高考数学精华资料打印版无修版.docx

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高考数学精华资料打印版无修版

高考数学精华资料【打印版无修版】

【高考重要定理100个】

■[定理1]：

在三角形中[关键前提]，a>b>c是sinA＞sinB＞sinC的充分必要条件。

[这是选择题常考的一个典型知识点

■[定理2]在三角形中，若sinA>sinB，则B必定为锐角，A待定。

[记忆方法：

由正弦知a>b，根据“大角对大边”原则知A>B，显然在三角形中，B角不可能为钝角或者直角，所以必为锐角。

记忆口诀：

正弦小为锐]

■[定理3]：

（sina）^2－（sinb）^2＝sin（a+b）sin（a-b）[注：

首先不要怀疑这个定理的正确性，真理就是真理，这个定理可以运用于求某个三角形是何种三角形，证明方法：

令a＝[（a+b）/2]+[（a-b）/2]，b＝[（a+b）/2-（a-b）/2]

■[定理4]：

在复数范围内，1的n次方根必有n根。

[它的解体现在复数平面内的单位圆与其n等分线的交点上]

■[定理5]空间四面体[凸形]必有内切球，必有外接球。

[这个结论有可能出现在组合型选择题中]

■[定理6]：

根据tana求cosa，sina的快速方法是：

构造一个直角三角形。

[注：

正负根据tana待定]

■[定理7]：

sin18度＝（√5-1）/4，[简单记忆为：

黄金比的一半]；tan15度＝2-√3；tan75度＝2＋√3；√5≈2.236。

[知道这些常数只是为了加快计算速度]

■[定理8]：

非p是非q的必要不充分条件等价于q是p的必要不充分条件[这个结论的价值是：

一般不考虑非p和非q的内容是什么，而是先转化到p与q之间的关系，而且这样不容易出错]

■[定理9]：

在等差数列中，Sn=na中[当n为奇数时]。

[注：

na中的意思是n倍中间项举例说明：

S7＝7a4（第一个7与4为下角标]。

强调：

一定是在等差数列中。

■[定理10]：

在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；反之，也成立。

[这个定理的价值在于后半部分的利用，有些题目如果灵活一点有可能在此挖心思]说明：

上述定理可以推广成多项。

■[定理11]：

关于如何得到圆锥曲线中的椭圆，双曲线，抛物线：

1，椭圆。

所截平面与圆锥底面成x角，[0＜x＜90度]，左右切尽，构成封闭截面就是椭圆；2，双曲线：

所截平面垂直圆锥底面[排除过顶点切的这种情况，这种情况的截面是三角形]；3：

抛物线：

所截平面平行于圆锥母线。

■[定理12]：

法向量有两种[一正一负]。

[注意答题，回答一种是错的]

■[定理13]：

射影公式：

向量a在向量b上的射影＝（向量a×向量b）[即数量积]/（向量b的模）。

[记忆方法：

在哪里射影除哪个的模，分子都是数量积]说明：

射影有正负。

■[定理14]：

椭圆焦点在x轴的表达形式：

x^2/a^2＋y^2/b^2＝1（a>b>0）（a^2＝b^2＋c^2），焦点在y轴，y^2/a^2＋x^2/b^2＝1（a>b>0）（a^2＝b^2+c）^2；◆◆双曲线焦点在x轴：

x^2/a^2-y^2/b^2＝1（a>0，b>0）（c^2＝a^2＋b^2），焦点在y轴：

y^2/a^2-x^2/b^2＝1（a>0，b>0）（c^2＝a^2＋b^2）。

[别看这个很基础，有些人只要一把焦点转到y轴就开始糊涂了，等式和方程无法对应起来，现在整理出来，请务必搞懂]

■[定理15]：

已知三角形三点坐标求其面积的方法：

任取其中两个点得到一条向量m＝（a，b），再任取两个点得到一条向量n=（x，y），则S＝∣ay-bx∣/2.[记忆方法：

对角相乘相减再除2.证明方法■[定理16]：

已知双曲线表达式求其渐近线的快速方法：

令右边为0即可。

[举例说明：

已知后双曲线（y^2）/3－x^2＝1，令右边为0有：

（y^2）/3＝x^2，所以渐近线为y＝√3x，或者y=-√3x.]

■[定理17]：

异面直线的公垂线有无数条，与两条异面直线都相交的公垂线有且仅有1条。

■[定理18]：

空间四面体的重心公式[（x1+x2+x3+x4）/4，（y1+y2+y3+y4）/4，（z1+z2+z3+z4）/4]：

由S＝■[定理19]：

若一个集[和谐]合含有n（n为正整数）个元素，它的子集为2^n个，它的非空子集为（2^n）-1个，它的真子集（2^n）-1个，它的非空真子集为（2^n）-2个.

