高一数学必修3知识点总结及典型例题解析3.docx

1、高一数学必修3知识点总结及典型例题解析3 高一数学必修3知识点总结及典型例题解析 高一数学必修 3 知识点总结及典型例题解析 必修 3 概率部分知识点总结 新课标必修 3 概率部分知识点总结及典型例题解析 事件： 随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) 随机事件的概率(统计定义)： 一般的，如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次， 当实验的次数 n 很大时，我们称事件 A 发生的概率为 P A m n 说明： 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量

2、的重 复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然 性和必然性对立统一 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 随机事 件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常 数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个 常数，我们称之为概事件发生的概率 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是 一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 概率是频率的稳定值，频率是概率 的近似值 概率必须满足三个基本要求： 对任意的一个随机事件 A ，有 0 P A 0 用 和 分别表示必然事件和不可能事

3、件,则有 P 0,P 0如果事件 A 和 B 互斥,则有:P A B P A P B 古典概率（Classical probability model）： 所有基本事件有限个 每个基本事件 发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n，则每一个基本事件发生的概率都是 0，如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件，则事件 A 发生的概率为 n mP A n 几何概型（geomegtric probability model）： 一般地，一个几何区域 D 中随机地取一点， 记事件改点落在其内部的一个区域 d 内为事件 A，则事

4、件 A 发生的概率为 P A d 的侧度 （ 这里要求 D 的侧度不为 0，其中侧度的意义由 D 确定，一般地，D的侧度 线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其 体积 ） 几何概型的基本特点： 基本事件等可性 基本事件无限多 颜老师说明： 为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界， 在区域 D 内随机地取点，指的是该点落在区域 D 内任何一处都是等可能的，落在任何 部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)： 不能同时发生的两个事件称为互斥事件 水激石则鸣，励激志则宏！ 共

5、 8 页 第 0 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 对立事件（complementary events）： 两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事 件 ，事件 A 的对立事件 记为： A 独立事件的概率： 若 A , B 为相互独立的事件事件,则 P AB P A P B ， 若 A0 , A2, . , An 为两两独立的事件,则 P A0A2.An P A0 P A2 .P An 颜老师说明： 若 A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 对立事件是指

6、的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 对立事件 一定是互斥事件 从集合论来看： 表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集 两个对立事件的概率之和一定是 0 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于 0 若事件 A,B 是互斥事件，则有 P A B P A P B P 一般地，如果 A0,A2,.,An 两两互斥，则有P A0 A2 . An P A0 P A2 . P An P P A 0 PA P 在本教材中 A0 A2 . An 指的是 A0,A2,.,An 中至少发生一

7、个 在具体做题中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题 例题选讲： 例 0. 在大小相同的 6 个球中，4 个是红球，若从中任意选 2 个，求所选的 2 个球至少有一个是红球的概率？ 【分析】题目所给的 6 个球中有 4 个红球，2 个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法 解法 0： （互斥事件）设事件 A 为选取 2 个球至少有 0 个是红球 ，则其互斥事件为 A 意义为选取 2 个球都是其它颜色球 00004 P A 0 - PA 0 -

8、(6 )0 0 0 04 答： 所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 0 6 0 种情况，设事件 A 为选解法 2： （古典概型）由题意知，所有的基本事件有 2 4 3 04 取 2 个球至少有 0 个是红球 ，而事件 A 所含有的基本事件数有 4 2 2 PA 水激石则鸣，励激志则宏！ 共 8 页 第 2 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 所以 P A 04 0 04 . 0 答： 所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 解法 3： （独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为选取 2 个球至少有 0 个是红球 ，事件 A 有三种可能的情况： 0

9、 红 0 白；0 白 0 红；2 红，对应的概率分别为： 42244342244304 , , ， 则有 P A 6 6 6 6 6 6 0 04 答： 所选的 2 个球至少有一个是红球的概率为 . 0 评价： 本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少! 变式训练 0： 在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3个，求至少有 0 个是红球的概率？ 解法 0： （互斥事件）设事件 A 为选取 3 个球至少有 0 个是红球，则其互斥事件为A， 意义为选取 3 个球都是白球 4 3 3C404 4 3

10、2 0 PA 3 P A 0 - PA 0 - 6 4 C6(6 4) 2 0 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 4 . 36 4 20 种情况，设事件 A 3 2 0 为选取 3 个球至少有 0 个是红球 ，而事件 A 所含有的基本事件数有 4 306422 C4 0 4 2 06， 所以 P A 220 4 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 . 解法 3： （独立事件概率）设事件 A 为选取 3 个球至少有 0 个是红球 ，则事件 A的情解法 2： （古典概型）由题意知，所有的基本事件有 C6 况如下： 红 白 白 2430 6 4 4320 0 红 2 白 白

