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1、高考数学精华资料打印版无修版高考数学精华资料【打印版无修版】 【高考重要定理100个】定理1：在三角形中关键前提，abc是sinAsinBsinC的充分必要条件。这是选择题常考的一个典型知识点定理2在三角形中，若sinAsinB，则B必定为锐角，A待定。记忆方法：由正弦知ab，根据“大角对大边”原则知AB，显然在三角形中，B角不可能为钝角或者直角，所以必为锐角。记忆口诀：正弦小为锐定理3：(sina)2(sinb)2sin(a+b)sin(a-b)注：首先不要怀疑这个定理的正确性，真理就是真理，这个定理可以运用于求某个三角形是何种三角形，证明方法：令a(a+b)/2+(a-b)/2，b(a+b

2、)/2-(a-b)/2 定理4：在复数范围内，1的n次方根必有n根。它的解体现在复数平面内的单位圆与其n等分线的交点上定理5空间四面体凸形必有内切球，必有外接球。这个结论有可能出现在组合型选择题中定理6：根据tana求cosa，sina的快速方法是：构造一个直角三角形。注：正负根据tana待定 定理7：sin18度(5-1)/4，简单记忆为：黄金比的一半；tan15度2-3；tan75度23；52.236。知道这些常数只是为了加快计算速度定理8：非p是非q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件这个结论的价值是：一般不考虑非p和非q的内容是什么，而是先转化到p与q之间的关系，而且这样不容易

3、出错定理9：在等差数列中，Sn=na中当n为奇数时。注：na中的意思是n倍中间项举例说明：S77a4(第一个7与4为下角标。强调：一定是在等差数列中。定理10：在等差数列中，若mnpq，则amanapaq；反之，也成立。这个定理的价值在于后半部分的利用，有些题目如果灵活一点有可能在此挖心思说明：上述定理可以推广成多项。定理11：关于如何得到圆锥曲线中的椭圆，双曲线，抛物线：1，椭圆。所截平面与圆锥底面成x角，0x90度，左右切尽，构成封闭截面就是椭圆；2，双曲线：所截平面垂直圆锥底面排除过顶点切的这种情况，这种情况的截面是三角形；3：抛物线：所截平面平行于圆锥母线。定理12：法向量有两种一正一

4、负。注意答题，回答一种是错的定理13：射影公式：向量a在向量b上的射影(向量a向量b)即数量积/(向量b的模)。记忆方法：在哪里射影除哪个的模，分子都是数量积 说明：射影有正负。定理14：椭圆焦点在x轴的表达形式：x2/a2y2/b21(ab0)(a2b2c2)，焦点在y轴，y2/a2x2/b21(ab0)(a2b2+c)2；双曲线焦点在x轴：x2/a2-y2/b21(a0，b0)(c2a2b2)，焦点在y轴：y2/a2-x2/b21(a0，b0)(c2a2b2)。别看这个很基础，有些人只要一把焦点转到y轴就开始糊涂了，等式和方程无法对应起来，现在整理出来，请务必搞懂定理15：已知三角形三点坐

5、标求其面积的方法：任取其中两个点得到一条向量m(a，b)，再任取两个点得到一条向量n=(x，y)，则Say-bx/2.记忆方法：对角相乘相减再除2.证明方法定理16：已知双曲线表达式求其渐近线的快速方法：令右边为0即可。举例说明：已知后双曲线(y2)/3x21，令右边为0有：(y2)/3x2，所以渐近线为y3x，或者y=-3x.定理17：异面直线的公垂线有无数条，与两条异面直线都相交的公垂线有且仅有1条。定理18：空间四面体的重心公式(x1+x2+x3+x4)/4，(y1+y2+y3+y4)/4，(z1+z2+z3+z4)/4：由S定理19：若一个集和谐合含有n(n为正整数)个元素，它的子集为

6、2n个，它的非空子集为(2n)-1个，它的真子集(2n)-1个，它的非空真子集为(2n)-2个.定理20：直观图的面积是原图面积的2/4倍.斜二测画法是一个冷门，但不要忘记掌握它的画法定理21正四面体的棱长为a，则必有以下结论：它的高为h=(6)a/3，它的外接球的半径R=3h/4，它的内切球的半径r=h/4，它的体积V=(2)a3/12，它的任意两对棱间的距离d=(2)a/2。同学们有兴趣的可以自己推导：外接构造直角三角形，内切利用等体积。公式写在笔记本上会整洁哦，这里为了不引起歧义以及编辑工具的问题所以有点繁琐，敬请谅解1/2absinC推导定理22：若长方体一条对角线与同一顶点的三条棱所

