比例法解行程题.docx

1、比例法解行程题比例法解行程题比例法【例1】（第8届迎春杯决赛试题）小明和小刚进行200米 短跑比 赛（假定二人的速度均保持不变）。当小刚跑了 180米 时，小明距离终点还有50米，那么，当小刚到达终点 时，小明距离终点还有多少米？【解】当小刚跑了 180米时，小明跑了 200-50=150米，二人 的路程之比为180： 150=6: 5,小刚到达终点时，由于速度不 变，二人的路程比依然为6： 5O若设小刚路 程200米为6份 的话，小明的行程应为5份，则其离终点还有1份距离二200 6 331 米。【练习】小刚与小勇进行50米赛跑，结果：当小刚到 达终点 时，小勇还落后小刚10米；第二次赛跑，

2、小刚 的起跑线退后10 米，两人仍按第一次的速度跑，比赛结果将是解：小刚到达终点时，二人的路程分别为 50米和40米，路程之比为5： 40若小刚退后10米，当到达终点时其路 程为60米，由于速度不变，从而路程之比也不 变，此刻乙跑了 60-5X 4=48米，还差2米才到终点，因此还是小刚胜出。【点评】在赛跑问题中，多数时候隐含了时间相等的条件，从而路程之比二速度之比的正比例关系式会得到大 量应用。【例2】一辆车从甲地开往乙地如果车速提高20%,可以比原定 时间提前一小时到达；如果以原速行驶240千米后，再将 速度提高25%,则可提前40分钟到 达那么甲、乙两地相距 多少千米【分析】这是一道“隐

3、性”比例行程题，但其标志很明显一一百 分数，一般说来凡题目中出现百分比应立即想 到将其转化为比例 进行研究。例如本题中，车速提高20%意味着原速度与现速度之 比为5： 6,车速提高25%意即原速度与现速度之比是4:5。【解】按照题中的形成的两部分分别进行分析：车速提高20%,从而速度之比为5： 6,则时间之比为6： 5, 已知提速前后所用时间差为1小时，可见原速度 走完全程需要6 小时，提速后需要5小时。而在原速行驶240千米后，剩余部分路程提速25%,即速度之 比为4:5,则所用时间之比为5： 4,而已知提速前后所用时间之差为40分钟，从而不难求剩余路程若按原速度 行驶需要时间40X5=20

4、0分钟二2八小时，从而前240千米用时6 21 3彳小时，则原速度为240 3彳90千3 3 3米/小时。从而甲乙两地距离应为90 6 540千米。【点评】本题虽难度不大，但作为比例解行程的方法十 分典 型，有必要熟练掌握题目中涉及到的几个模型。这些模型与几何 中五大模型的作用类似，会在行程问题中反复出现，且标志明 显。模型1百分比到比例的转化。模型2:提速一少时，由提速或降速所造成的时间差，只产生 在提速和降速的路程中。模型3：比差问题，类似和差、和倍、差倍，已知比和差分别 求大小数的方法应熟练掌握。【练习】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提局20%可以提 前1小时到达，如果按原速度行驶一段

5、距离后，再将速度提高 30%也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全程的几分之 几？解：车速提高20%即速度之比为5： 6,从而时间比为6： 5,已知 时间差为1小时，则原用时为6小时。原速行驶一段距离后，再 将速度提高30%仍然提前1小时到达，这个时间差只能发生在提 速部分，这段速度之比为10： 13,从而时间之比为13： 10,不难求原速度行 驶用时1* 3X 13二空小时，从而先行驶的部分用时3 7 3 3小时，其占比为3+ 6瓷 7 3 18【例2】甲、乙两人分别从A B两地同时出发，相向而行，在途中C 点相遇。如甲的速度增加10%,乙每小时多走300米，还在 C相遇；如果甲早出发1小