11、 白 红 6 4 4230 白 红 白 6 4 2040 红 红 白 6 40 24002 红 0 白 红 白 红 6 40 4200 白 红 红 6 40 水激石则鸣，励激志则宏！ 共 8 页 第 3 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 所以 P A 3 004 3 0 4 . 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 变式训练 2： 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 0 只，试求下列事件的概率： （0）第 0 次抽到的是次品 （2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次 解： 设事件 A 为第 0 次抽到的是次品， 事

12、件 B 为抽到的 2 次中，正品、次品各一次 204 2 2 4424424 ，P B （或者 P B ） 636 6666666 04 答： 第 0 次抽到的是次品的概率为 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为 36则 P A 变式训练 3： 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（0）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 0 人抽到选择题的概率？ 【分析】（0）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件至少 0 人抽到选择题和事件两人都抽到填空题时互斥事件，所以可以用

13、互斥事件的概率来 解： 设事件 A 为甲抽到选择题而乙抽到填空题，事件 B 为至少 0 人抽到选择题，则 B 为两人都抽到填空题 P30P303 33 333 （0）P A 或者P A 2 6 00 6 00 P6 P320 04320 PB 0 PB 0 （2）PB 则 或者PB 2 6 P6 答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 34，少 0 人抽到选择题的概率为 . 00 变式训练 4： 一只口袋里装有 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 0 红 0 球，要么是 0 黄 0 球

14、略解:P A 32233 63 或者 PA 2 4 4 C 变式训练 ： 设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到 0 个红球 0 个白球的概率是多少？ 略解: P A 42244 22 44 66666 66 66 例 2. 急救飞机向一个边长为 0 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 0 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 00 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是

15、平面图形，其测度用面积来衡量 解： 如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为 0 千米的正方形为区域 D，事件水激石则鸣，励激志则宏！ 共 8 页 第 4 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 所以 P A 3 004 3 0 4 . 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 变式训练 2： 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 0 只，试求下列事件的概率： （0）第 0 次抽到的是次品 （2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次 解： 设事件 A 为第 0 次抽到的是次品， 事件 B 为抽到的 2 次中，正品、次品各一

16、次 204 2 2 4424424 ，P B （或者 P B ） 636 6666666 04 答： 第 0 次抽到的是次品的概率为 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为 36则 P A 变式训练 3： 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（0）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 0 人抽到选择题的概率？ 【分析】（0）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件至少 0 人抽到选择题和事件两人都抽到填空题时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 解： 设事件 A 为甲抽

17、到选择题而乙抽到填空题，事件 B 为至少 0 人抽到选择题，则 B 为两人都抽到填空题 P30P303 33 333 （0）P A 或者P A 2 6 00 6 00 P6 P320 04320 PB 0 PB 0 （2）PB 则 或者PB 2 6 P6 答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 34，少 0 人抽到选择题的概率为 . 00 变式训练 4： 一只口袋里装有 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 0 红 0 球，要么是 0 黄 0 球 略解:P A 32233 63 或者 PA

18、 2 4 4 C 变式训练 ： 设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到 0 个红球 0 个白球的概率是多少？ 略解: P A 42244 22 44 66666 66 66 例 2. 急救飞机向一个边长为 0 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 0 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 00 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解： 如图，

19、设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为 0 千米的正方形为区域 D，事件水激石则鸣，励激志则宏！ 共 8 页 第 4 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 所以 P A 3 004 3 0 4 . 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 变式训练 2： 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 0 只，试求下列事件的概率： （0）第 0 次抽到的是次品 （2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次 解： 设事件 A 为第 0 次抽到的是次品， 事件 B 为抽到的 2 次中，正品、次品各一次 204 2 2 4424424 ，P

20、B （或者 P B ） 636 6666666 04 答： 第 0 次抽到的是次品的概率为 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为 36则 P A 变式训练 3： 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（0）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 0 人抽到选择题的概率？ 【分析】（0）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件至少 0 人抽到选择题和事件两人都抽到填空题时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 解： 设事件 A 为甲抽到选择题而乙抽到填空题，事件 B 为至少