7、成角分别为a.b.c.必有(cosa)2+(cosb)2+(cosc)2=1.定理23对于a(n+1)=ban+d的构造,首先写出基本形式a(n+1)+x=b(an+x),则x=d/(b-1)，轻易构造新等比数列。对于这个也有利用特征根方程的做法，怕你们弄糊了，在此不介绍定理24：有理根定理：设f(x)=anxn+.+a1x+a0 Z(x),其中an0。如果c =s / t是f（x）的根，其中s、tZ且（s，t）=1，则t整除an,且s整除a0.不作很大要求，不懂也没关系定理25：注意点：a.周期函数，周期必无限 b.周期函数未必存在最小正周期 ，如：常数函数 。 c.周期函数加周期函数未必是

8、周期函数，如：ysinx 与ysin派x 相加不是周期函数。 定理26：若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sm ，S2mSm，S3mS2m，为等差数列；等比数列的前 n 项和为Sn ，则在公比不等于1时，Sm，S2m Sm，S3mS2m ，成等比数列。强调q不等于-1定理27：等比数列爆强公式：S(nm)S(m)(qm) S(n) 作用：可以迅速求q.记忆方法：中间三个都是m，头尾保持为n定理28：适用条件：直线过焦点，必有ecosA（x1）/（x1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角 。x为分离比 ，必须大于1。 注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，

9、用该公式；如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。定理29：请务必搞懂下面这两个恒等式关于对称问题1，若在R上（下同）满足：f（ax）f（bx）恒成立， 对称轴为x（ab）/2 ，2、函数y=f（ax） 与y=f(bx）的图像关于x=（ba）/2对称。记忆方法：第一个：左右括号内相加除。第二个：令左括号内式右括号内式，解出x即为对称轴定理30：关于函数奇偶性 1、对于属于R上的奇函数有f（0）0 ；2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项。 举例说明：若f(x)ax4bx3cx2dxe为奇函数，必有a=0，c=0，e=0.(常数项可以看成是x

10、0，归为偶次方项处理)；若该函数是偶函数，则b=0，d=0定理31： 数列的终极利器，（如果看不懂就算了）。首先介绍公式：对于a(n1)panq ，a1已知，那么特征根x=q/(1p) ，则数列通项公式为an（a1x）p（n1）x ，这是一阶特征根方程的运用。说明：这与前面的那个构造求法是不一样(我想说的是两个x不一样)定理32：关于三次函数：三次函数曲线是中心对称图形，它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，图像中必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。定理33：关于复合函数：1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2，复合函数单调性：

11、同增异减。说明：对于复合函数，不要畏惧它有几重复合，关键理解在于每个函数总是基函数得来的定理34：隔项相消的求和：对于Sn1/（13）1/(24)1/（35）1/n(n2)1/211/21/(n1)1/(n2) 注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项 。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁！_定理35：以下命题均错：1，空间中不同三点确定一个平面；2，垂直同一直线的两直线平行 ；3，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；4，如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面 ；5，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；6，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的

12、几何体都是棱锥 。注：对初中生不适用。定理36：所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。除此之外，不可能存在其它的棱锥使得棱长均相等。在做选择或者填空题时有用定理37：求f(x)x-1x-2x-3xn （n为正整数）的最小值。 答案为：当n为奇数，最小值为（n21）/4，在x（n1）/2时取到；当n为偶数时，最小值为n2/4，在xn/2 或(n/2 )1时取到。定理38：（a2b2）/2（ab）/2ab2ab/（ab） （a、b为正数，是统一定义域）说明：这个很基础，但是可以推广成多项定理39：椭圆中焦点三角形面积公式：S=b2tan(A/2)在双曲线中：Sb2/tan(A/ 2) 说明：适

13、用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。计算时可以加快速度，证明方法：s1/2absinC加上向量定理40：适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式：k椭-（b2） xo/（a2）yo k双（b2） xo/（a2）yo k抛p/yo 注：（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。证明方法：点差法定理41：常用数列bnn(2n) 求和Sn（n1）（2(n1)）2 记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2.这个不能推广，但是方法可以推广：错位相减定理42：12+2232n21/6（n）（n1）（2n1） ； 132333n31/4（n2）（n1）2定理43：空间向量三公式解

14、决所有立体几何题目：cosA|向量a.向量b/向量a的模向量b的模 |一：A为线线夹角，二：A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：A为面面夹角 注：以上角范围均为0，派/2。说明：立体几何的建立空间直角坐标系非常重要定理44：切线长l（d2-r2） d表示圆外一点到圆心得距离 ， r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。定理45：（abc）n的展开式合并之后的项数为：C(n+2)(2) ，n+2在下，2在上定理46：，关于解决证明含ln 的不等式的一种思路：爆强：举例说明：证明11/21/31/nln（n+1） 把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。 解：令an1/n ， 令Snln

