届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题解析版.docx

1、届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题解析版2020 届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题一、单选题1若命题甲： x 1 0 ，命题乙： lg2 x lgx 0，则命题甲是命题乙的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.非充分也非必要条件【答案】 A【解析】 分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系 .【详解】解：当 x 1 0，即 x 1时， lg2 x lg x lg21 lg1 0 ，故命题甲可推出命题乙；2当lg x lgx 0,可得x 1或x 10,故命题乙不可以推出命题甲 ，故命题甲是命题乙的充分非必要条件，故选：A.【点睛】 本题考查

2、充分性和必要性的判断,是基础题 .2.已知函数f 1（x）为函数f（x）的反函数，且函数 f（x 1）的图像经过点（1,1），则函数 f 1（x） 的图像一定经过点（ ）A. （0，1） B. （1，0） C. （1，2） D. （2，1）【答案】 B【解析】 先求出函数f（x）的图像必经过点，然后即可求出函数 fix）的图像一定经过点.【详解】解：函数 f（x 1）的图像经过点 （1，1）,则函数 f（x） 的图像经过点 （0，1）,则函数 f 1（x） 的图像一定经过点 （1，0）,故选： B.【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系,属于基础题3 .以抛物线y2 4x的焦点

3、为右焦点，且长轴为 4的椭圆的标准方程为（ ）第 1 页 共 17 页2A. L2y 1x2B.y2 11615164【答案】C【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点,2 2C.二乂4 31 D.2x 2彳7 y 1即可得椭圆中a,b的关系，再根据长轴长可得椭圆a，进而可求出b，即可得椭圆的标准方程【详解】2 2解：有已知抛物线 寸4x的焦点为（1,0），设椭圆方程为 爲爲1， a b则a2 b2 1，又由已知a 2，所以b2 3，2 2故椭圆方程为1，4 3故选：C.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题 4 动点A（x, y）在圆x2 y2 1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一

4、周的时间恰好是12秒，已知时间t 0时，点A的坐标是（3 1），则动点A的纵坐标y关2 2于t （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. 0,3 B. 3,6 C. 6,9 D. 9,12【答案】D【解析】 先根据题意：已知时间t 0时，点A的坐标是（3丄），得 xOA0 -,2 2 3再依据每12秒运动一周得出点 A每秒旋转的角度，从而t秒旋转一t ,利用三角函数的6定义即可得出y关于t的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间【详解】解：根据题意，得 xOA3，点A每秒旋转126，所以t秒旋转t ,A0OAt,xOA66则ysinxOA sint63令一2kt2k,k Z ,26

5、32解得：512k t112k,kZ ,经检验:当k 1时，7t13,故D符合,故选：D.【点睛】6t本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、三角函数的应用等基础知识,考查运算求解能力，属于基础题.、填空题2，则 AI B 5若集合 A x|0 x 3，集合 B x|x【答案】(0, 2)【解析】 直接利用交集的概念运算即可【详解】解：由已知AI B x| 0 x 2 ,故答案为：(0,2)【点睛】本题考查交集的运算，是基础题limn2n23n2 1第3页共17页【解析】将原式变形为,进而直接求极限即可【详解】解: nim2n23n2 1limn2故答案为：-3【点睛】本题考查极限的求法,

6、是基础题7 已知复数z满足iz 1（i为虚数单位），则z【答案】,2 .【解析】试题分析：因为izi，所以1 i1 i i 1,z，也可利用复数模的性质求解:iz【考点】复数的模8 若关于x、y的方程组为1，则该方程组的增广矩阵为2【答案】【解析】直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵【详解】解：由题意可得方程组的增广矩阵为故答案为：1 1 11 1 2【点睛】本题考查增广矩阵的定义，是基础题9设a.是等差数列，且a1 3,asa518，则 a.【答案】2n+1an .【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出【详解】解：设等差数列an的公差为d，则a3 a5 a1 2d

7、 a1 4d 18，又 a1 3,an 2n 1 , 故答案为：2n+1.【点睛】 本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题610 .在X 1 的二项展开式中，常数项的值为x【答案】15【解析】写出二项展开式通项，通过 63r0得到r从而求得常数项【详解】二项展开式通项为:c6 x6 r常数项为：C：15本题正确结果：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题11 已知圆柱的底面半径为 1,母线长为则其侧面积为【答案】【解析】根据圆柱的侧面积公式,即可求得该圆柱的侧面积，得到答案【详解】由题意,圆柱的底面半径为 1,母线长为根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为S 2