■[定理20]：

直观图的面积是原图面积的√2/4倍.[斜二测画法是一个冷门，但不要忘记掌握它的画法]

■[定理21]正四面体的棱长为a，则必有以下结论：

它的高为h=（√6）a/3，它的外接球的半径R=3h/4，它的内切球的半径r=h/4，它的体积V=[（√2）a^3]/12，它的任意两对棱间的距离d=（√2）a/2。

[同学们有兴趣的可以自己推导：

外接构造直角三角形，内切利用等体积。

公式写在笔记本上会整洁哦，这里为了不引起歧义以及编辑工具的问题所以有点繁琐，敬请谅解]

1/2absinC推导]

■[定理22]：

若长方体一条对角线与同一顶点的三条棱所成角分别为a.b.c.必有（cosa）^2+（cosb）^2+（cosc）^2=1.

■[定理23]对于a（n+1）=ban+d的构造,首先写出基本形式a（n+1）+x=b（an+x）,则x=d/（b-1），轻易构造新等比数列。

[对于这个也有利用特征根方程的做法，怕你们弄糊了，在此不介绍]

■[定理24]：

有理根定理：

设f（x）=anx^n+...+a1x+a0∈Z（x）,其中an≠0。

如果c=s/t是f（x）的根，其中s、t∈Z且（s，t）=1，则t整除an,且s整除a0.[不作很大要求，不懂也没关系]

■[定理25]：

注意点：

a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小正周期，如：

常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：

y＝sinx与y＝sin派x相加不是周期函数。

■[定理26]：

若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列。

[强调q不等于-1]

■[定理27]：

等比数列爆强公式：

S（n＋m）＝S（m）＋（q^m）S（n）[作用：

可以迅速求q.记忆方法：

中间三个都是m，头尾保持为n]

■[定理28]：

适用条件：

[直线过焦点]，必有ecosA＝（x－1）/（x＋1），其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。

x为分离比，必须大于1。

注上述公式适合一切圆锥曲线。

如果焦点内分（指的是焦点在所截线段上），用该公式；如果外分（焦点在所截线段延长线上），右边为（x+1）/（x-1），其他不变。

■[定理29]：

[请务必搞懂下面这两个恒等式]关于对称问题1，若在R上（下同）满足：

f（a＋x）＝f（b－x）恒成立，对称轴为x＝（a＋b）/2，◆◆◆2、函数y=f（a＋x）与y=f（b－x）的图像关于x=（b－a）/2对称。

[记忆方法：

第一个：

左右括号内相加除。

第二个：

令左括号内式＝右括号内式，解出x即为对称轴]

■[定理30]：

关于函数奇偶性1、对于属于R上的奇函数有f（0）＝0；2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项。

[举例说明：

若f（x）＝ax^4＋bx^3＋cx^2＋dx＋e为奇函数，必有a=0，c=0，e=0.（常数项可以看成是x^0，归为偶次方项处理）；若该函数是偶函数，则b=0，d=0]

■[定理31]：

数列的终极利器，（如果看不懂就算了）。

首先介绍公式：

对于a（n＋1）＝pan＋q，a1已知，那么特征根x=q/（1－p），则数列通项公式为an＝（a1－x）p^（n－1）＋x，这是一阶特征根方程的运用。

[说明：

这与前面的那个构造求法是不一样（我想说的是两个x不一样）

■[定理32]：

关于三次函数：

[三次函数曲线是中心对称图形]，它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。

另外，图像中必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

■[定理33]：

关于复合函数：

1、复合函数奇偶性：

内偶则偶，内奇同外2，复合函数单调性：

同增异减。

[说明：

对于复合函数，不要畏惧它有几重复合，关键理解在于每个函数总是基函数得来的]

■[定理34]：

隔项相消的求和：

对于Sn＝1/（1×3）＋1/（2×4）＋1/（3×5）＋…＋1/[n（n＋2）]＝1/2[1＋1/2－1/（n＋1）－1/（n＋2）]◆◆[注：

隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。

自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁！

^_^]

■[定理35]：

■以下命题均错■：

1，空间中不同三点确定一个平面；2，垂直同一直线的两直线平行；3，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4，如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面；5，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；6，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥。

[注：

对初中生不适用。

]

■[定理36]：

■所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

除此之外，不可能存在其它的棱锥使得棱长均相等。

[在做选择或者填空题时有用]