15、（n+1），则bnln（n1）lnn ，那么只需证an bn即可，根据定积分知识画出y1/x的图。an11/n矩形面积曲线下面积bn。当然前面要证明1ln2。 注：仅供有能力的童鞋参考！另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。说明：前提是含ln 。说明：这类题目还有构造函数的方法。有时间再介绍。定理47：关于一个重要绝对值不等式：|a|b|abab定理48：对于y22px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。 爆强定理的证明：对于y22px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/（sinA）2，所以与之垂直的弦长为2p/（cosA）2

16、，所以求和再据三角知识可知。定理49：一个思路：如果出现两根之积x1x2m，两根之和x1x2n，我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数，再利用大于等于0，可以得到m、n范围。数学思想很重要，对吧定理50：已知三角形中ABa，ACb，O为三角形的外心，则向量AO向量BC（即数量积）(1/2)b2-a2强烈推荐！ 证明方法：过O作BC垂线，转化到已知边上定理51：几个数学易错点：1，f(x)0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件；2，在研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称！；3，不等式的运用过程中，千万要考虑=号是否取到！4，研究数列问题不考虑

17、分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项！定理52：函数y(lnx)/x在（0，e）上单调递增，在（e，无穷）上单调递减。 另外y=x(1/x)与该函数的单调性一致。y=x(1/x)与y=lnx/x单调性一致的证明方法：对式两边同时取自然对数你就会了_定理53：常用结论：过(2p，0)的直线交抛物线y22px 于A、B两点。O为原点，连接AO.BO。必有角AOB=90度。证明方法：可以利用向量积为零证明垂直定理54：对于抽象函数的处理方法如下：柯西函数方程：若f（x）连续或单调（1）若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=ax

18、（2）若f(xy)=f(x)f(y) (x0,y0),则f(x)=xu(u由初值给出) （3）f(xy)=f(x)f(y) 则f（x）=ax（4）若f(xy)=f(x)f(y)kxy,则f(x)=ax2bx （5）若f(xy)f(xy)=2f(x),则f(x)=axb特别的若f（x）+f（y）=f（x+y），则f（x）=kx.对于抽象函数，基本思路是赋值，但不乏赋字母定理55：一个三角形的两个内角正切不可能同时为负。你想想就会的，这个有可能用于界定角定理56关于错位相减：数列求和中，有些常常使用的错位相减总是粗心算错，规避方法：在写第二步时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除掉系数。最好的方

19、法是：最后检验一下定理57：过椭圆外一点（x,y)可作椭圆x2/a2+y2/b2=1的两条切线，两切点所在直线方程：xx/a2+yy/b2=1切点弦方程！【牢记吧，可以推广到各类曲线！】定理58：关于积化和差的推导：举例说明：要求将sinasinb化成和差形式，首先想一下在和角差角公式中出现的sinasinb两个同名三角函数相乘必定是由于cos(a+b)与cos(a-b)引起，请看式子：cos(a+b)cosacosb-sinasinb，cos(a-b)cosacosb+sinasinb，要求出sinasinb，用-即可，得到cos(a-b)-cos(a+b)2sinasinb，所以sinas

20、inb-1/2cos(a+b)-cos(a-b)推导完毕。其他同理：cosacosb1/2cos(a+b)cos(a-b)，sinacosb=1/2sin(a+b)sin(a-b)，cosasinb与其实是一样的b换成a，a换成b即可这就是和差化积的所有内容！掌握原理很重要！定理59和差化积的思想是角的演变：a=(a+b)/2(a-b)/2，b=(a+b)/2(a-b)/2，比如求sina-sinb只需把、代入即可化简有sinasinb2cos(a+b)/2sin(a-b)/2其他同理。说明：和差化积只可以求同名三角函数的和差化积，意思是不存在sina-cosb的化积。敬请注意定理60：万能公

21、式的全部内容：sin2a2tana/1(tana)2，cos2a1-(tana)2/1(tana)2，tan2a2tana/1-(tana)2证明方法：前面两个用代换1，最后一个其实就是正切2倍角展开定理61：y=asin(bxm)为奇函数的充分必要条件是：m=k(k为整数)；为偶函数的充分必要条件是m=k+/2。y=acos(bxm)为奇函数的充分必要条件是m=k/2；为偶函数的充分必要条件是m=k.定理62：从n个元素里取出m个互不相邻的元素的取法总数：C(n-m+1)(m) 注：n-m+1在下定理63：一个速算方法：请看：152225，252625，3521225，4522025，总结规

22、律是：(x5)2x(x+1)25，比如65267254225。_定理64：最有价值的恒等式：若f(x)的图像关于(a,b)成中心对称等价于f(xa)f(-x+a)2b，或者f(x)f(-x2a)2b。关于这个恒等式的利用价值如下：如果已知f(x)图像与g(x)图像关于(a，b)成中心对称，且f(x)的解析式已知，求g(x)的解析式。做法：写出恒等式即可，g(x)f(-x+2a)2b，所以g(x)2b-f(-x+2a5 定理65图片定理66图片定理67图片定理68：关于辅助角公式：asintbcost(a2+b2)sin(t+m) 其中tanmb/a条件：a0 说明：一些的同学习惯去考虑sinm