8、 rl 2 12 4.【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用,其中解答中熟记圆柱的侧面积公式,准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,属于基础题11112 已知集合 A 2, 1, , , ,1,2,3，任取k A，则幕函数f(x) xk为偶函数2 3 2的概率为 (结果用数值表示)1【答案】丄4k【解析】首先找到使幕函数f(x) X为偶函数的所有k ,然后利用概率公式求解即可【详解】解：要幕函数f (x) X”为偶函数，则k 2,2，2 1故使幕函数f(x) xk为偶函数的概率为8 41故答案为：丄4【点睛】本题考查幕函数的性质及简单的古典概型，是基础题 .13 在 ABC中，

9、边a、b、c满足a b 6， C 120，则边c的最小值为 【答案】【解析】3.3c2 36ab ,利用条件求出ab的利用a22b (a2b) 2ab和余弦定理得出最大值，代入c236 ab，即可得边c的最小值.【详解】解：由已知c22 .2a b2abcos120o (a b)22ab ab36 ab22Q aba b69 ,22c2 36 9 27，c 3,3，故答案为：3【点睛】本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题 .14.若函数y ax 2a (1 x2存在零点，则实数 a的取值范围是 【答案】0屈3【解析】将函数y ax 2a 、1 x2存在零点转化为f(x) ax 2 ,

10、g(x) . 1 x2 图像有交点，作出图像，观察图像得出实数 a的取值范围.【详解】解：设 f (x) a x 2 , g(x) , 1 x2，则函数y ax 2a , 1x2存在零点等价于f(x) a x 2 , g(x) . x2图像有交函数f(x) a x 2的图像恒过点(2,0)，当其和函数g(x)J x2的图像相切时,所以f (x) a x 2 ,g(x) . 1 x2的图像有交点时0故答案为:【点睛】本题考查函数零点问题的研究， 关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题， 考核作图能力和数形结合的思想，是中档题 15已知数列an,印1, nan 1 (n 1总1，若对于任意的a

11、2,2, n N* ,不等式 电丄3 a 2t恒成立，则实数t的取值范围为 n 1【答案】(,1a n 1 an 1 1 1【解析】由题意可得- ，运用累加法和裂项相消求和可n 1 n n(n 1) n n 1得1，再由不等式恒成立问题可得 2 3a 2t恒成立，转化为最值问题可得实数t的n 1取值范围.【详解】n 1 (n 1)an 1,解：由题意数列an中,即nan勺（n 1）务 1则有an 1a.n1n1n(n1)则有an1an1 ann1n1 n1111nn1n 1n又对于任意的a 2,2, 即2 3 a 2t对于任意的1 1an 21a： aa1n 223 a 2f恒成立,n n 1

12、an an 1 an 1n n 1 n 11 1n 2 n 1dn 1 n N ，不等式n 1I 2,2恒成立，a 2t 1，a 2,2恒成立， 2 2 1 t 1 ,故答案为：（，1【点睛】本题考查了数列递推公式， 涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将 na* 1 （n 1）a* 1变形为a口 1 .n 1 n n n 1sinsin x2sin Xn 016 .如果方程组有实数解，则正整数 n的最小sin2sin X2nsin Xn2019值是【答案】90【解析】当n90时，用方程（2）减去方程（1,）的45倍，然后利用三角函数的有界性，发现矛盾，故从 n

13、 90开始分析，当n 90,我们可以取丄,xgc使sinXj 1(i 1,2,L ,45) , sin Xj 1(j 46,47丄,90)得出方程组的实数解，进而可得正整数n的最小值.【详解】si门为 sinx2 sinxn 0 (1)如果n 90，对于方程组 1 2 n v 7sin 2sin x2 n sin 2019 (2)用方程(2)减去方程(1 )的45倍，得44sin x| 43sin x2 L sin x44sin x462sin x47L (n45)sin xn 2019(3)(3)式的左端的绝对值不大于 (44431)21980 ,因此(3)式不可能成立，故原方程组当n90时

