第七章矩阵的特征值问题_精品文档.ppt

1、第七章矩阵特征值计算,内容7.1 引言7.2 幂法及反幂法,设 k/m=1，求固有频率的特征方程,7.1 引言 物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。,7.2 幂法及反幂法,一、幂法幂法是一种求实矩阵A的按模最大的特征值1及其对应的特征向量x1的方法。特别适合于大型稀疏矩阵。,于是主特征值为：2.5365323；对应特征向量为：(0.7482 0.6497 1)T,二、加速方法,三、反幂法反幂法可求非奇异实矩阵的按模最小特征值及特征向量。

2、也可用来计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。,%求对称正定矩阵的特征值问题%A=3-2 0;-2 5-3;0-3 7;%对称正定矩阵Epsilon=0.0001;%迭代控制误差%求最大特征值及对应的特征向量v=1;1;1;%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v);%最大特征值的估计值while 1 v=A*v;Lambda_1=max(abs(v);v=v/Lambda_1;if abs(Lambda_1-Lambda_0)=Epsilon display(最大特征值)display(Lambda_1);display(最大特征值对应的特征向量)display(v);break

3、 end Lambda_0=Lambda_1;end,%求最小特征值及对应的特征向量A=inv(A);%求矩阵A的逆好的做法是利用平方根法求逆v=1;1;1;%初始迭代向量Lambda_0=max(abs(v);%最大特征值的估计值while 1 v=A*v;Lambda_1=max(abs(v);v=v/Lambda_1;if abs(Lambda_1-Lambda_0)=Epsilon display(最小特征值)Lambda_1=1/Lambda_1;%注意倒数 display(Lambda_1);display(最小特征值对应的特征向量)display(v);break end Lambda_0=Lambda_1;end,矩阵特征值与特征向量的计算,重要概念（特征值，特征向量，正交相似变换，反射变换，平面旋转变换，QR分解）,迭代法,幂法（原理、计算公式、加速技巧）反幂法（原理、计算方法、加速技巧）,雅可比方法（原理、方法、收敛性）,变换法,QR方法,基本QR方法原点平移QR方法双步原点平移QR方法,