三角形难题.docx

1、三角形难题 三角形（难题）一选择题1ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个ABC，则ABC（） A一定是直角三角形 B一定是钝角三角形 C一定是锐角三角形 D一定是等腰三角形2在ABC中，AB=AC=a，BC=b，A=36，记m=，则m、n、p的大小关系为（） Amnp Bpmn Cnpm Dm=n=p3设P1、P2、P3分别是以直角ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，则P1的（）为P2、P3的（）之和 A面积，面积 B周长，周长 C内角和，内角和 DAB边上的高，BC与CA边上的高4如图，ABC中，BD、CE是中线，BC=8cm，ABC与AEC的周长之差为6cm，ABD与

2、BDC的周长之差为2cm，则BEC的周长为（） A16cm B18cm C20cm D22cm5边长为a、b、c的三角形满足：，则此三角形是（）A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形6杨小奇做了两块三角板，如果它们的三个内角分别是90、75、15和90、54、36，那么用这两块三角形可以画出（）个互不相等的锐角 A30 B29 C10 D97要使n（n4）边形具有稳定性，至少要添加（） A（n3）条对角线 B（n2）条对角线 C（n1）条对角线 Dn条对角线8如果A，B两镇相距8千米，B，C两镇相距10千米，那么C，A两镇相距（）A2千米 B18千米 C2千米或8千米 Dx千

3、米，2x18，但x无法确定9在ABC中，若AB，则边长a与c的大小关系是（） Aac Bca Cac Dca二填空题10已知RtABC的三边长都是整数，而且都不超过1999，其中A=90，BC+AB=2AC，则一共有_个这样的ABC11已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是_12用120根火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边最少用了_根火柴13在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有_个三解答题14如图，四边形ABCD中，BCCDDA，O为AB中点，且AOD=C

4、OB=60，求证：CD+ADBC15如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，ABAD，试判断ABAD与CDCB的大小关系，并证明你的结论解：结论：_证明：16设整数a，b，c（abc）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2abacbc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数17如图，ABC中，C为锐角，AD，BE分别是BC和AC边上的高线，设CD=BC，CE=AC，当m，n为正整数时，试判断ABC的形状，并说明理由A一定是直角三角形 B一定是钝角三角形 C一定是锐角三角形 D一定是等腰三角形考点：三角形边角关系。分析：根据三角形的外角性质可得到：CAB=（ABC+ACB），CB

5、A=（ACB+BAC），再根据三角形内角和定理表示出C，整理可得到C是锐角，同理可求得A，B也是锐角，从而得到ABC一定是锐角三角形解答：解：CAB=（ABC+ACB），CBA=（ACB+BAC），C=180CABCBA，C=18012（ABC+ACB）12（ACB+BAC）=9012ACB9012ACB90C90同理：A90，B90ABC一定是锐角三角形故选C点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，熟练掌握（1）三角形内角和定理：三角形内角和是180（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，此题难度一般2在ABC中，AB=AC=a，BC=b，A=36，记m=，则m、n、p的大小关

6、系为（） Amnp Bpmn Cnpm Dm=n=p考点：三角形边角关系。分析：作底角B的角平分线交AC于D，利用顶角为36的等腰三角形的性质证明BCDABC，得出比例式，再利用等腰三角形的性质得a2b2=ab，再代入n、p的表达式变形即可解答：解：作底角B的角平分线交AC于D，易推得BCDABC，所以=，即CD=，AD=a=b（ABD是等腰三角形）因此得a2b2=ab，n=m，p=m，m=n=p故选D点评：本题考查了三角形的三边关系关键是由三角形相似得比例，利用等腰三角形的边相等得三边关系，再对n、p的式子化简3设P1、P2、P3分别是以直角ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角

