三角形难题.docx
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三角形难题
三角形（难题）
一．选择题
1．△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个△A′B′C′，则△A′B′C′（ ）
A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形D．一定是等腰三角形
2．在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=36°，记m=
，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．m＞n＞pB．p＞m＞nC．n＞p＞mD．m=n=p
3．设P1、P2、P3分别是以直角△ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，则P1的（ ）为P2、P3的（ ）之和．
A．面积，面积B．周长，周长C．内角和，内角和D．AB边上的高，BC与CA边上的高
4．如图，△ABC中，BD、CE是中线，BC=8cm，△ABC与△AEC的周长之差为6cm，△ABD与△BDC的周长之差为2cm，则△BEC的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
5．边长为a、b、c的三角形满足：
，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形
6．杨小奇做了两块三角板，如果它们的三个内角分别是90°、75°、15°和90°、54°、36°，那么用这两块三角形可以画出（ ）个互不相等的锐角．
A．30B．29C．10D．9
7．要使n（n≥4）边形具有稳定性，至少要添加（ ）
A．（n﹣3）条对角线B．（n﹣2）条对角线C．（n﹣1）条对角线D．n条对角线
8．如果A，B两镇相距8千米，B，C两镇相距10千米，那么C，A两镇相距（ ）
A．2千米B．18千米C．2千米或8千米D．x千米，2≤x≤18，但x无法确定
9．在△ABC中，若∠A＞∠B，则边长a与c的大小关系是（ ）
A．a＞cB．c＞aC．a＞
cD．c＞
a
二．填空题
10．已知Rt△ABC的三边长都是整数，而且都不超过1999，其中∠A=90°，BC+AB=2AC，则一共有 _________ 个这样的△ABC．
11．已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 _________ ．
12．用120根火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边最少用了 _________ 根火柴．
13．在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有 _________ 个．
三．解答题
14．如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD=∠COB=60°，求证：
CD+AD＞BC．
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB﹣AD与CD﹣CB的大小关系，并证明你的结论．
解：
结论：
_________
证明：
16．设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．
17．如图，△ABC中，∠C为锐角，AD，BE分别是BC和AC边上的高线，设CD=
BC，CE=
AC，当m，n为正整数时，试判断△ABC的形状，并说明理由．
A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形D．一定是等腰三角形
考点：
三角形边角关系。
分析：
根据三角形的外角性质可得到：
∠C′AB=
（∠ABC+∠ACB），∠C′BA=
（∠ACB+∠BAC），再根据三角形内角和定理表示出∠C′，整理可得到∠C′是锐角，同理可求得∠A′，∠B′也是锐角，从而得到△A′B′C′一定是锐角三角形．
解答：
解：
∵∠C′AB=
（∠ABC+∠ACB），∠C′BA=
（∠ACB+∠BAC），∠C′=180°﹣∠C′AB﹣∠C′BA，
∴∠C′=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）﹣12（∠ACB+∠BAC）=90°﹣12∠ACB．
∵90°﹣12∠ACB＜90°．
∴∠C′＜90°．
同理：
∠A′＜90°，∠B′＜90°．
∴△A′B′C′一定是锐角三角形．
故选C．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，熟练掌握
（1）三角形内角和定理：
三角形内角和是180°．
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，此题难度一般．
2．在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=36°，记m=
，则m、n、p的大小关系为（ ）
A．m＞n＞pB．p＞m＞nC．n＞p＞mD．m=n=p
考点：
三角形边角关系。
分析：
作底角B的角平分线交AC于D，利用顶角为36°的等腰三角形的性质证明△BCD∽△ABC，得出比例式，再利用等腰三角形的性质得a2﹣b2=ab，再代入n、p的表达式变形即可．
解答：
解：
作底角B的角平分线交AC于D，
易推得△BCD∽△ABC，
所以
=，即CD=
，AD=a﹣
=b（△ABD是等腰三角形）
因此得a2﹣b2=ab，
∴n=
=
==m，
p=
=
==m，
∴m=n=p．
