高考数学精华资料打印版无修版.docx
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高考数学精华资料打印版无修版
高考数学精华资料【打印版无修版】
【高考重要定理100个】
■[定理1]:
在三角形中[关键前提],a>b>c是sinA>sinB>sinC的充分必要条件。
[这是选择题常考的一个典型知识点
■[定理2]在三角形中,若sinA>sinB,则B必定为锐角,A待定。
[记忆方法:
由正弦知a>b,根据“大角对大边”原则知A>B,显然在三角形中,B角不可能为钝角或者直角,所以必为锐角。
记忆口诀:
正弦小为锐]
■[定理3]:
(sina)^2-(sinb)^2=sin(a+b)sin(a-b)[注:
首先不要怀疑这个定理的正确性,真理就是真理,这个定理可以运用于求某个三角形是何种三角形,证明方法:
令a=[(a+b)/2]+[(a-b)/2],b=[(a+b)/2-(a-b)/2]
■[定理4]:
在复数范围内,1的n次方根必有n根。
[它的解体现在复数平面内的单位圆与其n等分线的交点上]
■[定理5]空间四面体[凸形]必有内切球,必有外接球。
[这个结论有可能出现在组合型选择题中]
■[定理6]:
根据tana求cosa,sina的快速方法是:
构造一个直角三角形。
[注:
正负根据tana待定]
■[定理7]:
sin18度=(√5-1)/4,[简单记忆为:
黄金比的一半];tan15度=2-√3;tan75度=2+√3;√5≈2.236。
[知道这些常数只是为了加快计算速度]
■[定理8]:
非p是非q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件[这个结论的价值是:
一般不考虑非p和非q的内容是什么,而是先转化到p与q之间的关系,而且这样不容易出错]
■[定理9]:
在等差数列中,Sn=na中[当n为奇数时]。
[注:
na中的意思是n倍中间项举例说明:
S7=7a4(第一个7与4为下角标]。
强调:
一定是在等差数列中。
■[定理10]:
在等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;反之,也成立。
[这个定理的价值在于后半部分的利用,有些题目如果灵活一点有可能在此挖心思]说明:
上述定理可以推广成多项。
■[定理11]:
关于如何得到圆锥曲线中的椭圆,双曲线,抛物线:
1,椭圆。
所截平面与圆锥底面成x角,[0<x<90度],左右切尽,构成封闭截面就是椭圆;2,双曲线:
所截平面垂直圆锥底面[排除过顶点切的这种情况,这种情况的截面是三角形];3:
抛物线:
所截平面平行于圆锥母线。
■[定理12]:
法向量有两种[一正一负]。
[注意答题,回答一种是错的]
■[定理13]:
射影公式:
向量a在向量b上的射影=(向量a×向量b)[即数量积]/(向量b的模)。
[记忆方法:
在哪里射影除哪个的模,分子都是数量积]说明:
射影有正负。
■[定理14]:
椭圆焦点在x轴的表达形式:
x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)(a^2=b^2+c^2),焦点在y轴,y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0)(a^2=b^2+c)^2;◆◆双曲线焦点在x轴:
x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)(c^2=a^2+b^2),焦点在y轴:
y^2/a^2-x^2/b^2=1(a>0,b>0)(c^2=a^2+b^2)。
[别看这个很基础,有些人只要一把焦点转到y轴就开始糊涂了,等式和方程无法对应起来,现在整理出来,请务必搞懂]
■[定理15]:
已知三角形三点坐标求其面积的方法:
任取其中两个点得到一条向量m=(a,b),再任取两个点得到一条向量n=(x,y),则S=∣ay-bx∣/2.[记忆方法:
对角相乘相减再除2.证明方法■[定理16]:
已知双曲线表达式求其渐近线的快速方法:
令右边为0即可。
[举例说明:
已知后双曲线(y^2)/3-x^2=1,令右边为0有:
(y^2)/3=x^2,所以渐近线为y=√3x,或者y=-√3x.]
■[定理17]:
异面直线的公垂线有无数条,与两条异面直线都相交的公垂线有且仅有1条。
■[定理18]:
空间四面体的重心公式[(x1+x2+x3+x4)/4,(y1+y2+y3+y4)/4,(z1+z2+z3+z4)/4]:
由S=■[定理19]:
若一个集[和谐]合含有n(n为正整数)个元素,它的子集为2^n个,它的非空子集为(2^n)-1个,它的真子集(2^n)-1个,它的非空真子集为(2^n)-2个.