7、形，则P1的（）为P2、P3的（）之和 A面积，面积 B周长，周长 C内角和，内角和 DAB边上的高，BC与CA边上的高考点：三角形边角关系。分析：首先根据P1、P2、P3分别是以直角ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，分别求出三角形P1的面积=AB2sin60，三角形P2的面积=BC2sin60，三角形P3的面积=AC2sin60，在直角三角形中，利用勾股定理可得AB2=BC2+AC2，于是得到P1的面积为P2、P3的面积之和解答：解：P1、P2、P3分别是以直角ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，三角形P1的面积=AB2sin60，三角形P2的面积=BC

8、2sin60，三角形P3的面积=AC2sin60，ABC为直角三角形，AB2=BC2+AC2，P1的面积为P2、P3的面积之和，故选A点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握直角三角形和等边三角形的性质，此题难度不大4如图，ABC中，BD、CE是中线，BC=8cm，ABC与AEC的周长之差为6cm，ABD与BDC的周长之差为2cm，则BEC的周长为（） A16cm B18cm C20cm D22cm考点：三角形边角关系。分析：首先根据BD、CE是中线，BC=8cm，ABD与BDC的周长之差为2cm，求出AB的长度，然后根据ABC与AEC的周长之差为6cm，即可求出BE

9、C的周长解答：解：AD=CD，BD=BD，ABD与BDC的周长差=AB+BD+AD（BC+BD+CD）=ABBC=2，BC=8cm，AB=10，ABC与AEC的周长之差为6cm，AB+BC+ACAEACCE=6cm，BE+BC+CE=20，BEC的周长=20cm故选C点评：本题主要考查三角形的三边关系的知识点，解答本题的关键是熟练运用题干中三角形周长差的关系，此题难度不大5边长为a、b、c的三角形满足：，则此三角形是（） A等边三角形 B等腰三角形 C不等边三角形 D直角三角形考点：三角形边角关系。分析：首先把恒等式移项通分得：=，再进一步移项并通分整理得到（bc）=0，根据三角形任意两边之和

10、大于第三边可得只有bc=0，从而证明得到三角形是等腰三角形解答：解：，=，=，（bc）=0，a+bc，bc=0，b=c，此三角形是等腰三角形故选B点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是进行恒等式转化，此题比较简单6杨小奇做了两块三角板，如果它们的三个内角分别是90、75、15和90、54、36，那么用这两块三角形可以画出（）个互不相等的锐角 A30 B29 C10 D9考点：三角形边角关系。分析：根据题干中两个三角板可以画出的最小锐角为3，观察发现两个三角板的内角都是3的倍数，锐角范围内只要是3的倍数的锐角都可以画出，进一步求出锐角的个数解答：解：用三个内角分别是90、75

11、、15和90、54、36的三角板可以画出最小角是：543615=3，两个三角板内角度数都是3的整数度，即可知在锐角范围内，只要是3的倍数的锐角都可以画出，在锐角范围内3倍数最大锐角为87，3、687共有29个3的倍数的锐角，故选B点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是掌握锐角的定义，此题比较简单7要使n（n4）边形具有稳定性，至少要添加（） A（n3）条对角线 B（n2）条对角线 C（n1）条对角线 Dn条对角线考点：三角形边角关系。分析：若n（n4）边形具有稳定性，则从n边形一顶点n3条对角线构成n3的三角形即可满足，即可选出正确选项解答：解：根据三角形具有稳定性可知，若

12、n（n4）边形具有稳定性，则从n边形一顶点n3条对角线构成n3的三角形即可满足故选A点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是掌握三角形具有稳定性，此题难度不大8如果A，B两镇相距8千米，B，C两镇相距10千米，那么C，A两镇相距（） A2千米 B18千米 C2千米或8千米 Dx千米，2x18，但x无法确定考点：三角形边角关系。分析：当A、B和C三点在一直线上时，C，A两镇相距为2千米或18千米，当A、B和C三点不在一直线上时，A、B和C三点构成一个三角形，利用三角形三边关系可以进行解答解答：解：当A、B和C三点在一直线上时，C，A两镇相距为2千米或18千米，当A、B和C三点不

