指数函数知识点归纳.docx

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指数函数知识点归纳

指数函数

（一）指数与指数幕的运算

1

.根式的概念：

一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n€N负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作n00。

当n是奇数时，.aa，当n是偶数时，:

；a|a|

2•分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定:

m

ann.am（a

0,m,n

*

N,n

1）

m

■―1

1

*

anm

i——（a

0,m,n

N,n1）

an

nm

、a

0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义

3.实数指数幕的运算性质

（1）

rr

aa

rsa

（a0,r,sR）；

（2）

（ar）s

rsa

（a0,r,sR）;

（3）

（ab）r

rsaa

（a0,r,sR）

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数yax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>1

0

1

i

\

1-

1

=7

■

定义域R

定义域R

值域y>0

值域y>0

在R上单

调递增

在R上单

调递减

非奇非偶

函数

非奇非偶

函数

函数图象都过定点

（0,1）

函数图象都过定点

（0,1）

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

x

（1）在［a,b］上，f（x）a（a0且a1）值域是［f（a）,f（b）］或

［f（b）,f（a）］

（2）若x0，则f（x）1；f（x）取遍所有正数当且仅当xR；

（3）对于指数函数f（x）ax（a0且a1），总有f

（1）a；

指数函数•例题解析

【例1】求下列函数的定义域与值域：

1

（1）y=3厂

（2）y=..2x21（3）y=.33x1

解

（1）定义域为x€R且x丰2.值域y>0且y工1.

（2）由2x+2—1>0，得定义域｛x|x>-2｝，值域为y>0.

（3）由3—3x-1>，得定义域是｛x|xW2｝,V0<3—3x—1V3,

•••值域是0

1

练习：

（1）y277；

（2）y（I）凶；（3）y4x2x11；

3

【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6—2所示,

A.avbv1vcvd

B.avbv1vdvc

C.bvav1vdvc

D.cvdv1vavb

解选（c），在x轴上任取一点（x,0）,

则得bvav1vdvc.

■'，则它们的图象是

练习：

指数函数①-'l_"②="一「满足不等式乜

（）.

【例3】比较大小:

（1）,2、32、54、88、916的大小关系是:

（2）0.65（扌）2

（3）4.54.13.7s.6

1123

解

（1）V222,3223,542弓,882',916

函数y=2x,2>1,该函数在（一x,+x）上是增函数，又1v3v-v4v1，二32v88v54v916v2.

38592

43-

解⑵v0.65>1,1>（?

）2,

•431

•-0.65>（_）2.

2

解（3）借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6—3，取x=3.6，得4.53.6>3.73.6

•••4.54」>3.73・6.

说明如何比较两个幕的大小：

若不同底先化为同底的幕，再利用指数函数

的单调性进行比较，如例2中的

（1）•若是两个不同底且指数也不同的幕比较大小

时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的

（2）•其二构造一个新的幕作桥

梁，这个新的幕具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6（或3.74.1），

如例2中的⑶.

练习：

（1）1.72.5与1.73

（2）0.80.1与0.80.2

（3）1.70.3

2.1

与0.93.1（4）35和

2.0

2.7

【例4】比较大小n1an与nan1（a>0且a^1,n>1）.

n1n

解-7=r

.a

1

n（n1）a

当0vav1,

1

•••n>1，>0，

n（n1）

1

（1）y=

（2）>

（3）y=2|x-11

【例5】作出下列函数的图像:

（2）y=2x-2,

（4）y=|1-3x|

11

解

（1）y=（，）x1的图像（如图2.6-4），过点（0,）及（一1,1）.

1

是把函数y=（》x的图像向左平移1个单位得到的.

解

（2）y=2x—2的图像（如图2.6—5）是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到

的.

解（3）利用翻折变换，先作y=2|x|的图像，再把y=2|x|的图像向右平移1

个单位，就得y=2|x-1l的图像（如图2.6—6）.

解（4）作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像，再把y

=—3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下

方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.（如图2.6—7）

【例8】

已知f（x）

苓」（a>1）

（1）判断f（x）的奇偶性;

a1

⑵求f（x）的值域；⑶证明

f（x）在区间（—8,+^）上是增函数.