■[定理20]:
直观图的面积是原图面积的√2/4倍.[斜二测画法是一个冷门,但不要忘记掌握它的画法]
■[定理21]正四面体的棱长为a,则必有以下结论:
它的高为h=(√6)a/3,它的外接球的半径R=3h/4,它的内切球的半径r=h/4,它的体积V=[(√2)a^3]/12,它的任意两对棱间的距离d=(√2)a/2。
[同学们有兴趣的可以自己推导:
外接构造直角三角形,内切利用等体积。
公式写在笔记本上会整洁哦,这里为了不引起歧义以及编辑工具的问题所以有点繁琐,敬请谅解]
1/2absinC推导]
■[定理22]:
若长方体一条对角线与同一顶点的三条棱所成角分别为a.b.c.必有(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1.
■[定理23]对于a(n+1)=ban+d的构造,首先写出基本形式a(n+1)+x=b(an+x),则x=d/(b-1),轻易构造新等比数列。
[对于这个也有利用特征根方程的做法,怕你们弄糊了,在此不介绍]
■[定理24]:
有理根定理:
设f(x)=anx^n+...+a1x+a0∈Z(x),其中an≠0。
如果c=s/t是f(x)的根,其中s、t∈Z且(s,t)=1,则t整除an,且s整除a0.[不作很大要求,不懂也没关系]
■[定理25]:
注意点:
a.周期函数,周期必无限b.周期函数未必存在最小正周期,如:
常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数,如:
y=sinx与y=sin派x相加不是周期函数。
■[定理26]:
若等差数列的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…为等差数列;等比数列的前n项和为Sn,则在公比不等于-1时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列。
[强调q不等于-1]
■[定理27]:
等比数列爆强公式:
S(n+m)=S(m)+(q^m)S(n)[作用:
可以迅速求q.记忆方法:
中间三个都是m,头尾保持为n]
■[定理28]:
适用条件:
[直线过焦点],必有ecosA=(x-1)/(x+1),其中A为直线与焦点所在轴夹角,是锐角。
x为分离比,必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上),用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上),右边为(x+1)/(x-1),其他不变。
■[定理29]:
[请务必搞懂下面这两个恒等式]关于对称问题1,若在R上(下同)满足:
f(a+x)=f(b-x)恒成立,对称轴为x=(a+b)/2,◆◆◆2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称。
[记忆方法:
第一个:
左右括号内相加除。
第二个:
令左括号内式=右括号内式,解出x即为对称轴]
■[定理30]:
关于函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数,奇函数没有偶次方项,偶函数没有奇次方项。
[举例说明:
若f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e为奇函数,必有a=0,c=0,e=0.(常数项可以看成是x^0,归为偶次方项处理);若该函数是偶函数,则b=0,d=0]
■[定理31]:
数列的终极利器,(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式:
对于a(n+1)=pan+q,a1已知,那么特征根x=q/(1-p),则数列通项公式为an=(a1-x)p^(n-1)+x,这是一阶特征根方程的运用。
[说明:
这与前面的那个构造求法是不一样(我想说的是两个x不一样)
■[定理32]:
关于三次函数:
[三次函数曲线是中心对称图形],它有一个对称中心,求法为二阶导后导数为0,根x即为中心横坐标,纵坐标可以用x带入原函数界定。
另外,图像中必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。
■[定理33]:
关于复合函数:
1、复合函数奇偶性:
内偶则偶,内奇同外2,复合函数单调性:
同增异减。
[说明:
对于复合函数,不要畏惧它有几重复合,关键理解在于每个函数总是基函数得来的]
■[定理34]:
隔项相消的求和:
对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]◆◆[注:
隔项相加保留四项,即首两项,尾两项。
自己把式子写在草稿纸上,那样看起来会很清爽以及整洁!