13、在一直线上时，A、B和C三点构成一个三角形，根据三角形的边角关系知，C，A两镇相距大于2且小于18，综上可知C，A两镇相距x千米，2x18，但x无法确定故选D点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，此题难度一般9在ABC中，若AB，则边长a与c的大小关系是（） Aac Bca Cac Dca考点：三角形边角关系。分析：根据题意可知AB，即知ab，又因为a+bc，故得2aa+bc，于是求出a和c的关系解答：解：在ABC中，AB，ab，a+bc，2aa+bc，ac故选C点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，熟练掌

14、握大边对大角的知识，此题难度不大二填空题（共4小题）10已知RtABC的三边长都是整数，而且都不超过1999，其中A=90，BC+AB=2AC，则一共有399个这样的ABC考点：三角形边角关系。分析：利用勾股定理建立等量关系，求出AC、AB的数量关系，利用1999除以斜边的长就可以求出这样的三角形的个数解答：解：ABC是RtABCBC2=AC2+AB2（2ACAB）2=AC2+AB24AC24ACAB+AB2=AC2+AB23AC24ACAB=03AC4AB=03AC=4AB令AC=4m，则AB=3m，由勾股定理，得BC=5m5m=1999m=399余4共有399个故答案为：399点评：本题是

15、一道直角三角形的三边关系问题的解答题，考查了勾股定理的运用和数的整除等知识11已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是132考点：三角形边角关系；勾股定理。分析：设另一直角边为x，斜边为y，利用勾股定理可得y2x2=121，进一步可得（y+x）（yx）=121=1211，再由x，y为自然数，即可求出x和y的值，于是三角形的周长求出解答：解：设另一直角边为x，斜边为y根据勾股定理得：y2=x2+121，y2x2=121，（y+x）（yx）=121=1211，x，y为自然数，x+y=121，yx=1，x=60，y=61，周长为：11+61+60=132故答案为13

16、2点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题难度一般12用120根火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边最少用了18根火柴考点：三角形边角关系；三角形三边关系。分析：根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断解答：解：设三边为a（最小边），3a（最大边）、b，则ab3a又2ab4a （三角形三边关系）由，得2ab3a；又4a+b=120，则b=1204a 则6a1207a，即 a20，则a取值可为18或者19；最小边最少用18根火柴故答案为18点评：此题主要考查学生对三角形三

17、边关系的理解及运用能力三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边，同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边13在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有190个考点：三角形边角关系。专题：分类讨论。分析：设三边长为a、b、c满足abc，根据最长边与最短边之差不大于2，得出最长边与最短边之差等于0、1或2，（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n；（2）当差为1时，有a=n，b=n，c=n+1；a=n，b=n+1，c=n+1；（2）当差为2时，有a=n，b=n，c=n+2；a=n，b=n+1，c=n+2；a=n，b=n+2，c=n+2；从

18、而将各种情况下符合条件的n的值相加可得出结果解答：解：设三边长为a、b、c满足abc，最长边与最短边之差不大于2，最长边与最短边之差等于0、1或2，（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n，此时a+b+c=3n100，n可取1，2，33，共33种方法；（2）当差为1时，a=n，b=n，c=n+1；此时a+b+c=3n+1100，n可取2，33，共32种方法；a=n，b=n+1，c=n+1，此时a+b+c=3n+2100，n可取1，2，32，共32种方法；（2）当差为2时，有a=n，b=n，c=n+2，此时a+b+c=3n+2100，n可取3，4，32，共30种方法；a=n，b=n+1，c=n