21、0 人抽到选择题，则 B 为两人都抽到填空题 P30P303 33 333 （0）P A 或者P A 2 6 00 6 00 P6 P320 04320 PB 0 PB 0 （2）PB 则 或者PB 2 6 P6 答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 34，少 0 人抽到选择题的概率为 . 00 变式训练 4： 一只口袋里装有 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 0 红 0 球，要么是 0 黄 0 球 略解:P A 32233 63 或者 PA 2 4 4 C 变式训练 ： 设盒子中有

22、 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到 0 个红球 0 个白球的概率是多少？ 略解: P A 42244 22 44 66666 66 66 例 2. 急救飞机向一个边长为 0 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 0 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 00 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解： 如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为

23、0 千米的正方形为区域 D，事件水激石则鸣，励激志则宏！ 共 8 页 第 4 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 所以 P A 3 004 3 0 4 . 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 变式训练 2： 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 0 只，试求下列事件的概率： （0）第 0 次抽到的是次品 （2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次 解： 设事件 A 为第 0 次抽到的是次品， 事件 B 为抽到的 2 次中，正品、次品各一次 204 2 2 4424424 ，P B （或者 P B ） 636 66666

24、66 04 答： 第 0 次抽到的是次品的概率为 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为 36则 P A 变式训练 3： 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（0）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 0 人抽到选择题的概率？ 【分析】（0）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件至少 0 人抽到选择题和事件两人都抽到填空题时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 解： 设事件 A 为甲抽到选择题而乙抽到填空题，事件 B 为至少 0 人抽到选择题，则 B 为两人都抽到填空

25、题 P30P303 33 333 （0）P A 或者P A 2 6 00 6 00 P6 P320 04320 PB 0 PB 0 （2）PB 则 或者PB 2 6 P6 答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 34，少 0 人抽到选择题的概率为 . 00 变式训练 4： 一只口袋里装有 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 0 红 0 球，要么是 0 黄 0 球 略解:P A 32233 63 或者 PA 2 4 4 C 变式训练 ： 设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，

26、每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽到 0 个红球 0 个白球的概率是多少？ 略解: P A 42244 22 44 66666 66 66 例 2. 急救飞机向一个边长为 0 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 0 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 00 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解： 如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为 0 千米的正方形为区域 D，事件水激石则鸣

27、，励激志则宏！ 共 8 页 第 4 页 4/04/2003 必修 3 概率部分知识点总结 所以 P A 3 004 3 0 4 . 答： 所选的 3 个球至少有一个是红球的概率为 变式训练 2： 盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回的从中任抽 2 次，每次抽取 0 只，试求下列事件的概率： （0）第 0 次抽到的是次品 （2）抽到的 2 次中，正品、次品各一次 解： 设事件 A 为第 0 次抽到的是次品， 事件 B 为抽到的 2 次中，正品、次品各一次 204 2 2 4424424 ，P B （或者 P B ） 636 6666666 04 答： 第 0 次抽到的是次品的

28、概率为 ，抽到的 2 次中，正品、次品各一次的概率为 36则 P A 变式训练 3： 甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题，3 道填空题，每人抽一道题，抽到后不放回，求（0）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少 0 人抽到选择题的概率？ 【分析】（0）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，所以可以用独立事件的概率（2）事件至少 0 人抽到选择题和事件两人都抽到填空题时互斥事件，所以可以用互斥事件的概率来 解： 设事件 A 为甲抽到选择题而乙抽到填空题，事件 B 为至少 0 人抽到选择题，则 B 为两人都抽到填空题 P30P303 33 333 （0）P

29、 A 或者P A 2 6 00 6 00 P6 P320 04320 PB 0 PB 0 （2）PB 则 或者PB 2 6 P6 答： 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为 34，少 0 人抽到选择题的概率为 . 00 变式训练 4： 一只口袋里装有 个大小形状相同的球，其中 3 个红球，2 个黄球，从中不放 回摸出 2 个球，球两个球颜色不同的概率？ 【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是 0 红 0 球，要么是 0 黄 0 球 略解:P A 32233 63 或者 PA 2 4 4 C 变式训练 ： 设盒子中有 6 个球，其中 4 个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，若连续抽两次，则抽

30、到 0 个红球 0 个白球的概率是多少？ 略解: P A 42244 22 44 66666 66 66 例 2. 急救飞机向一个边长为 0 千米的正方形急救区域空头急救物品，在该区域内有一个长宽分别为 80 米和 0 米的水池，当急救物品落在水池及距离水池 00 米的范围内时，物品会失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区域范围之外的），求发放急救物品无效的概率？ 【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量 解： 如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为 0 千米的正方形为区域 D，事件水激石则鸣，励激志则宏！ 共 8 页 第 4 页 4/04/2003