^_^]
■[定理35]:
■以下命题均错■:
1,空间中不同三点确定一个平面;2,垂直同一直线的两直线平行;3,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;4,如果一条直线与平面内无数条直线垂直,则直线垂直平面;5,有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱;6,有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体都是棱锥。
[注:
对初中生不适用。
]
■[定理36]:
■所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。
除此之外,不可能存在其它的棱锥使得棱长均相等。
[在做选择或者填空题时有用]
■[定理37]:
求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。
答案为:
当n为奇数,最小值为(n^2-1)/4,在x=(n+1)/2时取到;当n为偶数时,最小值为n^2/4,在x=n/2或(n/2)+1时取到。
■[定理38]:
√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b为正数,是统一定义域)[说明:
这个很基础,但是可以推广成多项]
■[定理39]:
椭圆中焦点三角形面积公式:
S=b^2tan(A/2)在双曲线中:
S=b^2/tan(A/2)说明:
适用于焦点在x轴,且标准的圆锥曲线。
A为两焦半径夹角。
[计算时可以加快速度,证明方法:
s=1/2absinC加上向量]
■[定理40]:
适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式:
k椭=-{(b^2)xo}/{(a^2)yo}k双={(b^2)xo}/{(a^2)yo}k抛=p/yo注:
(xo,yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。
[证明方法:
点差法]
■[定理41]:
常用数列bn=n×(2^n)求和Sn=(n-1)×(2^(n+1))+2记忆方法:
前面减去一个1,后面加一个,再整体加一个2.[这个不能推广,但是方法可以推广:
错位相减]
■[定理42]:
1^2+2^2+3^2+…+n^2=1/6(n)(n+1)(2n+1);1^3+2^3+3^3+…+n^3=1/4(n^2)(n+1)^2
■[定理43]:
空间向量三公式解决所有立体几何题目:
cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模×向量b的模]|一:
A为线线夹角,二:
A为线面夹角(但是公式中cos换成sin)三:
A为面面夹角■注:
以上角范围均为[0,派/2]。
[说明:
立体几何的建立空间直角坐标系非常重要
■[定理44]:
切线长l=√(d^2-r^2)d表示圆外一点到圆心得距离,r为圆半径,而d最小为圆心到直线的距离。
■[定理45]:
(a+b+c)^n的展开式[合并之后]的项数为:
C(n+2)
(2),n+2在下,2在上
■[定理46]:
■,关于解决证明含ln的不等式的一种思路:
爆强■■■:
举例说明:
证明1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)把左边看成是1/n求和,右边看成是Sn。
解:
令an=1/n,令Sn=ln(n+1),则bn=ln(n+1)-lnn,那么只需证an>bn即可,根据定积分知识画出y=1/x的图。
an=1×1/n=矩形面积>曲线下面积=bn。
当然前面要证明1>ln2。
[■注:
仅供有能力的童鞋参考!
!
另外对于这种方法可以推广,就是把左边、右边看成是数列求和,证面积大小即可。
说明:
前提是含ln。
]说明:
这类题目还有构造函数的方法。
有时间再介绍。
■[定理47]:
关于一个重要绝对值不等式:
∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣
■[定理48]:
对于y^2=2px,过焦点的互相垂直的两弦AB、CD,它们的和最小为8p。
[爆强定理的证明:
对于y^2=2px,设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔(sinA)^2〕,所以与之垂直的弦长为2p/[(cosA)^2],所以求和再据三角知识可知。
]
■[定理49]:
一个思路:
如果出现两根之积x1x2=m,两根之和x1+x2=n,我们应当形成一种思路,那就是返回去构造一个二次函数,再利用△大于等于0,可以得到m、n范围。
[数学思想很重要,对吧]
■[定理50]:
已知三角形中AB=a,AC=b,O为三角形的外心,则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b^2-a^2]强烈推荐!
[★证明方法:
过O作BC垂线,转化到已知边上]
■[定理51]:
几个数学易错点:
1,f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件;2,在研究函数奇偶性时,忽略最开始的也是最重要的一步:
考虑定义域是否关于原点对称!
;3,不等式的运用过程中,千万要考虑"="号是否取到!
4,研究数列问题不考虑分项,就是说有时第一项并不符合通项公式,所以应当极度注意:
数列问题一定要考虑是否需要分项!