故选D．
点评：
本题考查了三角形的三边关系．关键是由三角形相似得比例，利用等腰三角形的边相等得三边关系，再对n、p的式子化简．
3．设P1、P2、P3分别是以直角△ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，则P1的（ ）为P2、P3的（ ）之和．
A．面积，面积B．周长，周长C．内角和，内角和D．AB边上的高，BC与CA边上的高
考点：
三角形边角关系。
分析：
首先根据P1、P2、P3分别是以直角△ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，分别求出三角形P1的面积=
AB2sin60°，三角形P2的面积=
BC2sin60°，三角形P3的面积=
AC2sin60°，在直角三角形中，利用勾股定理可得AB2=BC2+AC2，于是得到P1的面积为P2、P3的面积之和．
解答：
解：
∵P1、P2、P3分别是以直角△ABC（C为直角）的边AB、BC、CA为边的正三角形，
∴三角形P1的面积=
AB2sin60°，三角形P2的面积=
BC2sin60°，三角形P3的面积=
AC2sin60°，
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2=BC2+AC2，
∴P1的面积为P2、P3的面积之和，
故选A．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握直角三角形和等边三角形的性质，此题难度不大．
4．如图，△ABC中，BD、CE是中线，BC=8cm，△ABC与△AEC的周长之差为6cm，△ABD与△BDC的周长之差为2cm，则△BEC的周长为（ ）
A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm
考点：
三角形边角关系。
分析：
首先根据BD、CE是中线，BC=8cm，△ABD与△BDC的周长之差为2cm，求出AB的长度，然后根据△ABC与△AEC的周长之差为6cm，即可求出△BEC的周长．
解答：
解：
∵AD=CD，BD=BD，
∴△ABD与△BDC的周长差=AB+BD+AD﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=2，
∵BC=8cm，
∴AB=10，
∵△ABC与△AEC的周长之差为6cm，
∴AB+BC+AC﹣AE﹣AC﹣CE=6cm，
∴BE+BC+CE=20，
∴△BEC的周长=20cm．
故选C．
点评：
本题主要考查三角形的三边关系的知识点，解答本题的关键是熟练运用题干中三角形周长差的关系，此题难度不大．
5．边长为a、b、c的三角形满足：
，则此三角形是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形
考点：
三角形边角关系。
分析：
首先把恒等式
移项通分得：
=，再进一步移项并通分整理得到（b﹣c）
=0，根据三角形任意两边之和大于第三边可得只有b﹣c=0，从而证明得到三角形是等腰三角形．
解答：
解：
∵
，
∴
﹣
=
﹣
，
∴
=，
∴（b﹣c）
=0，
∵a+b＞c，
∴b﹣c=0，
∴b=c，
∴此三角形是等腰三角形．
故选B．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是进行恒等式转化，此题比较简单．
6．杨小奇做了两块三角板，如果它们的三个内角分别是90°、75°、15°和90°、54°、36°，那么用这两块三角形可以画出（ ）个互不相等的锐角．
A．30B．29C．10D．9
考点：
三角形边角关系。
分析：
根据题干中两个三角板可以画出的最小锐角为3°，观察发现两个三角板的内角都是3的倍数，锐角范围内只要是3的倍数的锐角都可以画出，进一步求出锐角的个数．
解答：
解：
用三个内角分别是90°、75°、15°和90°、54°、36°的三角板可以画出最小角是：
54°﹣36°﹣15°=3°，
两个三角板内角度数都是3的整数度，
即可知在锐角范围内，只要是3的倍数的锐角都可以画出，
在锐角范围内3倍数最大锐角为87°，
3°、6°…87°共有29个3的倍数的锐角，
故选B．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是掌握锐角的定义，此题比较简单．
7．要使n（n≥4）边形具有稳定性，至少要添加（ ）
A．（n﹣3）条对角线B．（n﹣2）条对角线C．（n﹣1）条对角线D．n条对角线
考点：
三角形边角关系。
分析：
若n（n≥4）边形具有稳定性，则从n边形一顶点n﹣3条对角线构成n﹣3的三角形即可满足，即可选出正确选项．
解答：
解：
根据三角形具有稳定性可知，
若n（n≥4）边形具有稳定性，
则从n边形一顶点n﹣3条对角线构成n﹣3的三角形即可满足．
故选A．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是掌握三角形具有稳定性，此题难度不大．
8．如果A，B两镇相距8千米，B，C两镇相距10千米，那么C，A两镇相距（ ）
A．2千米B．18千米C．2千米或8千米D．x千米，2≤x≤18，但x无法确定
考点：
三角形边角关系。
分析：
当A、B和C三点在一直线上时，C，A两镇相距为2千米或18千米，当A、B和C三点不在一直线上时，A、B和C三点构成一个三角形，利用三角形三边关系可以进行解答．
解答：
解：
当A、B和C三点在一直线上时，C，A两镇相距为2千米或18千米，
当A、B和C三点不在一直线上时，A、B和C三点构成一个三角形，
根据三角形的边角关系知，C，A两镇相距大于2且小于18，
综上可知C，A两镇相距x千米，2≤x≤18，但x无法确定．