6、时，乙每小时多走1000米，则 仍在C相遇。那么两人 相遇时距B多少千米？【分析】此题有个明显的特征，即三种方式最终相遇地 点一 样，这实际明确告知我们三种方式之下路程之比相同！而题目要 求两人相遇时距B多少千米，实际是求乙的路程，若能求得乙的 速度和时间则问题可解。【解】按照题中的“；”形成的两部分进行来研究：在甲提速10%乙提速300米后甲乙相遇地点不变，路程之比 没变，可见提速前后两人的速度之比也保持不 变。从而若甲提速 10%勺话，乙提速300米也应为10%从而不难求得乙的原速度为 3千米/小时。甲提前出发1小时，乙提速1000米后，两人依然在C点相 遇。换句话说其实就是：乙在提速10

7、00米后比平时少用1个小 时到达C点。而乙在提速1千米后，前后 速度之比为3： 4,则所用时间之比应为4： 3,少用的1小时为1份，则乙原用时应为4 小时。如此乙的速度和时间都已求得，则其路程为 3X 4=12 千米。即两人相遇时距B 12千米。【点评】在本题中，双双提速后速度之比保持不变的关系式是 不难发现的。比较难理解的是甲提前 1小时出发的意义：由于甲速度未变，从而其到达C点所需的时间是不变 的，由此发现乙到达C点实际上是比提速前少用了 1小时。此处 又是比差模型的典型应用。发现“时间差”其实是个不错的标志 物。【例3】甲、乙两人同时A地出发，在A、B两地之间匀速往 返行走，甲 的速度大

8、于乙的速度，甲每次到达A地、B地或遇到乙都会 调头往回走，除此以外，两人在AB之间行走方向不会改变， 已知两人第一次相遇的地点距离B地1800米，第三次的相遇 点距离B地800米，那 么第二次相遇的地点距离B地。1800 米| 1 I 800;KA C D E B【分析】研究甲乙二人的行为轨迹后容易发现，走路比较快的 甲实际是在乙和B地之间做折返跑往复运动。到达B则折返，遇 到乙再折返。需要注意的是，在折返运动模型”中，二人的“路程和”是个令人舒服的量一一两个全程。另外本题中乙的方 向从未改变，只是从一个相遇点直线到下一个相遇点。其路程也 是比较容易得到的量。如图中所示C、D E依次为第一次、

9、第二 次、第三次的相遇点。【解】设第二次相遇的地点与B的距离DB为x。不难发现：第一次相遇到第二次相遇甲乙二人的路程和为 1800 X2二3600米（其中乙的路程CD二1800咳）；第二次相遇到第三次相遇甲乙二人的路程和为2x （其中乙的路程为 DE*800）；由于甲乙的速度从未改变，则乙的路程占甲乙路程和 的比例应该是一定的，从而有:1800 x x 8003600 2x解得x=1200米，即第二次相遇时两人距B地1200米。【铺垫】甲乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相 向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前 进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次

10、相 遇，求两次相遇地点之间的距离。解：作为多次相遇问题，有必要研究每次相遇时的路程和。第一次相遇时，两人的路程和为1个全程，其中甲走了 4千 米。第二次相遇时，两人的路程和为3个全程，其中甲走了 1个 全程+3千米。由于甲乙速度固定不变，第二次相遇时路程和是第一次相遇时 路程和的3倍，则甲两次的路程也为3倍关系，从而1个全程 =3X 4-3二9千米。去掉两头距离，两次相遇点距离9- (3+4) 二2千米。【点评】本题主要应用行程中另一个常见模型：折返运动模 型。折返运动是多次相遇的一种类型，由于隐含了甲乙速度不变 的条件，则任意时间段内，不论是甲乙的路程之比，还是甲与全程之比或者乙与全程之比均

11、保持 不变。甲 乙二人的路程和时常为“ 2个全程”。这是一个经常需要讨论的 量。折返跑模型应熟练掌握。【例4】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市，开车 后1小时A车出了事故，B和C车照常前 进.A车停车修理 半小时后以原速度的，继续前进，5B、C两车行至距离甲市300千米处B车出了事故，C车照常前进.B车停了半小时后也以原速度的上继5续前进.结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A 车早1小时，求甲、乙两市的距离为多少 千米？【分析】此题为典型的多人行程问题，且过程较为复杂，对此 有必要对每个人各自的行程轨迹进行单独独立分 析。进而对相关 人进行两两分析。例如本题中，需要首