■[定理37]：

求f（x）＝∣x-1∣＋∣x-2∣＋∣x-3∣＋…＋∣x－n∣（n为正整数）的最小值。

答案为：

当n为奇数，最小值为（n^2－1）/4，在x＝（n＋1）/2时取到；当n为偶数时，最小值为n^2/4，在x＝n/2或（n/2）＋1时取到。

■[定理38]：

√[（a^2＋b^2）/2]≥（a＋b）/2≥√ab≥2ab/（a＋b）（a、b为正数，是统一定义域）[说明：

这个很基础，但是可以推广成多项]

■[定理39]：

椭圆中焦点三角形面积公式：

S=b^2tan（A/2）在双曲线中：

S＝b^2/tan（A/2）说明：

适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。

A为两焦半径夹角。

[计算时可以加快速度，证明方法：

s＝1/2absinC加上向量]

■[定理40]：

适用于标准方程（焦点在x轴）爆强公式：

k椭＝-｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝k双＝｛（b^2）xo｝/｛（a^2）yo｝k抛＝p/yo注：

（xo，yo）均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

[证明方法：

点差法]

■[定理41]：

常用数列bn＝n×（2^n）求和Sn＝（n－1）×（2^（n＋1））＋2记忆方法：

前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2.[这个不能推广，但是方法可以推广：

错位相减]

■[定理42]：

1^2+2^2＋3^2＋…＋n^2＝1/6（n）（n＋1）（2n＋1）；1^3＋2^3＋3^3＋…＋n^3＝1/4（n^2）（n＋1）^2

■[定理43]：

空间向量三公式解决所有立体几何题目：

cosA＝|｛向量a.向量b｝/[向量a的模×向量b的模]|一：

A为线线夹角，二：

A为线面夹角（但是公式中cos换成sin）三：

A为面面夹角■注：

以上角范围均为[0，派/2]。

[说明：

立体几何的建立空间直角坐标系非常重要

■[定理44]：

切线长l＝√（d^2-r^2）d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

■[定理45]：

（a＋b＋c）^n的展开式[合并之后]的项数为：

C（n+2）

（2），n+2在下，2在上

■[定理46]：

■，关于解决证明含ln的不等式的一种思路：

爆强■■■：

举例说明：

证明1＋1/2＋1/3＋…＋1/n＞ln（n+1）把左边看成是1/n求和，右边看成是Sn。

解：

令an＝1/n，令Sn＝ln（n+1），则bn＝ln（n＋1）－lnn，那么只需证an＞bn即可，根据定积分知识画出y＝1/x的图。

an＝1×1/n＝矩形面积＞曲线下面积＝bn。

当然前面要证明1＞ln2。

[■注：

仅供有能力的童鞋参考！

！

另外对于这种方法可以推广，就是把左边、右边看成是数列求和，证面积大小即可。

说明：

前提是含ln。

]说明：

这类题目还有构造函数的方法。

有时间再介绍。

■[定理47]：

关于一个重要绝对值不等式：

∣|a|－|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣＋∣b∣

■[定理48]：

对于y^2＝2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。

[爆强定理的证明：

对于y^2＝2px，设过焦点的弦倾斜角为A.那么弦长可表示为2p/〔（sinA）^2〕，所以与之垂直的弦长为2p/[（cosA）^2]，所以求和再据三角知识可知。

]

■[定理49]：

一个思路：

如果出现两根之积x1x2＝m，两根之和x1＋x2＝n，我们应当形成一种思路，那就是返回去构造一个二次函数，再利用△大于等于0，可以得到m、n范围。

[数学思想很重要，对吧]

■[定理50]：

已知三角形中AB＝a，AC＝b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC（即数量积）＝（1/2）[b^2-a^2]强烈推荐！

[★证明方法：

过O作BC垂线，转化到已知边上]

■[定理51]：

几个数学易错点：

1，f`（x）＜0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件；2，在研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：

考虑定义域是否关于原点对称！

；3，不等式的运用过程中，千万要考虑"="号是否取到！

4，研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：

数列问题一定要考虑是否需要分项！

■[定理52]：

函数y＝（lnx）/x在（0，e）上单调递增，在（e，＋无穷）上单调递减。

另外y=x^（1/x）与该函数的单调性一致。

[y=x^（1/x）★与y=lnx/x单调性一致的证明方法：

对★式两边同时取自然对数你就会了]^_^

■[定理53]：

常用结论：

过（2p，0）的直线交抛物线y^2＝2px于A、B两点。

O为原点，连接AO.BO。

必有角AOB=90度。

[证明方法：

可以利用向量积为零证明垂直]