14、无解;从 n90开始分析，当n90 ,我们可以取 人，X2丄,X90使sin xi1(i 1,2,L ,45)sin xj1(j 46,47,L ,90)(sin x12sinx2 nsin xjmax1 2 34546 4790 2025则sin x12sin x2 nsinxn 1 2342430 44 045 46 0 47 048 49 90 2019 时，nmin 90故答案为：90.【点睛】本题考查三角函数有界性的应用， 关键时要发现n 90时，原方程组无解，考查了学生计算能力和分析能力，本题难度较大 三、解答题17 .如图，四棱锥S ABCD的底面是正方形， SD 平面ABCD

15、, SD AD a，点E是线段SD上任意一点(1)求证：AC BE ;(2)试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30【答案】(1)证明见解析(2)当ED 丄6 a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30【解析】(1)连结BD，通过证明AC 平面SBD，即可得AC BE .另外可以利用 空间向量证明线线垂直；(2)由SD丄平面ABCD可得BE与平面ABCD所成角为 EBD，ED t，在Rt EDB中可求出t值，即可得到点 E的位置另外还可以用空间向量法求线面角 【详解】(1) 证明：连结BD，因为四边形 ABCD为正方形，所以，AC BD ,又因为SD丄平面ABCD , AC 平

16、面ABCD ,AC BD所以AC SD 由 AC SD AC 平面SBD.BD SD D又因为BE 平面SBD，所以AC BE (2)解法一：设 ED t,因为SD丄平面ABCD ,所以BE与平面ABCD所成角为 EBD在 Rt EDB 中，由 tan EBD tan 30所以，当ED a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30 3解法2: (1 )以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.设 DE t,则 E(0,0, t)C 0, a,0uuv uuv则 AC a,a,0 , BEa, a,t因为 AC BE a2 a2 0 0，所以AC BE ;(2)取平面ABCD的一个法向量为n 0,0,1

17、UJV v因为BE a, a,t，可知直线be的一个方向向量为d a, a,t设BE与平面ABCD所成角为 ，由题意知30 d与n所成的角为贝y cosv v d n vv j nt爲2=a2=t2因为sincos12，所以，.a2ta2t2解得，t当EDBE与平面ABCD所成角的大小为30o 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解， 考查计算能力和空间想象能力,18 已知函数 f(x) 2cos2 x . 3sin2x.是基础题.(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间;, , uu uur(2)在厶 ABC 中，bc ba6，若函数f (x)的图像经过点(B,2)，求ABC

18、的面【答案】(1)周期T ，单调递增区间 k ,k ,k Z (2)3 33 6 m【解析】(1)将函数f(x)整理为f(x) 2sin 2x 1，进而可求出周期，令62k 2x 2k ,k Z，求出x的范围，即可得函数 f(x)的单调递增2 6 2区间；(2)由函数f (x)的图像经过点(B，2)可求出B，再根据bc ba 6，可求出ac，利用面积公式即可求出 ABC的面积【详解】解: ( 1)由已知 f(x) cos2x 1 、3sin2x 2sin 2x 16222k22x 62k,k Z，所以函数f(x)的单调递增区间为 k -,k36，k Z ；丄& f(B)2sin2B 1 2(2

19、)由已知 6B _30 Buuur uin又 BC BA accos6ac 1231Saabc acsin B1-.312 -3 3222【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定， 利用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题 .19 .某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地 政府大力扶持和引导下，村委会决定 2020年初抽出5x户(X N* , X 9 )从事水果 销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了 4x% ,1而从事水果销售的农户平均每户年收入为 (3 1 x)万元

20、.(1) 为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于 2.4万元，那么2020 年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？(2) 若一年后，该村平均每户的年收入为 f (x)(万元)，问f (x)的最大值是否可以达 到2.1万元？【答案】(1)至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作(2)可以达到2.1万元，详见解析【解析】(1)首先得出种植户的平均收入3 x 3側4x%)，得不等式叫)24,解不等式即可得出答案(2)得出该村平均每户的年收入为f(x)x x5x(3 R8 (100 5x)(1 刃，利用二100次函数的性质求出最大值【详解】(1)经过三年，种植户的平均收入为31.8(1 4

