固体物理 课后习题解答黄昆版第四章.docx

1、固体物理 课后习题解答黄昆版第四章4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= 状态简并微扰结果，求出与 E 及 E+相应的波函数 及+?，并说明它a们的特性说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 2说明能隙的来源(假设Vn=Vn*)。解令 k= + ， k = ，简并微扰波函数为 = Ak0( )+ Bk0( )0a*aE k( ) E A V Bn= 00 ( )V An+ E k E B =0取 E E+带入上式，其中 E+= E k0( )+ VnV(x)0,VnJ J R0*R Ud01=( )s() ( ) V ( ) ( )sv= isv v iE k( )sJ0

2、 J1R Neareste ik Rss 任选取一个格点为原点 最近邻格点有 12 个12 个最邻近格点的位置 a a aaaa2a,2a, 00,2a,2a2a, 0,2a2,2, 00,2,22, 0,2a2a,a2a, 00,a2a,a2aa2a, 0,a2a, 00, 0,22a v a2v222v=i + vj+ 0kvsE k( )= Jv v e ik RsRs2 2s0 J1R Nearestv vv vva v a v+vas ik Rs= ( + +x y z) ( i + j 0 )=i2( kx+ky)2 acee2 2k aek ab4 类似的表示共有 12 项=k

3、ak ay(cosx2i sin x )(cos22i siny)2 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带E ks( )v= s J0k ak ak a k ak ak a J4 (cos1xcosy+cosxcosz+cosycos z)222222 对于体心立方格子，任选取一个格点为原点解答（初稿）作者 季正华 - 3 - aaaa黄昆 固体物理 习题解答a a2,2,22,2,2a2,a2,a2a2,a2,a2 a,2a,a,2a,a2aa,2a,a,2a,a2a222222a v aavv=i +vj + kvRssE k( )=sJ0 J1ev v ik Rs2 22R

4、 Nearestv vv vva v a v a vas ik R = ( + +) (i + j + k)=i (k + +k k )esek ax y zk a2 2 2k ae2x y zk ak ak a 类似的表示共有 8 项=(cosx2i sin x )(cos2y2i siny)(cos2z2i sin z)2 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带k ak ak asv= xyzE k( )JJ8 coscoscoss012224.7,有一一维单原子链。间距为 a。总长度为 Na。求（1），用紧束缚近似求出原子 s 态能级对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态

5、密度函数的表达式。（3），如果每个原子 s 态只有一个电子，求等于 T=0K 的费米能级 EF0 及 EF0 处的能态密度。r= ikaika= Jka EJkaJ J e + e)J2 cos2 cos解 (1), ( )rs0 1(s0101( )E k= E J0 ( )s ik RrsN EL= 2dk=2Na1=N(2) ,( ) 2dEJ a ka J sin ka22 sin10rNa12 Nak0(3),N= kF2 ( ) 2dk= 2 2k0=F k0=000= 2F0=FN2a=NE = E k( )E J2 cosa E N E, (F)FF12as J1sin2a a

6、J14.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2 倍(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7解（a）二维简单正方晶格的晶格常数为 a，倒格子晶格基矢 A =2 i Ba解答（初稿）作者 季正华 - 4 - ,=2 a第一布里渊区如图所示a黄昆 固体物理 习题解答 0 a j=,BK += .区边中点的波矢为KA2a角顶 点的波矢为Ba a = h(222 )自由电子能量2mKx+ Ky+ Kz2,2h2h2 h2 A点能量A=2 =Kx = ,2m 2

7、m a 2m a 22 2 22 2 = h(22 ) = h+= h2B点能量BKx+ Ky 2 ,所以 /B A=2m2m a a2maA= 2 i B= 2 j C= 2 k,b)简单立方晶格的晶格常数为a，倒格子基矢为第一布里渊区如图 72 所示2 , a a , a 2A点能量= h A2m a ;解答（初稿）作者 季正华 - 5 - 2黄昆 固体物理 习题解答2 222 22 h()h = h B点能量=222=+BKx+ Ky+ Kz 3 ,所以 B/2mA=3 a a2m am2a(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 72 所示根据自由电子 =h2(222 )理

8、论，自由电子的能量为2mKx+ Ky+ Kz3，FerM 面应为球面由(b)可知，内切于 4 点的内切球的体积4 ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为 33 a43 a2V( )3=3N=1.047N 其中V = Na3二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，余下的 0.953 个电子可填入其它状态中如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)这样，晶体将只有绝缘体性质然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙

9、很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电4.9 半金属交叠的能带2 2E k = E (0) h k, m=0.18 m1( )12m11h2v vE k( )=( )+(k k02) ,m2= 0.06 m2E k202m2其中 E1(0) 为能带 1 的带顶，E k2( )0为能带 2 的带底.E1(0) E k2( ) 0.10eV 由于

10、能带的交叠，能带 1 中的部分电子转移到能带 2 中，而在能带 1 中形成空穴，讨论 T = 0 K 时的费密能级解：半金属的能带 1 和能带 2 如图所示2 2E k = E (0) h k1( )12m1h2v vE k=( ) +(k k )22( )E k202m20k =2 (0)m E11 E k1( )h解答（初稿）作者 季正华 - 6 - 能带 1 的能态密度黄昆 固体物理 习题解答2N E=VdSk( ) 2 = h1 = h(2 )3kEkEm1N E=VdSkEN E=E2 (0)1 E k1( )/ m1V 4 k21( ) 2(2 )3 kE1( ) 23(2 ) h 2 (0)E1 E k1( )/ m13N E( )=2V2m( )1 2E(0)E k( )12 21(2 )h同理能带 2 的能态密度3N E( )=2V(2m)E k( ) E k( )22 22 220(2 )h半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带 1 中的电子填充到能带 2 中，满足EE01(0)N E dE =FN E dEE0FE1( )V