届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题解析版.docx
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届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题解析版
2020届上海市浦东新区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．若命题甲：
x10，命题乙：
lg2xlgx0，则命题甲是命题乙的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.
【详解】
解：
当x10，即x1时，lg2xlgxlg21lg10，故命题甲可推出命题乙；
2
当lgxlgx0,可得x1或x10,故命题乙不可以推出命题甲，
故命题甲是命题乙的充分非必要条件，
故选：
A.
【点睛】本题考查充分性和必要性的判断,是基础题.
2.已知函数f1（x）为函数f（x）的反函数，且函数f（x1）的图像经过点（1,1），则函数f1（x）的图像一定经过点（）
A.（0，1）B.（1，0）C.（1，2）D.（2，1）
【答案】B
【解析】先求出函数f（x）的图像必经过点，然后即可求出函数fix）的图像一定经过
点.
【详解】
解：
函数f（x1）的图像经过点（1，1）,则函数f（x）的图像经过点（0，1）,
则函数f1（x）的图像一定经过点（1，0）,
故选：
B.
【点睛】
本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系,属于基础题
3.以抛物线y24x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）
第1页共17页
2
A.L
2
y1
x2
B.
y21
16
15
16
4
【答案】C
【解析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点,
22
C.二乂
43
1D.
2
x2彳
7y1
即可得椭圆中
a,b的关系，
再根据长轴长
可得椭圆a，进而可求出b，即可得椭圆的标准方程
【详解】
22
解：
有已知抛物线寸4x的焦点为（1,0），设椭圆方程为爲爲1，ab
则a2b21，又由已知a2，
所以b23，
22
故椭圆方程为—1，
43
故选：
C.
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题•
4•动点A（x,y）在圆x2y21上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时
间恰好是12秒，已知时间t0时，点A的坐标是（』31），则动点A的纵坐标y关
2'2
于t（单位：
秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）
A.[0,3]B.[3,6]C.[6,9]D.[9,12]
【答案】D
【解析】先根据题意：
已知时间t0时，点A的坐标是（＜3丄），得xOA0-,
2'23
再依据每12秒运动一周得出点A每秒旋转的角度，从而t秒旋转一t,利用三角函数的
6
定义即可得出y关于t的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间
【详解】
解：
根据题意，
得xOA
3，点A每秒旋转12
6，
所以t秒旋转
t,
A0OA
t,
xOA
6
6
则y
sin
xOAsin
t
6
3
令一
2k
t
2k
kZ,
2
6
3
2
解得：
5
12kt
1
12k,k
Z,
经检验:
:
当
k1时，
7
t
13,
故D符合,
故选：
D.
【点睛】
6t
本小题主要考查在几何问题中建立三角函数模型、
三角函数的应用等基础知识,
考查运
算求解能力，属于基础题.
、填空题
2}，则AIB
5•若集合A{x|0x3}，集合B{x|x
【答案】（0,2）
【解析】直接利用交集的概念运算即可
【详解】
解：
由已知AIBx|0x2,
故答案为：
（0,2）
【点睛】
本题考查交集的运算，是基础题
lim
n
2n2
3n21
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【解析】将原式变形为
进而直接求极限即可
【详解】
解:
nim
2n2
3n21
lim
n
2
故答案为：
-
3
【点睛】
本题考查极限的求法,
是基础题
7•已知复数z满足iz1
（i为虚数单位）
，则z
【答案】,2.
【解析】试题分析：
因为
iz
i，所以
1i
1ii1,z，也可利用复数模
的性质求解:
iz
【考点】复数的模
8•若关于x、y的方程组为
1，则该方程组的增广矩阵为
2
【答案】
【解析】
直接根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵
【详解】
解：
由题意可得方程组的增广矩阵为
故答案为：
111
112
【点睛】
本题考查增广矩阵的定义，是基础题
9•设｛a.｝是等差数列，且a13,
as
a5
18，则a.
【答案】2n+1
an.
【解析】利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可求出
【详解】
解：
设等差数列｛an｝的公差为d，则
a3a5a12da14d18，又a13,
an2n1,故答案为：
2n+1.
