湖北八校高三第一次联考理数word.docx

1、湖北八校高三第一次联考理数word八校黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 鄂南高中2010届高三第一次联考 理科数学试题（含答案）考试时间：2009年12月24日下午15 : 00 17 : 30本试卷分为第I卷和第n卷两部分， 第I卷包括第一、二、三大题为选择题， 第n卷包括第四、五、六、七大题为非选择题，全卷共 8页。满分150分。考试用时150分钟。注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

2、擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3非选择题的作答：用 0 5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某一随机变量的概率分布如下表，且 E 1.5，则m n的值为（A 0.3;C. 0.3;D. 0.10123P0.2mn0.3提示:Q0.2n 0.3 1,0 0.2 1 m 23 0.3 1.5 ,m 0.4, n 0.1,0.3.4设6B)I2,2).p: 2x 1 1 , q: (x a)x(a 1)q是p的必要而不充分条件，则实数2.

3、若 a b0,则下列不等式中不一定.成立的是(B)1A 1B 1 1C a - bD 1 a I bababb提示：B中ab0,b0,(a b)b0,2ba，而ab 0时2b a不-疋成立3 已知集合Ay| y2 x2x 1,xR ,By|y x1,xxR且 x 0，则(gB)l A(D )A ( 2,2B 2,2)C.2,)D (2,2)提示：Q Ay|y 2,By| y2或 y2，$By| 2y 2 ,a的取值范围是(A )11 1 1 A -0,2 B -(0, ) C. ( ,0 u2, ) D- ( ,0) u (,)1提示：由p得：2 x 1,由q得：a x a 1，又q是p的必要

4、而不充分条件，所以11a ,且 a 1 1， 0 a .225已知函数f(x) log 1 (4x 2x1 1)的值域是0,)，则它的定义域可以是( A)2A (0,1 B (0,1) C ( ,1 D ( ,0提示：由函数f(x)的值域为0,)可得：0 4x 2x 1 1 1 , 0 (2x 1)2 1 ,0 2x 1 1 或 12x 1 0,即 0 x 1 或 x 0 6.已知函数f(x) 2sinx在区间 ,二上的最小值是2，贝U的取值范围为提示：若7函数9,23C ( , 2U?,由图象知:49)D ( , - U 6,或 ，所以2 4 236，即 2 ；0 ,同理可得:故选C.f(x

5、)2、2 |sin xcosx|sin(x ) 人是 sin x cosx周期为-的偶函数2B 周期为 的非奇非偶函数C 周期为 的偶函数D 周期为一的非奇非偶函数2的周期为，故选B &已知函数f (x) ax 1 b21 x2，其中 a 0,1 ,b1,2，则使得f(x) 0在x 1,0上有解的概率为(A )111A - B C D 02341 1提示：任取a,b的值有C2 C24，而由图象可知当a0 a 1, 时不满足条件，当b1 b 1定义域不关于原点对称，函数f (x)既不是奇函数又不是偶函数，又函数y |si n2x|的周期为一，去掉的点的周期为 ，所以函数f (x)提示：Q f (

6、x) | sin 2x |, x k49设双曲线2 x2 a点)，从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q,R两点，其中O为a 0 a 1 1, 时满足条件，所以概率为丄.b 2 b 2 22与 1(a 0,b 0)的右顶点为 A , P为双曲线上的一个动点(不是顶b坐标原点，则|OP |2与|OQ | I OR I的大小关系为(|OP |2|OQ|OR|B. |OP|2|OQ|OR|OP |2|OQ|OR|D .不确定提示:取特殊点 P(c,)，则直线 aOP的方程为b2x，又直线AQ的方程为acby (x a)，直线a(虽，卫)，易得 c b c b10.平面向量的集合r

7、uAR的方程为2|OP| |OQ|A到A的映射 r u r ub-(x a),a解得Q, R的坐标为| OR |.(若设任意点也可得此结果)射 f 满足 f (x) f(y) x y 对 x,yf由f (x) x 2(x a)a确定，其中rA恒成立，则a的坐标不可能 是ac b2(c b c b a为常向量.若映C.A. (0,0)u提示：令yx，则 f(x) f(x)x x2(x a)a2r2 r r 2x 4(x a)24(x a)a22 2即 4(x a)a 4(x a) 0 ,2 2(x a) (a1) 0, a0或|a | 1，故选b.、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分

8、.11.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后， 画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是 48提示：由图可知前 3组的频率为0.75，所以第2组2的频率为 0.75，学生人数为12 0.25 48 .612 .如图，在 ABC中，AHuuuu uuu uuurAM AB AC，则BC于H , M为AH的中点，若2 _0.03750.0125H提示：uur jujuurQ B,H ,C三点共线，AH t1 AB t2AC ，且 t1 t2 1 ，又UULU1 unr t -AH丄UJ

