQM
•••QN=QMZNQA^ZMQB•ZNQA_ZAQMtZMQg-ZAQM•ZNQMtZAQB二90°,•△MQN是等腰直角三角形.
方法总结：
解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比
如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余.
三、板书设计
1.直角三角形的性质
性质一：
直角三角形的两锐角互余；
性质二：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.直角三角形的判定
方法一：
一个角是直角的三角形是直角三角形；
方法二：
两锐角互余的三角形是直角三角形.
通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的
中点利用中线这一性质解决问题•在今后的教学中应让学生不断强化提高这一
第2课时含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
1•理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；（重点）
2•能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题.（难点）
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？
说说
理由，并把你的发现和大家交流
二、合作探究
探究点一：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直
角边等于斜边的一半
4
i®❶等腰三角形的一个底角为75。
，腰长4cm那么腰上的高是cm
这个三角形的面积是cm.
解析：
因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等
腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有/A=30°,BD丄AC,AB=4cm,
所以BD=2cm,Saab=qAC・BD=qx4X2=4（cm）.故答案为2,4.
方法总结：
作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关
键.
探究点二：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
如图所示，在四边形ACB冲，AD//BCAB丄AC且AC=*BC求/DAC
的度数.
解析：
根据题意得/CBA=30°，由平行得/BA亠30°，进而可得出结论.
解：
•••AB丄AC•••/CA=90°.tAC=2bC:
丄CBA=30°.vAD//BC
/BAD=30°，aZCA=/CAB^ZBAD=120°.
方法总结：
如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出
30。
的角，再利用相关条件求解.
探究点三：
含30°锐角的直角三角形性质的应用
B如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向;该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里.请你确定轮船到达C处和D处的时间.
解析：
根据题意得出/BAC/BCD/BDA勺度数，根据直角三角形的性质求出BCACCD的长度.根据速度、时间、路程关系式求出时间.
解：
由题意得/BC圧90°—30°=60°,/BDC=90°—30°=60°.二/BCD=ZBD（=60°,•••△BCD为等边三角形.在厶ABD中,v/BAD=90°—60°=30°,/BD（=60°,二/AB—90°,即厶ABD为直角三角形，/•/ABC=30°.
1
vBC=20海里，•••CD=BD=20海里.又vBD=qAD二AD=40海里.二AC=AD
—CD=20（海里）.v船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间
为10=2（h），从A处到D处的时间为40=4（h）.•轮船到达C处的时间为13时
30分，到达D处的时间为15时30分.
方法总结：
方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30。
角的直角三角形的性质解题.
三、板书设计
1.含30°锐角的直角三角形的性质
（1）在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；
（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
2.含30°锐角的直角三角形的性质的应用.
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一
般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两
直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误•
1.2直角三角形的性质和判定（n）
第1课时勾股定理
1•经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；（重点）
2•掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；（重点）
3•了解利用拼图验证勾股定理的方法.（难点）
、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?
二、合作探究
探究点一：
勾股定理
【类型一】直接运用勾股定理
D已知：
如图，在△ABC中，/ACB=90°，AB=13cmBC=5cm,CDLAB
于D,求：
（1）AC的长;
（2）Saabc；
⑶CD的长.
解析：
⑴由于在△ABC中，/ACB=90°,AB=13cmBC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长；⑵直接利用三角形的面积公式即可求出S^abc；（3）根据CD-A吐BC-AC即可求出CD
解：
⑴t在厶ABC中,/ACB=90°,AB=13cmBC=5cm二AC=,AB—BC=12（cm）;
112
（2）-•Saabc=^CB'AC=qX5X12=30（cm）;
-AB,
⑶tSaabc=1AC-BC=
AC-BC60
二C[=AB=召cm）-
方法总结：
解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可.
［类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用
在厶ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC周长.
解析：
本题应分厶ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
解：
此题应分两种情况：
（1）当厶ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中,BD=,AB—AD=；152—122=9,在Rt△ACD中，CC=pAC2—AD=寸132—122=5,二BC=5+9=14,二厶ABC的周长为15+13+14=42;
⑵当厶ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中,BD=.AB—AD
=152—122=9.在Rt△ACD中,CD=AC—AD=132—122=5,二BC=9—5=4,•••△ABC的周长为：
15+13+4=32,「仏ABC的周长为32或42.
方法总结：
解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意.
【类型三】
勾股定理与等腰三角形的综合
ffi
如图所示，已知△ABC中，/B=22.5
AB的垂直平分线分别交
BC
AB于DF点，BD=6'2,AE丄BC于E,求AE的长.
解析：
欲求AE,需与BD联系，连接AD,由线段垂直平分线的性质可知AD二BD可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长.