解

（1）定义域是R.

f（—x）=

x

a1

x

a1

ax1

厂一f（x），

•••函数f（x）为奇函数.

（2）函数y=

xa

xa

••严1,二有ax=

—1

即f（x）的值域为（一1,1）.

⑶设任意取两个值X2€（—rn,+m）且X[

axi

X|

a|

（aX2+1）>0,•f（xj

单元测试题

、选择题：

（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1

化简1232

216

1

12至，结果是（

1、

A、

2、

A、

3、

A、

4、

A、

5、

A、

6、

A、

7、

⑸

A、

8、

A、

9、

A、

1

112更

2

1

B、1

111

232C、1232

132

D、1232

2

36a94

63a9

4

等于（

）

a16

B、a8

C、a4

D、a

若a1,b

0,且ab

ba

2、、2，则abab的值等于（

）

、6

B

、2

C、2

D、2

2X

函数f（x）a21在R上是减函数，则a的取值范围是（）

a1B、a2C、aV2D、1a42

F列函数式中，满足f（x1）*f（x）的是（）

1（x1）

1

B、x—

4

C、2x

D、2x

下列f（x）（1

a）|a是（

）

奇函数

B、偶函数

C、非奇非偶函数

D、既奇且偶函数

已知ab,ab

0,下列不等式（

、2.2-.a

1）ab；

（2）2

ob1133

2；（3）；（4）a3b3；

ab

a

b

1

-中恒成立的有（

3

B、2个

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

11、F（x）1rZf（x）（x0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（）

21

A、是奇函数

B、可能是奇函数，也可能是偶函数

C、是偶函数

D、不是奇函数，也不是偶函数

12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备

的价值为（）

A、na（1b%）B、a（1nb%）C、a[1（b%）n]D、a（1b%）n

二、填空题：

（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）

13、若10x3,10y4，则10xy。

2

2x28x1

1

14、函数y§（3

23x2

15、函数y3的单调递减区间是。

2x1

16、若f（5）x2，贝Uf（125）。

三、解答题：

（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

22

17、设0a1,解关于x的不等式a2x3x2a2x2x3。

18、已知x

3,2，求f（x）

1的最小值与最大值。

19、设aR,f（x）

a2x

2x

R），试确定a的值，使f（x）为奇函数。

x22x5

1

20、已知函数y-，求其单调区间及值域。

3

ar~1（a1）

（1）判断函数的奇偶性;

a1

f（x）是R上的增函数。

指数与指数函数同步练习参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

C

D

D

B

C

A

D

A

A

D

3

13、一

4

9

14、-,39，令U2x28x12（x2）29,v3

3

U

为减函数，•

，令y

3U,U

3x2,

3U为增函数,

•-y

3s3x2

的单调递减区间

为0,

16、

f（125）

f（53）

f（5221）

17、

上为减函数

2

2x23x

2

22x22x

a

2x2

3x

22x2

2x

18、

11

f（x）472

2x

则当

2x

3,2,•-<2x

4

1

，即x1时，f（x）有最小值

2

8，即x

3时,

f（x）有最大值

57。

19、

要使

f（x）为奇函数，vxR,•••需f（x）

f（

x）0,

•f（x）

2

f（X）a厂a

2x

2^1

2x1°,得

0,

1。

20、令y-

3

u

u

x2

2x

5，则y是关于U的减函数，而U是

1上的减函数,

1,

上的增函数,

•-y

x2

2x5

在

上是增函数，而在

1,上是减函数,

2

x2x5

（x

1）2

4,•••y

x2

2x5

的值域为

4

0,3。

21、y

4X3

2X

322x3

2X

3，依题意有

（2X）2

（2X）2

2X

2X

3>

2X

由函数y

2x的单调性可得

0][1,2]。

22、

（1）

•••定义域为x

R,且

f（

x）

Xa

X

1a

f（x）,

f（x）是奇函数;

（2）f（x）

ax12

ax1

1,a

1,

2

厂2,即f（x）的值域为1,1；

X2,

f（xjf（X2）

aid

0^1

aX21

2a）1

（?

L）（aX21）

2ax2

X2

X1X2

0（t分母大于零，且a八1a"2）

•f（x）是R上的增函数。