■[定理54]：

对于抽象函数的处理方法如下：

柯西函数方程：

若f（x）连续或单调

（1）若f（xy）=f（x）＋f（y）（x＞0,y＞0）,则f（x）=㏒ax

（2）若f（xy）=f（x）f（y）（x＞0,y＞0）,则f（x）=x^u（u由初值给出）（3）f（x＋y）=f（x）f（y）则f（x）=a^x（4）若f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋kxy,则f（x）=ax2＋bx（5）若f（x＋y）＋f（x－y）=2f（x）,则f（x）=ax＋b特别的若f（x）+f（y）=f（x+y），则f（x）=kx.[对于抽象函数，基本思路是赋值，但不乏赋字母]

■[定理55]：

一个三角形的两个内角正切不可能同时为负。

[你想想就会的，这个有可能用于界定角]

■[定理56]关于错位相减：

数列求和中，有些常常使用的错位相减总是粗心算错，规避方法：

在写第二步时，提出公差，括号内等比数列求和，最后除掉系数。

[最好的方法是：

最后检验一下]

■[定理57]：

过椭圆外一点（x',y'）可作椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两条切线，两切点所在直线方程：

x'x/a^2+y'y/b^2=1切点弦方程！

【牢记吧，可以推广到各类曲线！

】

■[定理58]：

关于积化和差的推导：

举例说明：

要求将sinasinb化成和差形式，首先想一下在和角差角公式中出现的sinasinb[两个同名三角函数相乘必定是由于cos（a+b）与cos（a-b）引起]，请看式子：

cos（a+b）＝cosacosb-sinasinb★，cos（a-b）＝cosacosb+sinasinb◆，要求出sinasinb，用◆-★即可，得到cos（a-b）-cos（a+b）＝2sinasinb，所以sinasinb＝-1/2[cos（a+b）-cos（a-b）]推导完毕。

[其他同理：

cosacosb＝1/2[cos（a+b）＋cos（a-b）]，sinacosb=1/2[sin（a+b）＋sin（a-b）]▲，cosasinb与▲其实是一样的b换成a，a换成b即可]这就是和差化积的所有内容！

掌握原理很重要！

■[定理59]和差化积的思想是角的演变：

a=（a+b）/2＋（a-b）/2★，b=（a+b）/2－（a-b）/2▲，比如求sina-sinb只需把★、▲代入即可化简有sina－sinb＝2cos[（a+b）/2]sin[（a-b）/2]其他同理。

[说明：

和差化积只可以求同名三角函数的和差化积，意思是不存在sina-cosb的化积。

敬请注意]

■[定理60]：

万能公式的全部内容：

sin2a＝2tana/[1＋（tana）^2]，cos2a＝[1-（tana）^2]/[1＋（tana）^2]，tan2a＝2tana/[1-（tana）^2][证明方法：

前面两个用代换1，最后一个其实就是正切2倍角展开]

■[定理61]：

y=asin（bx＋m）为奇函数的充分必要条件是：

m=kπ（k为整数）；为偶函数的充分必要条件是m=kπ+π/2。

y=acos（bx＋m）为奇函数的充分必要条件是m=kπ＋π/2；为偶函数的充分必要条件是m=kπ.

■[定理62]：

从n个元素里取出m个互不相邻的元素的取法总数：

C（n-m+1）（m）[注：

n-m+1在下]

■[定理63]：

一个速算方法：

请看：

15^2＝225，25^2＝625，35^2＝1225，45^2＝2025，…总结规律是：

（x5）^2＝[x（x+1）]25，比如65^2＝[6×7]25＝4225。

^_^

■[定理64]：

最有价值的恒等式：

若f（x）的图像关于（a,b）成中心对称等价于f（x＋a）＋f（-x+a）＝2b，或者f（x）＋f（-x＋2a）＝2b。

◆◆◆关于这个恒等式的利用价值如下：

如果已知f（x）图像与g（x）图像关于（a，b）成中心对称，且f（x）的解析式已知，求g（x）的解析式。

做法：

写出恒等式即可，g（x）＋f（-x+2a）＝2b，所以g（x）＝2b-f（-x+2a5]

■[定理65]图片

■[定理66]图片

■[定理67]图片

■[定理68]：

关于辅助角公式：

asint＋bcost＝[√（a^2+b^2）]sin（t+m）其中tanm＝b/a[条件：

a>0]说明：

一些的同学习惯去考虑sinm或者cosm来确定m，个人觉得这样太容易出错最好的方法是根据tanm确定m.（见上）。

举例说明：

sinx＋√3cosx＝2sin（x+m），因为tanm＝√3，所以m=60度，所以原式＝2sin（x+60度）

■[定理69]：

对于任意非直角三角形,总有　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　证明如下:

　　因为A+B=π-C，所以tan（A+B）=tan（π-C）即：

（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC　　得证

■[定理70]y=logaxy'=1/xlna；y=a^xy'=（a^x）lna[解题说明：

这两个式子的求导比较冷门，但是并不代表不考，它是课本中明确给出的。

而且对于这2个公式，我们必须会正反逆用，意思是会求定积分。

举例说明：

＄（1-2）（2^x）dx=？

，解：

2^x的原函数是2^x/ln2，所以原式=2^2/ln2-2/ln2＝2/ln2]

■[定理71]无论哪一种抽样方法，每个人抽到的概率都是一样的。

值得注意的是，在系统抽样中，剔除中个体与被抽到的个体其概率仍然一样。

[举例说明：

采用系统抽样，从123人中抽取1个容量为12的样本，求每人被抽取的概率.（答案：

12/123）。

★解：

先从123人中剔除3人，然后将所余120人分成12组，每组10人，再从每组中抽取1人.对于每个人，他未被剔除的概率为120/123，从120人中分组抽取12人，他被抽中的概率为12/120。

]，因此在整个抽样过程中，每个被抽取的概率为120/123×12/120=12/123

■[定理72]：

若随机变量服从N（μ，σ^2），则为正态分布其中μ表示随机变量的均值，σ^2表示方差。

[解题说明：

正态分布的密度函数的特点是：

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ=0，σ^2=1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

最关键的是：

图像关于x=μ对称，我们把该图像曲线与x轴“围成”[其实不封闭]的面积看成概率。

]

■[定理74]：

关于y=logax与y=a^x的交点个数问题：

它们可能存在0、1、2、3个交点。

具体内容请参考人教网高中数学版块。

■[定理75]：

若圆1：

x^2+y^2＋c1x＋d1y+e1=0★与圆2：

x^2+y^2＋c2x＋d2y＋e2=0▲相交，则相交弦所在直线方程：

（c1-c2）x+（d1-d2）y+（e1-e2）=0（★-▲即可）

■[定理76]：

若直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过90度的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=（k2-k1）/（1＋k1k2）,tanα=∣（k2-k1）/（1＋k1k2）∣[解题说明：

可以运用于三直线构成等腰三角形的问题等]

■[定理77]两平行直线l1：

ax＋by＋c1=0，l2：

ax+by+c2=0，它们之间的距离=∣c1-c2∣/√（a^2+b^2）[解题说明：

值得注意的是：

一定要把两个式子的前面2项化成完全相同，比如要求2x+y+3=0★与4x+2y+5=0之间的距离首先要做的工作：

把★式乘2，得：

4x+2y+6=0，再使用公式。

]

■[定理78]：

若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An^2+Bn

■[定理79]：

a/b＝b/c★是a，b，c成等比数列的充要条件；b^2＝ca◆是a，b，c成等比数列的必要不充分条件。

[说明：

★式中不可能存在有一个数为0，而◆可能存在。

]

■[定理80]关于映射有许多同学不是很清楚，请看下面的解释：

定义：

映射，对于任意两个**A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:

A→B为一个映射。

[记忆方法：

每元有象，象必唯一。

]◆◆◆如果映射f是**A到**B的映射，并且对于**B中的任一元素，在**A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从**A到**B的一一映射。

◆◆◆映射f:

A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。

A称为它的定义域。

[函数是一种特殊的映射]

■[定理81]图片

■[定理82]图片

■[定理83]图片

■[定理84]：

不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为C（r-1）（n-1）[其中n-1在上。

而左边1，2…，n均为下标。

（下同）]推论1：

不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为C（n+r-1）（r）[其中r在上]◆◆◆推论2：

从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为C（n+m-1）（m）[其中m在上]

■[定理85]：

欧拉定理：

ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且OG=GH/2[解题说明：

有可能在填空题中遇到，但不常见]

■[定理86]：

几个易错知识点：

1，不等式运用中2次放缩取等不一，或者1次放缩取等不合题意；2，函数中忘记考虑定义域[这个是至关重要的]；3，换元中忘记考虑新的定义域，三角换元中忘记考虑给出限定范围；4，计算错位相减忽略检验首项；5，集[和谐]合关系中忽略空集；6，二次函数的韦达定理是建立在判别式>=0上的，即若无解，则韦达定理无意义；7，解三角形中千万不能忽略构成三角形的条件。

[解题说明：

相信好多你们都知道，