12、先分析A,B,C各自的过 程。【解】由于故障后的速度统一为原速的彳，若设原速度5为5份，则故障速度为4份。过程分析如下：C:以5份的速度行驶完全程，第一个到达终点A:以5份的速度行驶1小时后，停车0.5小时，再以4份的 速度行驶完全程，最后一个到达终点。B:以5份的速度行驶300千米后，停车0. 5小时，再以4份【例5】甲、乙两车分别从相距180千米的4 6两地同时 出发相向而 行，两车在距离A地80千米处相遇，若出发半小时后甲 车突然提速50%那么两车恰好在AB的中点相遇，如果出发 后20分钟甲车把速度 变为原来的一半，那么相遇地点将距A地 千米；【分析】当两车在距A地80千米处相遇时，甲路

13、程二8。 千米，乙路程二100千米，则甲乙的速度之比二4： 5,若甲 速度为4份，则乙速度为5份。【解】甲出发半小时后提速50%眈能与乙车在中点相遇， 这说明甲的平均速度应等于乙的速度，而甲原速为4份， 提速50%i到6份，从而整个过程可 描述为甲用4份的速 度行驶0.5小时后再用6份的速度行驶了 x小时，最终平 均速度为5份，从而路 程二4 0. 5 6x 5 (0.5 x),不难求得x=0. 5 小时，可见相 遇时甲乙均用时0. 5+0. 5=1小时，由于行驶 路程均为180十2二90千米，显见乙的速度二90十仁90千米/小 时，则甲的速度应为90-5 X 4=72千米/小时。在甲乙速度均

14、已求得的情况下来再来分析另一个相遇过 程，甲在以72千米/小时的速度行驶20分钟后，把速度降 低到一半，其实就是 36千米/小时，最终与乙相遇，不难求20分钟即1小时后的剩 余路程= 180 (72 90) $二千米,进而求得相遇所需的3额外时间二126 (36 90) 1小时，可见整个相遇过程共用时小 时，其中乙的路程二90 1 - 120千米，即相遇地3 3点距A地180-120=60千米。【点评】对“平均速度”的分析是解决本题的钥匙。【例6】A、B两地相距600千米，甲坐车从A地到B地，2小时 后，乙和丙也同时从A地出发前往B地，又过了 3个小 时，乙追上了甲并继续向前走，到达B地后迅速

15、返回，途 中与甲再次相遇时，正好丙也追上了甲.已知丙的速度比甲 的速度快9,那么甲的速度 是每小时多少千米？【分析】作为三人行程问题，有必要对各人的行踪 进行单 独分析，进而两两关联分析。【解】题目最后提到丙的速度比甲快”即两人速 度比为10： 9O分析知甲丙之间为追及关系，甲提前2小时出发，最后 时刻丙追 上甲，在这个过程中丙甲时间比为速度比的反比，即为9： 10,可见甲用时20小时，丙用时18小时，当然此时乙也走了 18小时了。进而单独分析甲乙之间的关系，一开始也为追及关系，甲出发2 小时后乙出发，并在3小时后追上甲，此 处说明二者所用 时间之比为甲：乙二5： 3,从而二 者速度之比为3： 5O 乙在追上甲后继续前进，到达B地后折返并与甲相遇，这是 典型的折返相遇问题，此时二人的路程和为2个全程： 600X 2=1200千米，由前知这是甲20小时路程+乙18小 时路程。鉴于二人速度之比为3： 5,乙18小时的路程相当于甲18-3X 5二30小时的路程，从而1200千米相当于甲20+30=50小 时的路程，从而甲的速度二1200十50二24千米/小时。【点评】此题是对追及问题进行比例法分析的典型应用，另外 涉及“折返运动”模型时，对“路程和”的分析应 成为条件反射 式行为。