19、+2；此时a+b+c=3n+3100，n可取2，32，共31种方法；a=n，b=n+2，c=n+2，此时a+b+c=3n+4100，n可取1，2，32，共32种方法；综上可得一共可以构成33+32+32+30+31+32=190个故答案为：190点评：本题考查了三角形的三边关系，从头至尾贯穿了分类讨论的思想，解答本题的关键点在于得出最长边与最短边之差等于0、1或2，然后根据最长边与最短边的差设置三边长，注意一定要兼顾两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，否则会造成多解三解答题（共4小题）14如图，四边形ABCD中，BCCDDA，O为AB中点，且AOD=COB=60，求证：CD+ADBC考点：

20、三角形边角关系；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：在OC上截取OE=OD，可以证明ODE是等边三角形，然后利用边角边定理证明AOD与BOE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，再根据同一个三角形中大角对大边可得CDCE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边即可证明解答：证明：如图，在OC上截取OE=OD，连接DE，BE，EOD=180AODCOB=1806060=60，DOE是等边三角形，又O为AB中点，OA=OB，在AOD与BOE中，AODBOE（SAS），AD=BE，在DEC中，CED=18060=120，CEDCDE，CDCE，

21、AD+CDBE+CEBC，即CD+ADBC点评：本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，同一个三角形中大角对大边的性质，作辅助线构造出等边三角形以及全等三角形是解题的关键15如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，ABAD，试判断ABAD与CDCB的大小关系，并证明你的结论解：结论：ABADCDCB证明：考点：三角形边角关系；角平分线的定义。分析：在AB上取一点E使AE=AD，连接EC，则CE=CD，ABAD=BE CDCB=CECB，CBE中，CECBBE，所以（ABAD）（CDCB）解答：解：ABADCDCB，在AB上取一点E使AE=AD，连接E

22、C，AD=AE，EAC=DAC，AC=AC，AECADC，CE=CD，ABAD=BE CDCB=CECB，在CBE中，CECBBE，所以（ABAD）（CDCB），故答案为：（ABAD）CDCB点评：本题主要考查三角形边角关系和角平分线的定义的知识点，解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系，此题难度一般16设整数a，b，c（abc）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2abacbc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数考点：三角形边角关系。专题：计算题；分类讨论。分析：根据已知得出（ab）2+（bc）2+（ac）2=26，令ab=m，bc=n，则ac=m+n，代入可得出符合

23、条件的m和n的值的组合，分别代入讨论，根据b+ca可得出c的最小范围，根据周长不超过30可得出c的最大值范围，进而可得出符合题意的三角形的个数解答：解：由已知等式可得：（ab）2+（bc）2+（ac）2=26 ，令ab=m，bc=n，则ac=m+n，其中m，n均为自然数，于是，等式变为m2+n2+（m+n）2=26，即m2+n2+mn=13 由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式成立的m，n只有两组：和（1）当m=3，n=1时，b=c+1，a=b+3=c+4又a，b，c为三角形的三边长，所以b+ca，即（c+1）+cc+4，解得c3又因为三角形的周长不超过30，即a+b+c=（c+4）+（c

24、+1）+c30，解得，因此，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形（2）当m=1，n=3时，b=c+3，a=b+1=c+4又a，b，c为三角形的三边长，所以b+ca，即（c+3）+cc+4，解得c1又因为三角形的周长不超过30，即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c30，解得因此，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11点评：本题考查了三角形的三边关系，难度较大，解答本题首先是将a2+b2+c2abacbc=13进行变形，根据ab=m，bc=n，ac=m+n得出符合题意的m、n的值的组合是解答本题的关键17如图，ABC中，C为锐角，AD，BE分别是BC和AC边上的高线，设CD=BC，CE=AC，当m，n为正整数时，试判断ABC的形状，并说明理由考点：三角形边角关系。专题：数形结合。分析：由于设CDBC，CEAC，所以m与n的值只能是1，全等三角形的性质求出AB、AC、BC 的关系，即可解答解答：解：ABC是等边三角形理由：CD=BC，CE=AC，CDBC，CEAC，又m，n为正整数，m=1，n=1，ABDACD，AB=AC，同理AB=BC即AB=BC=AC所以ABC是等边三角形