【点睛】本题考查等差数列基本量及通项公式的求解，考查计算能力，是基础题
6
10.在
X1的二项展开式中，常数项的值为
x
【答案】
15
【解析】
写出二项展开式通项，通过6
3r
0得到r
从而求得常数项
【详解】
二项展开式通项为:
c6x6r
常数项为：
C：
15
本题正确结果：
15
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，属于基础题
11•已知圆柱的底面半径为1,
母线长为
则其侧面积为
【答案】
【解析】
根据圆柱的侧面积公式,
即可求得该圆柱的侧面积，得到答案
【详解】
由题意,
圆柱的底面半径为1,
母线长为
根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为
S2rl2124.
【点睛】
本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用,
其中解答中熟记圆柱的侧面积公式,
准确计
算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,
属于基础题
111
12•已知集合A{2,1,—,—,—,1,2,3}，任取kA，则幕函数f（x）xk为偶函数
232
的概率为（结果用数值表示）
1
【答案】丄
4
k
【解析】首先找到使幕函数f（x）X为偶函数的所有k,然后利用概率公式求解即可•
【详解】
解：
要幕函数f（x）X”为偶函数，则k2,2，
21
故使幕函数f（x）xk为偶函数的概率为
84
1
故答案为：
丄
4
【点睛】
本题考查幕函数的性质及简单的古典概型，是基础题.
13•在△ABC中，边a、b、c满足ab6，C120，则边c的最小值为
【答案】
【解析】
3.3
c236
ab,利用条件求出ab的
利用a2
2
b（a
2
b）2ab和余弦定理得出
最大值，
代入c2
36ab
，即可得边c的最小值.
【详解】
解：
由已知c2
2.2
ab
2abcos120o（ab）2
2abab
36ab
2
2
Qab
ab
6
9,
2
2
c236927，
c3,3，
故答案为：
—3
【点睛】
本题考查余弦定理以及基本不等式的应用，是基础题.
14.若函数yax2a（1x2存在零点，则实数a的取值范围是
【答案】［0屈
3
【解析】将函数yax2a、1x2存在零点转化为f（x）ax2,g（x）.1x2图像有交点，作出图像，观察图像得出实数a的取值范围.
【详解】
解：
设f（x）ax2,g（x）,1x2，
则函数yax2a,1—x2存在零点等价于f（x）ax2,g（x）.―x2图像有交
函数f（x）ax2的图像恒过点（2,0），当其和函数g（x）
Jx2的图像相切时,
所以f（x）ax2,g（x）.1x2的图像有交点时0
故答案为:
【点睛】
本题考查函数零点问题的研究，关键是将零点问题转化为函数图像的交点问题，考核作
图能力和数形结合的思想，是中档题•15•已知数列{an},印1,nan1（n1总1，若对于任意的a[2,2],nN*,
不等式电丄3a2t恒成立，则实数t的取值范围为
n1
【答案】（,1]
an1an111
【解析】由题意可得--，运用累加法和裂项相消求和可
n1nn（n1）nn1
得1，再由不等式恒成立问题可得23a2t恒成立，转化为最值问题可得实数t的
n1
取值范围.
【详解】
n1（n1）an1,
解：
由题意数列｛an｝中,
即nan勺（n1）务1
则有
an1
a.
n
1
n
1
n（n
1）
则有
an
1
an
1an
n
1
n
1n
1
1
1
1
n
n
1
n1
n
又对于任意的a[2,2],即23a2t对于任意的
11
an2
1
a：
a〔
a1
n2
2
3a2f恒成立,
nn1
anan1an1
nn1n1
11
n2n1
dn1nN，不等式——
n1
I[2,2]恒成立，
a2t1，a[2,2]恒成立，
•••22'1t1,
故答案为：
（，1]
【点睛】
本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问
题的解法，关键是将na*1（n1）a*1变形为~a口％——1.
n1nnn1
sin^
sinx2
sinXn0
16.如果方程组
有实数解，则正整数n的最小
sin^
2sinX2
nsinXn
2019
值是
【答案】90
【解析】当n
90时，用方程
（2）
减去方程（1,
）的45倍，然后利用三角函数的有界
性，发现矛盾，故从n90开始分析，当n90,我们可以取丄,xgc使
sinXj1（i1,2,L,45）,sinXj1（j46,47丄,90）得出方程组的实数解，进而
可得正整数n的最小值.