■[定理52]:
函数y=(lnx)/x在(0,e)上单调递增,在(e,+无穷)上单调递减。
另外y=x^(1/x)与该函数的单调性一致。
[y=x^(1/x)★与y=lnx/x单调性一致的证明方法:
对★式两边同时取自然对数你就会了]^_^
■[定理53]:
常用结论:
过(2p,0)的直线交抛物线y^2=2px于A、B两点。
O为原点,连接AO.BO。
必有角AOB=90度。
[证明方法:
可以利用向量积为零证明垂直]
■[定理54]:
对于抽象函数的处理方法如下:
柯西函数方程:
若f(x)连续或单调
(1)若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0),则f(x)=㏒ax
(2)若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0),则f(x)=x^u(u由初值给出)(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a^x(4)若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,则f(x)=ax2+bx(5)若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),则f(x)=ax+b特别的若f(x)+f(y)=f(x+y),则f(x)=kx.[对于抽象函数,基本思路是赋值,但不乏赋字母]
■[定理55]:
一个三角形的两个内角正切不可能同时为负。
[你想想就会的,这个有可能用于界定角]
■[定理56]关于错位相减:
数列求和中,有些常常使用的错位相减总是粗心算错,规避方法:
在写第二步时,提出公差,括号内等比数列求和,最后除掉系数。
[最好的方法是:
最后检验一下]
■[定理57]:
过椭圆外一点(x',y')可作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两条切线,两切点所在直线方程:
x'x/a^2+y'y/b^2=1切点弦方程!
【牢记吧,可以推广到各类曲线!
】
■[定理58]:
关于积化和差的推导:
举例说明:
要求将sinasinb化成和差形式,首先想一下在和角差角公式中出现的sinasinb[两个同名三角函数相乘必定是由于cos(a+b)与cos(a-b)引起],请看式子:
cos(a+b)=cosacosb-sinasinb★,cos(a-b)=cosacosb+sinasinb◆,要求出sinasinb,用◆-★即可,得到cos(a-b)-cos(a+b)=2sinasinb,所以sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]推导完毕。
[其他同理:
cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)],sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]▲,cosasinb与▲其实是一样的b换成a,a换成b即可]这就是和差化积的所有内容!
掌握原理很重要!
■[定理59]和差化积的思想是角的演变:
a=(a+b)/2+(a-b)/2★,b=(a+b)/2-(a-b)/2▲,比如求sina-sinb只需把★、▲代入即可化简有sina-sinb=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]其他同理。
[说明:
和差化积只可以求同名三角函数的和差化积,意思是不存在sina-cosb的化积。
敬请注意]
■[定理60]:
万能公式的全部内容:
sin2a=2tana/[1+(tana)^2],cos2a=[1-(tana)^2]/[1+(tana)^2],tan2a=2tana/[1-(tana)^2][证明方法:
前面两个用代换1,最后一个其实就是正切2倍角展开]
■[定理61]:
y=asin(bx+m)为奇函数的充分必要条件是:
m=kπ(k为整数);为偶函数的充分必要条件是m=kπ+π/2。
y=acos(bx+m)为奇函数的充分必要条件是m=kπ+π/2;为偶函数的充分必要条件是m=kπ.
■[定理62]:
从n个元素里取出m个互不相邻的元素的取法总数:
C(n-m+1)(m)[注:
n-m+1在下]
■[定理63]:
一个速算方法:
请看:
15^2=225,25^2=625,35^2=1225,45^2=2025,…总结规律是:
(x5)^2=[x(x+1)]25,比如65^2=[6×7]25=4225。
^_^
■[定理64]:
最有价值的恒等式:
若f(x)的图像关于(a,b)成中心对称等价于f(x+a)+f(-x+a)=2b,或者f(x)+f(-x+2a)=2b。
◆◆◆关于这个恒等式的利用价值如下:
如果已知f(x)图像与g(x)图像关于(a,b)成中心对称,且f(x)的解析式已知,求g(x)的解析式。
做法:
写出恒等式即可,g(x)+f(-x+2a)=2b,所以g(x)=2b-f(-x+2a5]
■[定理65]图片
■[定理66]图片
■[定理67]图片
■[定理68]:
关于辅助角公式:
asint+bcost=[√(a^2+b^2)]sin(t+m)其中tanm=b/a[条件:
a>0]说明:
一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m,个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.(见上)。
举例说明:
sinx+√3cosx=2sin(x+m),因为tanm=√3,所以m=60度,所以原式=2sin(x+60度)
■[定理69]:
对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明如下:
因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C)即:
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证
■[定理70]y=logaxy'=1/xlna;y=a^xy'=(a^x)lna[解题说明:
这两个式子的求导比较冷门,但是并不代表不考,它是课本中明确给出的。
而且对于这2个公式,我们必须会正反逆用,意思是会求定积分。
举例说明:
$(1-2)(2^x)dx=?