9、Ut ujur 空AC ,1(t t?)1AMAB2 22r2 13将抛物线a(x 3)2 y 4 0(a 0)按向量v ( 3,4)平移后所得抛物线的焦点坐标r提示：抛物线a(x 3)2 y 4 0(a 0)按v(3,4)平移后得抛物线的方程为：2 y xa所以其焦点坐标为1_(0, ) 4a14.右等差数列 an的前n项和为Sn，且an 310( n 7) , S714, Sn 72，则n 12提示：由S7 14得：a1 a7 4 2a4 , a42，又 Sn (aian) n an 3) n2 272，所以 n 12 1 115.给出定义：若 m x m (其中m为整数)，则m叫做离实数

10、x最近的整数，记2 2作x，即x m.在此基础上给出下列关于函数 f (x) x x的四个命题：1 11y f (x)的定义域是R，值域是(1 ,丄；2 22点(k,0)( k Z)是y f (x)的图像的对称中心；3函数y f (x)的最小正周期为1 ；13 函数y f (x)在(一，上是增函数;22则其中真命题是_11 “x,x ,(m0)2123提示：依题意知f (x)x1-x ,(m1)，画图可知正确22L三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步16.(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效 )已知等比数列 an中，a1 a,a2 b c, a,b

11、,c分别为 ABC的三内角A,B,C3的对边，且cosB -.4(1)求数列an的公比q ；(2) 设集合A x N |x2 2|x|，且a, A，求数列 an的通项公式.解：(1)依题意知：bac，由余弦定理得:2 2 , 2 a c b cosB2aca)(2)q2，代入上式得2或q2-，又在三角形中2a,b,cQ x2 2|x|,x4 4x2 0,2 2x (x 4) 0,N，所以Aan(迈)n 1或an10分17.(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效.)uuu uuu已知O为坐标原点，向量 OA(sin ,1),OB (cos ,0), OOC ( sin ,2)，点 P 是

12、uuu直线AB上的一点，且点 B分有向线段 AP的比为1.mu urn(1)记函数 f ( ) PB CA，uuu(2)若O, P,C三点共线，求|OA(,)，讨论函数f()的单调性，并求其值域;8 2uuuOB |的值.，设点P的坐标为(x, y)，则:cossin x1 yIH v ein,0? 1 少、1 11 1(2cossin ,1)2分uuu(1) Q PB (sincos ,1),CA(2sin , 1)2si ncos 1(sin 2cos 2)-2s in(2由2(0,5-)可知函数f ()的单调递增区间为4 4,0),C( sin ,2),y单调递减区间为(6分f()解：依

13、题意知： A(sin ,1), B(cos8,8)1，点P的坐标为uuu uuu 2PB CA 2sin所以sin（2 -） （ ,1，其值域为4 2.2,1）；（2）由O, P,C三点共线的1 ( sin )2 (2cossin ),tan *，310分sin cossin2sin cos2ta n1 tan24 uun5，|OAOB | 、 cos )2 112分18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效 ）2若关于x的实系数方程x ax b 0有两个根，一个根在区间（0,1）内，另一根在区间（1,3）内，记点（a,b）对应的区域为S.（1 ）设z 2a b，求z的取值范围；（2

14、）过点（5,1）的一束光线，射到 x轴被反射后经过区域 S，求反射光线所在直线 I经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线 I的方程.解：方程x2 ax b 0的两根在区间（0,1）和（1,3）上的几何意义是：函数 y f （x） x2ax b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间（0,1）和（1,3）内，由此可得不等式组f(0)f(1)f(3)00，即0b 0a b 1 0 ，则在坐标平面3a b 9 0aOb内，点（a,b）对应的区域S如图阴影部分所示,易得图中代B,C三点的坐标分别为(4,3),( 3,0),(1,0),，3)(1 )令 z 2ab，则直线b 2a z经过点z取得最小

15、值，经过点 C时z取得最大值，即zmin , zmax 2 ,又A,B,C三点的值没有取到，所以 11 z（2）过点（5,1）的光线经x轴反射后的光线必过点 （5, 1），由图可知（3,1）符合条件,可能满足条件的整点为 （3,1）,（ 3,2）,（ 2,2）,（ 2,1），再结合不等式知点所以此时直线方程为： y 1 1 （ （x 5）,即y x 43（ 5）19.（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效 ）已知函数y f(x)的反函数为y f tx)，定义：若对给定的实数 a(a 0)，函数y f (x a)与y f 1(x a)互为反函数，则称 y f (x)满足“ a和性质”.x