【详解】
si门为sinx2sinxn0
（1）
如果n90，对于方程组12nv7
sin^2sinx2nsin^2019
（2）
用方程
（2）减去方程
（1）的45倍，得
44sinx|43sinx2Lsinx44
sinx46
2sinx47
L（n
45）sinxn2019
（3）
（3）式的左端的绝对值不大于（44
43
1）
2
1980,
因此（
3）式不可能成立，故原方程组当
n
90时无解;
•••从n
90开始分析，
当n
90,我们可以取人，X2丄,X90
使
sinxi
1（i1,2,L,45）
sinxj
1（j46,47,L,90）
（sinx1
2sinx2nsinxjmax
123
45
4647
902025
则
sinx1
2sinx2nsinxn12
3
42
43
0440
45460470
4849902019时，nmin90
故答案为：
90.
【点睛】
本题考查三角函数有界性的应用，关键时要发现n90时，原方程组无解，考查了学生
计算能力和分析能力，本题难度较大•三、解答题
17.如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa，点
E是线段SD上任意一点•
（1）求证：
ACBE;
（2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为30°
【答案】
（1）证明见解析
（2）当ED丄6a时，BE与平面ABCD所成角的大小为30°
【解析】
（1）连结BD，通过证明AC平面SBD，即可得ACBE.另外可以利用空间向量证明线线垂直；
（2）由SD丄平面ABCD可得BE与平面ABCD所成角为EBD，EDt，在
RtEDB中可求出t值，即可得到点E的位置•另外还可以用空间向量法求线面角•
【详解】
（1）证明：
连结BD，因为四边形ABCD为正方形，
所以，ACBD,
又因为SD丄平面ABCD,AC平面ABCD,
ACBD
所以ACSD•由ACSDAC平面SBD.
BDSDD
又因为BE平面SBD，所以ACBE•
（2）解法一：
设EDt,因为SD丄平面ABCD,
所以BE与平面ABCD所成角为EBD
在RtEDB中，由tanEBDtan30°
所以，当EDa时，BE与平面ABCD所成角的大小为30°•
3
解法2:
（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.
设DEt,则E（0,0,t）
C0,a,0
uuvuuv
则ACa,a,0,BE
a,a,t
因为ACBEa2a200，
所以ACBE;
（2）取平面ABCD的一个法向量为n0,0,1
UJVv
因为BEa,a,t，可知直线be的一个方向向量为da,a,t
设BE与平面ABCD所成角为，
由题意知
30°•d与n所成的角为
贝ycos
vvdnv~vjn
t
爲2=a2=t2
因为sin
cos
1
2，所以，.a2
t
a2
t2
解得，t
当ED
BE与平面ABCD所成角的大小为30o•
【点睛】
本题考查线线垂直的证明以及线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力,
18•已知函数f（x）2cos2x.3sin2x.
是基础题.
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间;
,uuuur
（2）在厶ABC中，bcba
6，若函数f（x）的图像经过点（B,2），求△
ABC的面
【答案】
（1）周期T，单调递增区间k,k,kZ
（2）33
36m
【解析】
（1）将函数f（x）整理为f（x）2sin2x1，进而可求出周期，令
6
2k2x2k,kZ，求出x的范围，即可得函数f（x）的单调递增
262
区间；
（2）由函数f（x）的图像经过点（B，2）可求出B，再根据bcba6，可求出ac，利
用面积公式即可求出△ABC的面积
【详解】
解:
（1）由已知f（x）cos2x1、、3sin2x2sin2x1
6
2
2
2k
2
2x—
6
2k
kZ，
所以函数f（x）的单调递增区间为k-,k
3
6，kZ；
丄&f（B）
2sin
2B—
12
（2）由已知'‘
6
B_
3
0B
uuuruin
又BCBAaccos—
6
ac12
3
1
SaabcacsinB
1
-.3
12-
33
2
2
2
【点睛】
本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期和单调区间的确定，利
用角的范围确定角的大小，三角形面积公式的应用，是基础题.
19.某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x户（XN*,X9）从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4x%,
1
而从事水果销售的农户平均每户年收入为（31x）万元.
（1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？
（2）若一年后，该村平均每户的年收入为f（x）（万元），问f（x）的最大值是否可以达到2.1万元？
【答案】
（1）至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作
（2）可以达到2.1万元，详见
解析
【解析】
（1）首先得出种植户的平均收入
3x3
側4x%），得不等式叫）24,
解不等式即可得出答案
（2）得出该村平均每户的年收入为
f（x）
xx
5x（3R「8（1005x）（1刃，利用二
100
次函数的性质求出最大值
【详解】
（1）经过三年，种植户的平均收入为
3
1.8（14x%）3
因而由题意
x
側刃24，得1
253,4x2.5161
⑺f（x）
xx
5x（3）1.8（1005x）
（1）
525
100
丄（聖x266x180）（xN
100255
x9）
对称轴x
因而当x
5时，f（x）max2.122.1可以达到
2.1万元.