,解:
2^x的原函数是2^x/ln2,所以原式=2^2/ln2-2/ln2=2/ln2]
■[定理71]无论哪一种抽样方法,每个人抽到的概率都是一样的。
值得注意的是,在系统抽样中,剔除中个体与被抽到的个体其概率仍然一样。
[举例说明:
采用系统抽样,从123人中抽取1个容量为12的样本,求每人被抽取的概率.(答案:
12/123)。
★解:
先从123人中剔除3人,然后将所余120人分成12组,每组10人,再从每组中抽取1人.对于每个人,他未被剔除的概率为120/123,从120人中分组抽取12人,他被抽中的概率为12/120。
],因此在整个抽样过程中,每个被抽取的概率为120/123×12/120=12/123
■[定理72]:
若随机变量服从N(μ,σ^2),则为正态分布其中μ表示随机变量的均值,σ^2表示方差。
[解题说明:
正态分布的密度函数的特点是:
关于μ对称,并在μ处取最大值,在正(负)无穷远处取值为0,在μ±σ处有拐点,形状呈现中间高两边低,图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ=0,σ^2=1时,称为标准正态分布,记为N(0,1)。
最关键的是:
图像关于x=μ对称,我们把该图像曲线与x轴“围成”[其实不封闭]的面积看成概率。
]
■[定理74]:
关于y=logax与y=a^x的交点个数问题:
它们可能存在0、1、2、3个交点。
具体内容请参考人教网高中数学版块。
■[定理75]:
若圆1:
x^2+y^2+c1x+d1y+e1=0★与圆2:
x^2+y^2+c2x+d2y+e2=0▲相交,则相交弦所在直线方程:
(c1-c2)x+(d1-d2)y+(e1-e2)=0(★-▲即可)
■[定理76]:
若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角;l1与l2所成的角中不超过90度的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ,夹角为α,则tanθ=(k2-k1)/(1+k1k2),tanα=∣(k2-k1)/(1+k1k2)∣[解题说明:
可以运用于三直线构成等腰三角形的问题等]
■[定理77]两平行直线l1:
ax+by+c1=0,l2:
ax+by+c2=0,它们之间的距离=∣c1-c2∣/√(a^2+b^2)[解题说明:
值得注意的是:
一定要把两个式子的前面2项化成完全相同,比如要求2x+y+3=0★与4x+2y+5=0之间的距离首先要做的工作:
把★式乘2,得:
4x+2y+6=0,再使用公式。
]
■[定理78]:
若A,B至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An^2+Bn
■[定理79]:
a/b=b/c★是a,b,c成等比数列的充要条件;b^2=ca◆是a,b,c成等比数列的必要不充分条件。
[说明:
★式中不可能存在有一个数为0,而◆可能存在。
]
■[定理80]关于映射有许多同学不是很清楚,请看下面的解释:
定义:
映射,对于任意两个**A,B,依对应法则f,若对A中的任意一个元素x,在B中都有唯一一个元素与之对应,则称f:
A→B为一个映射。
[记忆方法:
每元有象,象必唯一。
]◆◆◆如果映射f是**A到**B的映射,并且对于**B中的任一元素,在**A中都有且只有一个原象,这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系,并称这个映射叫做从**A到**B的一一映射。
◆◆◆映射f:
A→B中,若A,B都是非空数集,则这个映射为函数。
A称为它的定义域。
[函数是一种特殊的映射]
■[定理81]图片
■[定理82]图片
■[定理83]图片
■[定理84]:
不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为C(r-1)(n-1)[其中n-1在上。
而左边1,2…,n均为下标。
(下同)]推论1:
不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为C(n+r-1)(r)[其中r在上]◆◆◆推论2:
从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合,其组合数为C(n+m-1)(m)[其中m在上]
■[定理85]:
欧拉定理:
ΔABC的外心O,垂心H,重心G三点共线,且OG=GH/2[解题说明:
有可能在填空题中遇到,但不常见]
■[定理86]:
几个易错知识点:
1,不等式运用中2次放缩取等不一,或者1次放缩取等不合题意;2,函数中忘记考虑定义域[这个是至关重要的];3,换元中忘记考虑新的定义域,三角换元中忘记考虑给出限定范围;4,计算错位相减忽略检验首项;5,集[和谐]合关系中忽略空集;6,二次函数的韦达定理是建立在判别式>=0上的,即若无解,则韦达定理无意义;7,解三角形中千万不能忽略构成三角形的条件。
[解题说明:
相信好多你们都知道,