16、 b(2)设函数 F(x) kx b 满足“ 2 和性质”，k 0. F 1(x) - b,x R,kx 2 b x b 2 kF 1(x 2) ，而 F(x 2) k(x 2) b,x R，得反函数 y(1 )判断函数g(x) (x 1)2 1,x 2, 1是否满足“ 1和性质”，并说明理由；(2)若F(x) kx b，其中k 0,x R满足“ 2和性质”，则是否存在实数 a,使得2F(9) F cos asinF(1)对任意的(0,)恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由.解：(1)函数g(x)(x1)2 1,x 2,11的反函数是g (x).x 1 1 , x 1,2g 1(

17、x 1):1,x0,1而 g(x1) (x 2)2 1,x 3, 2其反函数为y 2 x 1, x1,2,故函数g(x)(x 1)2 1,x 2,1不满足“ 1和性质”； 6分 k kx 2 b x b 2 k由“ 2和性质”定义可知 x 2 b=x b 2k对x R恒成立， k 1,b R,k k即函数F(x) x b , x R，在(，)上递减， 9分所以假设存在实数 a满足F(9) F (cos2 asin ) F (1)，即1 cos2 a sin 9对任意t2 at 8 0的 0, 恒成立，它等价于 2 在t 0,1上恒成立.t2 at 8 0 ,t2 at 08 2t 0,1 a

18、t 丁易得a 9.而t2 at 0知a t所以a 1综合以上有当1 a 9使得f cos2 asin 3对任意的 0, 恒成立 13分20.(本小题满分14分)(注意：在试题卷上作答无效.)x2 y2 222已知椭圆 2 1(a b c 0,a b c )的左、右焦点分别为 F1, F?，若以a bF2为圆心，b c为半径作圆F2，过椭圆上一点 P作此圆的切线，切点为 T,且|PT|的最小值不小于为 (a c).2(1 )求椭圆的离心率 e的取值范围；(2)设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k 0)的直线I与椭圆相交于 A, B两点，若OA OB，求直线I被圆F

19、2截得的弦长s的最大值.解：(1 )依题意设切线长|PT|PF2I2 (b c)2当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,而 | PF2 |min a c ,a c)2(b2 .3 bec)尹 c)，0 ；3从而解得35子，故离心率e的取值范围是(2)依题意Q点的坐标为(1,0)，则直线的方程为k(x1),联立方程组y2 x2ak(x 1)y2 12 2 2 2 2 得(a k 1)x 2a k xa2k2 a0 ,设 A(x1, yj B(x2, y2),则有 xX22a2k2k2 1 2. 2 a22 2x1x2 a k 2 a ，代入直线方程得a k 12yy k X1X2 (

20、花 X2) 1a2)k2(1a2k2 12 2k a人 X2 yr a kuur umrOB, OA OB 0, %x2 y1y2 0, k10分直线的方程为ax y a0,圆心F2 (c,0)至煩线I的距离d 竽 a|，由图Va2 1象可知2d2|c彳化2;12 I1 ，：2c 1 2c 1 2q31,- 2c 1 3,2S (0宵，所以Smax呻41 4121.（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效 ）已知曲线C： y 4X,Cn： y 4X n（ n N ），从C上的点Qn（Xn，Yn）作X轴的垂线，交Cn于点Pn，再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn i（Xn i, Yn i）

21、，设人1,an Xn 1Xn,bnyn 1yn(1)求数列Xn的通项公式;(2)记Cn4 37，数列Cn的前n项和为Sn,试比较Sn与 的大小anbn 32(n N )；(3)记dn3 5n尹一丁，数列dn的前n项和为Tn，试证明:(2n1) dn T2n解:（ 1 ）依题意点P的坐标为（Xn, Yn 1），Yn 14Xn4XmXn 1Xn n ，xnx1Ln1-S1由37_3237一321-7-29-丄3632(3) Qdn_5_(4n 1)，所以易证:dn5dn,当n 2时，dn58dn15 2(8)dn 25 n 1(8)di5 nQ，T2n 1 d1 d2 L d2n 18 (5)2 l (|)2n 1i1 A1】，（当n 1时取11分另一方面，当n 2,k 1,2丄2n 1时，有:dk3 5kd2n k 4 2k (4k 1)2n k5_2n k :2FT2 (45k2k (4k 1) 22n k2n k5(42n k 1)3 2 5n4 2n1 (4k 1)(42n k1)5nn 2 2n . k2 4 4142n又 Q4k 42n4n,42n4k,2n k42n n n4 2 4 1 (41)2 ,dk d2n2dn，T2n1(2n 1) 2dn (2n21) dn .所以对任意的nN，都有（2 n1) dnT2n 1i 1(5)2n i14分