23、或者cosm来确定m，个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。举例说明：sinx3cosx2sin(x+m)，因为tanm3，所以m=60度，所以原式2sin(x+60度)定理69：对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证明如下:因为A+B=-C，所以tan(A+B)=tan(-C)即：(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证定理70y=logax y=1/xlna；y=ax y=(ax)lna解题说明：这两个

24、式子的求导比较冷门，但是并不代表不考，它是课本中明确给出的。而且对于这2个公式，我们必须会正反逆用，意思是会求定积分。举例说明：(1-2)(2x)dx=？，解：2x的原函数是2x/ln2，所以原式=22/ln2-2/ln22/ln2定理71无论哪一种抽样方法，每个人抽到的概率都是一样的。值得注意的是，在系统抽样中，剔除中个体与被抽到的个体其概率仍然一样。举例说明：采用系统抽样，从123人中抽取1个容量为12的样本，求每人被抽取的概率.(答案：12/123)。解：先从123人中剔除3人，然后将所余120人分成12组，每组10人，再从每组中抽取1人.对于每个人，他未被剔除的概率为120/123 ，

25、从120人中分组抽取12人，他被抽中的概率为12/120。，因此在整个抽样过程中，每个被抽取的概率为 120/12312/120 =12/123定理72：若随机变量服从N(，2 )，则为正态分布其中表示随机变量的均值，2 表示方差。解题说明：正态分布的密度 函数 的特点是：关于对称，并在处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在处有 拐点 ，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形 曲线 。当=0，2 =1时，称为 标准正态分布 ，记为N（0，1）。最关键的是：图像关于x=对称，我们把该图像曲线与x轴“围成”其实不封闭的面积看成概率。定理74：关于y=logax与y=ax的交点个数问

26、题：它们可能存在0、1、2、3个交点。具体内容请参考人教网高中数学版块。定理75：若圆1：x2+y2c1xd1y+e1=0与圆2：x2+y2c2xd2ye2=0相交，则相交弦所在直线方程：(c1-c2)x+(d1-d2)y+(e1-e2)=0(-即可)定理76：若直线 l1, l2的斜率分别为 k1, k2 ，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过90度的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则tan=(k2-k1)/(1k1k2) ,tan = (k2-k1)/(1k1k2)解题说明：可以运用于三直线构成等腰三角形的问题等定理77

27、两平行直线l1：axbyc1=0，l2：ax+by+c2=0，它们之间的距离=c1-c2/(a2+b2)解题说明：值得注意的是：一定要把两个式子的前面2项化成完全相同，比如要求2x+y+3=0与4x+2y+5=0之间的距离首先要做的工作：把式乘2，得：4x+2y+6=0，再使用公式。定理78：若 A ， B 至少有一个不为零，则 a n 是等差数列的充要条件是 S n = An 2 + Bn定理79：a/bb/c是a，b，c成等比数列的充要条件；b2ca是a，b，c成等比数列的必要不充分条件。说明：式中不可能存在有一个数为0，而可能存在。定理80关于映射有许多同学不是很清楚，请看下面的解释：定

28、义：映射，对于任意两个* A ， B ，依对应法则f ，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称 f : A B 为一个映射。记忆方法：每元有象，象必唯一。如果映射f是*A到*B的映射，并且对于*B中的任一元素，在*A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从*A到*B的一一映射。映射 f : A B 中，若 A ， B 都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域。函数是一种特殊的映射定理81图片定理82图片定理83图片定理84：不定方程 x1 +x2 + +xn =r 的正整数解的个数为C(r-1)(n-1) 其中n-1在上

29、。而左边1，2，n均为下标。(下同) 推论1： 不定方程 x1+x2+xn=r 的非负整数解的个数为C(n+r-1)(r)其中r在上推论 2： 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组合，其组合数为C(n+m-1)(m)其中m在上定理85：欧拉定理 ：ABC的外心 O ，垂心 H ，重心 G 三点共线，且OG=GH/2解题说明：有可能在填空题中遇到，但不常见定理86：几个易错知识点：1，不等式运用中2次放缩取等不一，或者1次放缩取等不合题意；2，函数中忘记考虑定义域这个是至关重要的；3，换元中忘记考虑新的定义域，三角换元中忘记考虑给出限定范围；4，计算错位相减忽略检验首项；5，集和谐合关系中忽略空集；6，二次函数的韦达定理是建立在判别式=0上的，即若无解，则韦达定理无意义；7，解三角形中千万不能忽略构成三角形的条件。解题说明：相信好多你们都知道，