解：
如图所示，连接ADvDF是线段AB的垂直平分线，二AD=BD=6「2,
BAD=/B=22.5.v/ADE=XB+/BAD=45,AE丄BCDAE=45•••AE=DE由勾股定理得AE+DE=Ad,.2AE=（6：
2）2,
方法总结：
22.5。
虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常
利用等腰三角形和外角进行转换•直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的
方法.
探究点二
二勾股定理与图形的面积
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90。
得直角三角形
AED所以/BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和•根据图示写出证明勾股定理的过程；
任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示
再写一种证明勾股定理的方法吗?
解析：
方法1:
根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2:
根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABDft^BCD的面积之和解答.
解：
方法1：
S正方形ACFD=S四边形ABFE=S^BAe+SaBFE,
2121
即b=2c+2（b+a）（b—a）,
整理得2b2=c2+b2—a2,：
a2+b2=c2；
方法2：
S四边形ABCD=Saabc+SAAC,S四边形ABCD=Saabd+SABCD,即Saabc+SAACD=SaABD
1111
+Sabcd,即2圧+2&b=qc2+2*（b—a），整理得b2+ab=c2+a（b—a）,b2+ab=c2+ab—a2,a2+b2=c2.
方法总结：
证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图
形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.
三、板书设计
1.勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
2.勾股定理的应用
3.勾股定理与图形的面积
课堂教学中，要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究突破本节课的难点•
第2课时勾股定理的实际应用
1.熟练运用勾股定理解决实际问题；（重点）
2.勾股定理的正确使用.（难点）
、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处,恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想-想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：
勾股定理在实际生活中的应用
［类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用
D如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳•问6秒后船向岸边移动了多少米（假设绳子是直的，结果保留根号）？
解析：
开始时，AO5米，BC=13米，即可求得AB的值，6秒后根据BCAC长度即可求得AB的值，然后解答即可.
解：
在Rt△ABC中,BC=13米，AC=5米，贝UAB=.BC—AC=12米，6秒
后，BC=13—0.5X6=10米，贝UAB=-BC—AC=5,；3米，则船向岸边移动距离
为（12—5「3）米.
方法总结：
在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理.
［类型二】含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用
912
由于过度采伐森林和破坏植被,
我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭,
今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以10一7km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区
域，问：
A市是否会受到沙尘暴的影响？
若不会，说明理由；若会，求出A市受
沙尘暴影响的时间.
，再根据直角三角形
解析：
过点A作AC^BF于C,然后求出/ABG=30
1
30。
角所对的直角边等于斜边的一半可得ACqAB,从而判断出A市受沙尘暴影
响，设从D点开始受影响，此时ADU200km利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间二路程宁速度计算即可得解.
解：
如图，过点A作ACLBF于C,由题意得，/ABCU90°—60°=30°,
11
•••ACU尹吐QX300=150（km），v150V200,二A市受沙尘暴影响，设从D点开
始受影响，则AD=200km.由勾股定理得，CD=；AD—AC=,-2002—1502=50；7
（km），•受影响的距离为2CD=100:
7km,受影响的时间位100；'7-10「7=
10（h）.
方法总结：
熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键.
探究点二：
勾股定理在几何图形中的应用
【类型一】
利用勾股定理解决最短距离问题
ffi
如图，长方体的长
BE=15cm,宽AB=10cm,咼AD=20cm,点M在CH
上，且CMk5cm,—只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少？
解：
分三种情况比较最短距离：
如图①（将正面与上面展开）所示，AM=/102+（20+5）2=529，如图
25（cm）.T529>25,
②（将正面与右侧面展开）所示，AM=：
202+（10+5）2=
•••第二种短些，此时最短距离为25cm如图③（将正面与左侧面展开）所示，AM
=；（20+10）2+52=537（cm）.537>25,二最短距离为25cm.
I图③
方法总结：
因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面
展开时，考虑要全面，不要有所遗漏.不过要留意展开时的多种情况，虽然看
似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：
前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可.
【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题
，且B'C=3,则AM的长是（）
点A的对应点为A
D如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MNff叠，使点B落在CD边上的B'处，
A.1.5B.2
C
，在
MDB中，B'M=MD+DBz2,•/MB=MB，
即92+x2=（9—x）2+（9-3）2,解得x=2,
H'
c
Rt△ABM中,AW+AM=BM,在Rt△•••AB+AM=BM=BfM=mD+DB2,即AM=2.故选B.
方法总结：
解题的关键是设出适当的线段的长度为X，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答.
【类型三】
勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点
A所表示的数为a，则a的值是（
）
A.'5+1B.—划:
'5+1
C..'5-1D.；;5
解析：
先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标.图中的直角三角形的两直角边为1和2,二斜边长为；12+22
=;'5，a-1到A的距离是，5那么点A所表示的数为..'5-1.故选C.
方法总结：
本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确
定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离.
三、板书设计
1.勾股定理在实际生活中的应用
2.勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2+b2=c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的
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