21、x%)3因而由题意x側刃24，得125 3,4 x 2.5161 f(x)x x5x(3 ) 1.8 (100 5x)(1 )5 25100丄(聖x2 66x 180)(x N100 25 5,x 9)对称轴x因而当x5 时，f(x)max 2.12 2.1 可以达到2.1万元.【点睛】 本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题20 .已知曲线C:x2 y2 1，过点T(t,0)作直线|和曲线C交于A、B两点.(1)求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离;BH倾(2)若t 0,点A在第一象限， AH x轴，垂足为H，连结BH，求直线斜角的取值范围;uun uunuuuuiu得AB E

22、F 0和ABEF(3) 过点T作另一条直线 m , m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合,如果不存在，请说明理由1【答案】(1) 1 (2) (O,arctanj (3)存在，实数t的取值集合为 , 2, ,. 2【解析】(1)求出曲线C的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可;(2) 设 l:y kx(O k 1)，A(X1，yJ,B(冷 yJ,H(N，O)，表示出直线 BH 的斜率，根据k的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；(3) 直接求出当直线l : y 0，直线m: x t和当直线l: x t,直线m:y 0时

23、，t的值，当l: y k(x t) k 0时，与双曲线联立可得(1 k2)x2 2k2tx (1 k2t2) 0，利用弦长公式求出urn| AB | 和 | EF |，利用 ABuiuEF列方程求出t的值，验证判别式成立即可得出结果【详解】(1)曲线C的焦点为F1 - 2,0 , F2 . 2,0，渐近线方程y x，由对称性，不妨计算F2 2,0至y直线y x的距离，d近01.y k2x1 2将k替换成11，可得|EF | k.k2 1 vt2 1 k2|k2 1(2)设 l: y kx(0 k 1), A(X1,yJ,B(为，)屮(,0)，从而 kBH又因为点A在第一象限，所以 0 k 1,

24、1从而kBH 0, -21所以直线BH倾斜角的取值范围是 (0,arctan?)；(3)当直线l : y 0，直线m:x tAB 2,E 0,7 ,F 0,7,2/=2 t 42当直线l : x t,直线m : y 0时，t 2不妨设l : y k(x t) k 0，与双曲线联立可得(1 k2)x2 2k2tx (1 k2t2) 0,由弦长公式，|AB| k2 2 k $(t 2|1)k 11 k| I1 k I由|AB| |EF|,可得(t2 1)k2 1 t2 1 k2,解得t 、2，此时4(k2t2 k2 1) 0 成立.因此满足条件的集合为【点睛】本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的

25、位置关系,考查计算能力，注意不要遗漏直线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题21 定义f佝月2, ,an)a a?a2 a3an限实数列an的波动强度(1)求数列1，4，2，3的波动强度;(2)若数列 a，b，c，d 满足(a b)(b c)判断f (a,b,c,d)f (a, c,b, d)是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例;(3)设数列a1, a2, , an 是数列 1 21，222，32n的一个排列,求 f (a1,a2,an)的最大值，并说明理由【答案】(1)6( 2)f a, b, c, df a,c,b,d是正确的，详见解析(3)当n为偶数时，n 4,f a1

26、, a2,., anmaxn9 2 3 ；当n为奇数时，n 3,f a1, a2,., anmaX gn 2 4，13【解析】(1)根据波动强度的定义直接计算;b d，利用a b c(2)作差 f a,b,c, d f a,c, b,d或a b c判断正负即可;(3)设b i 2 , 1 i n , bn是单调递增数列，可整理f a1, a2，an为耳 X2a2 L Xnan ,其中 X1,Xn 1, 1 ,xn 0.经过上述调整后的数列，系数X2,., Xn 1不可能为0，分n的奇偶性讨论, 确定各自含有的2, 2,1, 1的个数，进而求出f(a1,a2, , an)的最大值.【详解】解：（1）f 1,4,2,3(2)f a,b,c,df a,c, b, d是正确的证明:f a, b, c, df a,c,b,da,b,c, da,c, b, d所以f a,b,c, df a,c,b,da, b,c,da,c,b,d并且当b c时,b可以取等号,b时，db可以取等号,所以等号可以取到;(3)设 b i 21，