故选D．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，此题难度一般．
9．在△ABC中，若∠A＞∠B，则边长a与c的大小关系是（ ）
A．a＞cB．c＞aC．a＞
cD．c＞
a
考点：
三角形边角关系。
分析：
根据题意可知∠A＞∠B，即知a＞b，又因为a+b＞c，故得2a＞a+b＞c，于是求出a和c的关系．
解答：
解：
在△ABC中，
∵∠A＞∠B，
∴a＞b，
∵a+b＞c，
∴2a＞a+b＞c，
∴a＞
c．
故选C．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，熟练掌握大边对大角的知识，此题难度不大．
二．填空题（共4小题）
10．已知Rt△ABC的三边长都是整数，而且都不超过1999，其中∠A=90°，BC+AB=2AC，则一共有 399 个这样的△ABC．
考点：
三角形边角关系。
分析：
利用勾股定理建立等量关系，求出AC、AB的数量关系，利用1999除以斜边的长就可以求出这样的三角形的个数．
解答：
解：
∵△ABC是Rt△ABC
∴BC2=AC2+AB2∴（2AC﹣AB）2=AC2+AB2∴4AC2﹣4ACAB+AB2=AC2+AB2∴3AC2﹣4ACAB=0
∴3AC﹣4AB=0
∴3AC=4AB
令AC=4m，则AB=3m，由勾股定理，得
BC=5m
∴5m=1999
∴m=399余4
∴共有399个．
故答案为：
399．
点评：
本题是一道直角三角形的三边关系问题的解答题，考查了勾股定理的运用和数的整除等知识．
11．已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 132 ．
考点：
三角形边角关系；勾股定理。
分析：
设另一直角边为x，斜边为y，利用勾股定理可得y2﹣x2=121，进一步可得（y+x）（y﹣x）=121=121×1，再由x，y为自然数，即可求出x和y的值，于是三角形的周长求出．
解答：
解：
设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2=x2+121，
y2﹣x2=121，
（y+x）（y﹣x）=121=121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y=121，y﹣x=1，
∴x=60，y=61，
∴周长为：
11+61+60=132．
故答案为132．
点评：
本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题难度一般．
12．用120根火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边最少用了 18 根火柴．
考点：
三角形边角关系；三角形三边关系。
分析：
根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
解答：
解：
设三边为a（最小边），3a（最大边）、b，
则a＜b＜3a①
又∵2a＜b＜4a（三角形三边关系）②
由①②，得2a＜b＜3a；又4a+b=120，
则b=120﹣4a则6a＜120＜7a，
即＜a＜20，则a取值可为18或者19；
最小边最少用18根火柴．
故答案为18．
点评：
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：
任意两条边的长度和大于第三边，同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边．
13．在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有 190 个．
考点：
三角形边角关系。
专题：
分类讨论。
分析：
设三边长为a、b、c满足a≤b≤c，根据最长边与最短边之差不大于2，得出最长边与最短边之差等于0、1或2，
（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n；
（2）当差为1时，有①a=n，b=n，c=n+1；②a=n，b=n+1，c=n+1；
（2）当差为2时，有①a=n，b=n，c=n+2；②a=n，b=n+1，c=n+2；③a=n，b=n+2，c=n+2；从而将各种情况下符合条件的n的值相加可得出结果．
解答：
解：
设三边长为a、b、c满足a≤b≤c，
∵最长边与最短边之差不大于2，
∴最长边与最短边之差等于0、1或2，
（1）当差为0时，有a=n，b=n，c=n，
此时a+b+c=3n≤100，n可取1，2，…33，共33种方法；
（2）当差为1时，①a=n，b=n，c=n+1；
此时a+b+c=3n+1≤100，n可取2，…33，共32种方法；
②a=n，b=n+1，c=n+1，
此时a+b+c=3n+2≤100，n可取1，2，…32，共32种方法；
（2）当差为2时，有①a=n，b=n，c=n+2，
此时a+b+c=3n+2≤100，n可取3，4，…32，共30种方法；
②a=n，b=n+1，c=n+2；
此时a+b+c=3n+3≤100，n可取2，…32，共31种方法；
③a=n，b=n+2，c=n+2，
此时a+b+c=3n+4≤100，n可取1，2，…32，共32种方法；
综上可得一共可以构成33+32+32+30+31+32=190个．
故答案为：
190．
点评：
本题考查了三角形的三边关系，从头至尾贯穿了分类讨论的思想，解答本题的关键点在于得出最长边与最短边之差等于0、1或2，然后根据最长边与最短边的差设置三边长，注意一定要兼顾两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，否则会造成多解．
三．解答题（共4小题）
14．如图，四边形ABCD中，BC＞CD＞DA，O为AB中点，且∠AOD=∠COB=60°，求证：