【点睛】本题考查函数的应用问题，重点在于读懂题意，属于中档题
20.已知曲线C:
x2y21，过点T（t,0）作直线|和曲线C交于A、B两点.
（1）求曲线C的焦点到它的渐近线之间的距离;
BH倾
（2）若t0,点A在第一象限，AHx轴，垂足为H，连结BH，求直线
斜角的取值范围;
uunuun
uuu
uiu
得ABEF0和
AB
EF
（3）过点T作另一条直线m,m和曲线C交于E、F两点，问是否存在实数
同时成立？
如果存在，求出满足条件的实数t的取值集合,
如果不存在，请说明理由
1
【答案】
（1）1
（2）（O,arctanj（3）存在，实数t的取值集合为{,2,,.2}
【解析】
（1）求出曲线C的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可;
（2）设l:
ykx（Ok1），A（X1，yJ,B（冷yJ,H（N，O），表示出直线BH的斜
率，根据k的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；
（3）直接求出当直线l:
y0，直线m:
xt和当直线l:
xt,直线m:
y0时，t的
值，当l:
yk（xt）k0时，与双曲线联立可得（1k2）x22k2tx（1k2t2）0，
利用弦长公式求出
urn
|AB|和|EF|，利用AB
uiu
EF列方程求出
t的值，验证判别式成立
即可得出结果•
【详解】
（1）曲线C的焦点为F1-2,0,F2.2,0，渐近线方程yx，
由对称性，不妨计算
F22,0至y直线yx的距离，d
近0
1.
yk
2x12
将k替换成
1
1，可得|EF|k
.k21vt21k2
|k21
（2）设l:
ykx（0k1）,A（X1,yJ,B（为，％）屮（％,0），从而kBH
又因为点A在第一象限，所以0k1,
1
从而kBH0,-
2
1
所以直线BH倾斜角的取值范围是（0,arctan?
）；
（3）当直线l:
y0，直线m:
xt
AB2,E0,『7,F0,『7,2/^=2t42
当直线l:
xt,直线m:
y0时，t2
不妨设l:
yk（xt）k0，与双曲线联立可得（1k2）x22k2tx（1k2t2）0,
由弦长公式，|AB|k22°k$（t2|1）k1
1k|I1kI
由|AB||EF|,可得
（t21）k21t21k2,
解得t、、2，此时
4（k2t2k21）0成立.
因此满足条件的集合为
【点睛】
本题考查双曲线的性质以及直线和双曲线的位置关系,
考查计算能力，注意不要遗漏直
线斜率不存在的情况，可单独说明即可，本题是中档题
21•定义f佝月2,,an）
a〔a?
a2a3
an
限实数列｛an｝的波动强度•
（1）求数列1，4，2，3的波动强度;
（2）若数列a，b，c，d满足（ab）（bc）
判断
f（a,b,c,d）
f（a,c,b,d）是
否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例;
（3）设数列
a1,a2,,an是数列121，2
22，3
2n的一个排列,
求f（a1,a2,
an）的最大值，并说明理由
【答案】
（1）
6
（2）fa,b,c,d
fa,c,b,d
是正确的，详见解析（
3）当n为偶数
时，n4,
fa1,a2,...,an
max
n
92°3；当n为奇数时，n3,
fa1,a2,...,an
maXgn24，
13
【解析】
（1）根据波动强度的定义直接计算;
bd，利用abc
（2）作差fa,b,c,dfa,c,b,d
或abc判断正负即可;
（3）设bi2',1in,bn是单调递增数列，可整理
fa1,a2，…，an
为耳X2a2LXnan,
其中X1,Xn1,1,
xn0.经过上述调整后的数列，系数
X2,...,Xn1不可能为0，分n的奇偶性讨论,确定各自含有的2,2,1,1的个数，进而求
出f（a1,a2,,an）的最大值.
【详解】
解：
（1）f1,4,2,3
（2）
fa,b,c,d
fa,c,b,d是正确的
证明:
fa,b,c,d
fa,c,b,d
a,b,c,d
a,c,b,d
所以
fa,b,c,d
fa,c,b,d
a,b,c,d
a,c,b,d
并且当bc时,
b可以取等号,
b时，d
b可以取等号,
所以等号可以取到;
（3）设bi21，
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