指数函数知识点归纳.docx

1、指数函数知识点归纳指数函数（一）指数与指数幕的运算1.根式的概念：一般地，如果 xn a，那么x叫做a的n次方根，其中n 1 ,且n N 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0,记作n 0 0。当n是奇数时，.a a，当n是偶数时，:；a | a |2分数指数幕正数的分数指数幕的意义，规定:man n.am(a0, m, n*N ,n1)m 11*a n mi(a0, m, nN ,n 1)ann m、a0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义3.实数指数幕的运算性质(1)r ra ar s a(a 0, r,s R)；(2)(ar)srs a(a 0,r,s R);(3)(ab

2、)rr s a a(a 0,r,s R)（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 y ax（a 0,且a 1）叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域为 R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 .2、指数函数的图象和性质a10a 0值域y 0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象 都过定点（0 , 1）函数图象 都过定点（0, 1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：x(1 )在a , b上，f(x) a (a 0 且 a 1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)(2 )若x 0，则f(x) 1 ； f(x)取遍所有

3、正数当且仅当 x R ；(3)对于指数函数f(x) ax(a 0且a 1)，总有f(1) a ；指数函数例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：1(1)y = 3厂 (2)y = .2x 2 1 (3)y = . 3 3x 1解 (1)定义域为x R且x丰2 .值域y 0且y工1 .(2)由 2x+2 1 0，得定义域x|x -2，值域为 y 0 .(3)由 3 3x-1 ，得定义域是x|x W2, V0 3 3x 1 V 3 ,值域是 01,该函数在(一x,+x )上是增函数， 又1 v 3 v - v 4 v 1，二 3 2 v8 8v 5 4v 9 16v 2.3 8 5 9 24 3

4、 -解 v 0.6 5 1, 1 (?) 2, 4 3 1-0.6 5 (_) 2 .2解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1 4.53.6,作函数y1 = 4.5x, y2 = 3.7x 的图像如图 2 . 6 3，取 x = 3.6，得 4.5 3.6 3.7 3.6 4.543.736 .说明 如何比较两个幕的大小：若不同底先化为同底的幕，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2中的(1) 若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小时，有两个技巧，其一借助 1作桥梁，如例2中的(2) 其二构造一个新的幕作桥梁，这个新的幕具有与 4.54.1同底与3.7 3.6同指

5、数的特点，即为4.5 3.6 (或3.74.1 )，如例2中的.练习： (1) 1.72.5 与 1.73 ( 2 ) 0.8 0.1 与 0.8 0.2(3 ) 1 .70.32.1与 0.93.1 (4) 3 5 和2.02.7【例4】比较大小n 1an与nan1(a0且a 1, n 1).n 1 n解-7=r.a1n( n 1) a当 0v av 1,1 n 1， 0，n(n 1)1(1)y =(2)(3)y = 2 |x-11【例5】作出下列函数的图像:(2)y = 2x - 2 ,(4)y = |1 - 3x|1 1解（1）y = （，）x1 的图像（如图 2. 6- 4），过点（0

6、,）及（一1, 1）.1是把函数y=（x的图像向左平移1个单位得到的.解（2）y = 2x 2的图像（如图2. 6 5）是把函数y = 2x的图像向下平移 2个单位得到的.解（3）利用翻折变换，先作 y= 2|x|的图像，再把y = 2|x|的图像向右平移1个单位，就得y= 2|x-1l的图像（如图2 . 6 6）.解（4）作函数y = 3x的图像关于x轴的对称图像得y = -3x的图像，再把y=3x的图像向上平移1个单位，保留其在 x轴及x轴上方部分不变，把 x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到 x轴上方而得到.（如图2. 6 7）【例8】已知f(x)苓(a 1)(1)判断f(x)的奇偶性;a

7、 1求f(x)的值域；证明f(x)在区间( 8,+ )上是增函数.解(1)定义域是R.f( x)=xa 1xa 1ax 1厂 一 f(x)，函数f(x)为奇函数.(2)函数y =x ax a严 1,二有 ax =1 y1.即f(x)的值域为(一1 , 1).设任意取两个值 X2 ( rn,+m )且 X 0, f(xjf(X2)，故f(x)在R上为增函数.单元测试题、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1化简1 2 322 1611 2至，结果是（1、A、2、A、3、A、4、A、5、A、6、A、7、A、8、A、9、A、111 2更21B、 11 1 12 32 C、1 2 3213

8、2D、 1 2 32236a9 46 3 a94等于（）a16B、a8C、a4D、a若 a 1,b0,且 abb a2、2，则ab a b的值等于（）、6B、2C、 2D、22 X函数f（x） a2 1在R上是减函数，则a的取值范围是（ ）a 1 B、a 2 C、a V2 D、1 a 42F列函数式中，满足 f （x 1） * f （x）的是（ ）1(x 1)1B、 x 4C、2xD、2 x下列f (x) (1a ) |a 是(）奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、既奇且偶函数已知a b, ab0 ,下列不等式（、 2 . 2 -.a1)a b ； (2) 2ob 1 1 3 32 ； (3)

9、 ； (4) a3 b3 ；a bab1- 中恒成立的有（3B、2个A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限11、F(x) 1 rZ f(x)(x 0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)( )2 1A、是奇函数B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b%，则n年后这批设备的价值为( )A、na(1 b%) B、a(1 nb%) C、a1 (b%)n D、a(1 b%)n二、 填空题：(本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上)13、 若 10x 3,10y 4，

10、则 10x y 。22x2 8x 1114、 函数y ( 3 x 1)的值域是 。2 3x215、 函数y 3 的单调递减区间是 。2x 116、 若 f(5 ) x 2，贝U f (125) 。三、 解答题：(本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .)2 217、 设0 a 1,解关于x的不等式a2x 3x 2 a2x 2x3。18、已知x3,2，求 f(x)1的最小值与最大值。19、设 a R , f (x)a 2x2xR)，试确定a的值，使f (x)为奇函数。x2 2x 5120、已知函数y - ，求其单调区间及值域。3ar1(a 1) (1)判断函数的奇偶性;

11、a 1f(x)是R上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案题号123456789101112答案ACCDDBCADAAD313、一4914、 - ,39 ，令 U 2x2 8x 1 2(x 2)2 9 , v 3 x 1, 9 U 9,3U为减函数，令y3U,U3x2,3U为增函数,- y3s 3x2的单调递减区间为0,16、f(125)f(53)f(52 2 1 )17、上为减函数22x2 3x22 2x2 2xa2x23x2 2x22x18、1 1f(x)47 22x则当2x3,2 , - 2X由函数y2x的单调性可得,0 1,2。22、(1 )定义域为xR,且f(x)X aX1 af (x),f (x)是奇函数;(2) f(x)ax 1 2ax 11, a1,2厂2,即f(x)的值域为1,1 ；X2 ,f(xj f(X2)aid01aX2 12a)1(?L)(aX2 1)2ax2X2X1 X20(t分母大于零，且a八1 a2) f(x)是R上的增函数。