CD+AD＞BC．
考点：
三角形边角关系；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
分析：
在OC上截取OE=OD，可以证明△ODE是等边三角形，然后利用边角边定理证明△AOD与△BOE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=BE，再根据同一个三角形中大角对大边可得CD＞CE，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边即可证明．
解答：
证明：
如图，在OC上截取OE=OD，连接DE，BE，
∵∠EOD=180°﹣∠AOD﹣∠COB=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴△DOE是等边三角形，
又∵O为AB中点，
∴OA=OB，
在△AOD与△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（SAS），
∴AD=BE，
在△DEC中，∠CED=180°﹣60°=120°，
∴∠CED＞∠CDE，
∴CD＞CE，
∴AD+CD＞BE+CE＞BC，
即CD+AD＞BC．
点评：
本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，同一个三角形中大角对大边的性质，作辅助线构造出等边三角形以及全等三角形是解题的关键．
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB﹣AD与CD﹣CB的大小关系，并证明你的结论．
解：
结论：
AB﹣AD＞CD﹣CB
证明：
考点：
三角形边角关系；角平分线的定义。
分析：
在AB上取一点E使AE=AD，连接EC，则CE=CD，AB﹣AD=BECD﹣CB=CE﹣CB，△CBE中，CE﹣CB＜BE，所以（AB﹣AD）＞（CD﹣CB）．
解答：
解：
AB﹣AD＞CD﹣CB，
在AB上取一点E使AE=AD，连接EC，
∵AD=AE，∠EAC=∠DAC，AC=AC，
∴△AEC≌△ADC，
∴CE=CD，
∴AB﹣AD=BECD﹣CB=CE﹣CB，
在△CBE中，CE﹣CB＜BE，所以（AB﹣AD）＞（CD﹣CB），
故答案为：
（AB﹣AD）＞CD﹣CB．
点评：
本题主要考查三角形边角关系和角平分线的定义的知识点，解答本题的关键是熟练运用三角形中大边对应大角的关系，此题难度一般．
16．设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．
考点：
三角形边角关系。
专题：
计算题；分类讨论。
分析：
根据已知得出（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=26①，令a﹣b=m，b﹣c=n，则a﹣c=m+n，代入可得出符合条件的m和n的值的组合，分别代入讨论，根据b+c＞a可得出c的最小范围，根据周长不超过30可得出c的最大值范围，进而可得出符合题意的三角形的个数．
解答：
解：
由已知等式可得：
（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=26①，
令a﹣b=m，b﹣c=n，则a﹣c=m+n，其中m，n均为自然数，
于是，等式①变为m2+n2+（m+n）2=26，即m2+n2+mn=13②
由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：
和
（1）当m=3，n=1时，b=c+1，a=b+3=c+4．
又a，b，c为三角形的三边长，所以b+c＞a，即（c+1）+c＞c+4，解得c＞3．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+1）+c≤30，
解得
，因此
，
所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形．
（2）当m=1，n=3时，b=c+3，a=b+1=c+4．又a，b，c为三角形的三边长，
所以b+c＞a，即（c+3）+c＞c+4，
解得c＞1．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c≤30，解得
．
因此
，
所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．
综合可知：
符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11．
点评：
本题考查了三角形的三边关系，难度较大，解答本题首先是将a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=13进行变形，根据a﹣b=m，b﹣c=n，a﹣c=m+n得出符合题意的m、n的值的组合是解答本题的关键．
17．如图，△ABC中，∠C为锐角，AD，BE分别是BC和AC边上的高线，设CD=
BC，CE=
AC，当m，n为正整数时，试判断△ABC的形状，并说明理由．
考点：
三角形边角关系。
专题：
数形结合。
分析：
由于设CD＜BC，CE＜AC，所以m与n的值只能是1，全等三角形的性质求出AB、AC、BC的关系，即可解答．
解答：
解：
△ABC是等边三角形．
理由：
∵CD=
BC，CE=
AC，
∴CD＜BC，CE＜AC，
又∵m，n为正整数，
∴m=1，n=1，
∴
，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，
同理AB=BC
即AB=BC=AC．
所以△ABC是等边三角形．
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