湖北八校高三第一次联考理数word.docx

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湖北八校高三第一次联考理数word

八校

黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学

孝感高中襄樊四中襄樊五中鄂南高中

2010届高三第一次联考理科数学试题（含答案）

考试时间：

2009年12月24日下午15:

00—17:

30

本试卷分为第I卷和第n卷两部分，第I卷包括第一、二、三大题为选择题，第n卷包

括第四、五、六、七大题为非选择题，全卷共8页。

满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：

1•答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2•选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试题卷上无效。

3•非选择题的作答：

用0•5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域

内。

答在试题卷上无效。

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.某一随机变量

的概率分布如下表，且E1.5，则mn

的值为（

A•0.3;

C.0.3;

D.0.1

0

1

2

3

P

0.2

m

n

0.3

提示:

Q0.2

n0.31,00.21m2

30.31.5,

m0.4,n0.1,

0.3.

4•设

6B）I

2,2）.

p:

2x11,q:

（xa）[x

（a1）]

q是p的必要而不充分条件，则实数

2.若ab

0,

则下列不等式中不一定.

成立的是

（B

）

1

A•—

1

B•

11

C•

a■-b

D•1aI

>b

a

b

abb

提示：

B中a

b

0,b

0,

（ab）b

0,

2b

a，而a

b0时2ba不-

疋成立

3•已知集合

A

y|y

2x

2x1,x

R,

B

y|yx

1

—,x

x

R且x0

，则

（gB）lA

（

D）

A•（2,2]

B•

[2,2）

C.

•[

2,）

D•

（2,2）

提示：

QA

y|y2

B

y|y

2或y

2

，$B

y|2

y2,

a的取值范围是（A）

1111A-[0,2]B-（0,—）C.（,0]u〔2,）D-（,0）u（—,）

1

提示：

由p得：

2x1,由q得：

axa1，又q是p的必要而不充分条件，所以

11

a,且a11，0a—.

22

5•已知函数f（x）log1（4x2x11）的值域是[0,），则它的定义域可以是（A）

2

A•（0,1]B•（0,1）C•（,1]D•（,0]

提示：

由函数f（x）的值域为[0,）可得：

04x2x111,0（2x1）21,

02x11或1

2x10,即0x1或x0•

6.已知函数f（x）2sin

x在区间［§,二］上的最小值是

2，贝U的取值范围为

提示：

若

7•函数

9]

2]

3

C•（,2]U[?

］,由图象知:

4

9

）D•（,-]U[6,

—或—，所以

242

3

6，即2；

0,同理可得:

故选C.

f（x）

2、2|sinx

cosx|

sin（x）人是sinxcosx

周期为

-的偶函数

2

B•周期为的非奇非偶函数

C•周期为的偶函数

D•周期为一的非奇非偶函数

2

的周期为，故选B•

&已知函数f（x）ax1b

2

1x2，其中a0,1,b

1,2，则使得f（x）0在

x［1,0］上有解的概率为（

A）

1

1

1

A•-B•

C•

D•0

2

3

4

11

提示：

任取a,b的值有C2C2

4，而由图象可知当

a

0a1

时不满足条件，当

b

1b1

定义域不关于原点对称，函数

f（x）既不是奇函数

又不是偶函数，又函数y|sin2x|的周期为一，去掉的点的周期为，所以函数f（x）

提示：

Qf（x）|sin2x|,xk

4

9•设双曲线

2x

~~2a

点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线

OP分别交于Q,R两点，其中O为

a0a11

时满足条件，所以概率为丄.

b2b22

2

与1（a0,b0）的右顶点为A,P为双曲线上的一个动点（不是顶

b

坐标原点，则

|OP|2与|OQ|IORI的大小关系为（

|OP|2

|OQ||OR|

B.|OP|2

|OQ||OR|

|OP|2

|OQ||OR|

D.不确定

提示:

取特殊点P（c,

），则直线a

OP的方程为

b2

—x，又直线AQ的方程为

ac

b

y（xa），直线

a

（虽，卫），易得cbcb

10.平面向量的集合

ru

AR的方程为

2

|OP||OQ|

A到A的映射ruru

b

-（xa）,

a

解得Q,R的坐标为

|OR|.（若设任意点也可得此结果）

射f满足f（x）f（y）xy对x,y

f由f（x）x2（xa）a确定，其中

r

A恒成立，则a的坐标不可能是

acb2

（cb'cb>'

a为常向量.若映

C.

A.（0,0）

u

提示：

令y

x，则f（x）f（x）

x[x

2（xa）a]2

r2rr2

x4（xa）2

4[（xa）a]2

22

即4[（xa）a]4（xa）0,

22

（xa）（a

1）0,a

0或|a|1，故选b.

、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,

将所得的数据整理后，画出了频

率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为

1:

2:

3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数是—48

提示：

由图可知前3组的频率为0.75，所以第2组

2

的频率为0.75，学生人数为120.2548.

6

12.如图，在ABC中，AH

uuuuuuuuuur

AMABAC，则

BC于H,M为AH的中点，若

2_■

0.0375

0.0125

H

提示：

uurjuj

uur

QB,H,C

三

点共线，

AHt1ABt

2AC，且t1t21，又

UULU

1unrt-AH丄

UJU

tujur空AC,

1

（tt?

）

1

AM

AB

22

2

r

2•

13•将抛物线a（x3）2y40（a0）按向量v（3,4）平移后所得抛物线的焦点坐标

r

提示：

抛物线a（x3）2y40（a0）按v

（3,4）平移后得抛物线的方程为：

2yx

a

所以其焦点坐标为

1

_（0,）•

4a

14.右等差数列an

的前n项和为Sn，且an3

10（n7）,S7

14,Sn72

，则

n12

提示：

由S714得：

a1a742a4,a4

2，又Sn（ai

an）n@

an3）n

22

72，所以n12•

11

15.给出定义：

若mxm（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记

22

作x，即xm.在此基础上给出下列关于函数f（x）xx的四个命题：

11

1yf（x）的定义域是R，值域是（1,丄］；

22

2点（k,0）（kZ）是yf（x）的图像的对称中心；

3函数yf（x）的最小正周期为1；

13

④函数yf（x）在（一，］上是增函数;

22

则其中真命题是__①③

•

1

1“

x,

x,（m

0）

2

1

2

3

提示：

依题意知f（x）

x

1-

x—,（m

1），画图可知①③正确

2

2

L

三、解答题：

本大题共

6小题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步

16.（本小题满分10分）（注意：

在试题卷上作答无效）

已知等比数列an中，a1a,a2b@c,a,b,c分别为ABC的三内角A,B,C

3

的对边，且cosB-.

4

（1）求数列an的公比q；

（2）设集合AxN|x22|x|，且a,A，求数列an的通项公式.

解：

（1）依题意知：

b

ac，

由余弦定理得:

22,2acbcosB

2ac

a）

（2）

q2，代入上式得

2或q2

-，又在三角形中

2

a,b,c

Qx22|x|,

x44x20,

22

x（x4）0,

N，所以A

an

（迈）n1或an

10分

17.（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效.）

uuuuuu

已知O为坐标原点，向量OA

（sin,1）,OB（cos,0）,OOC（sin,2），点P是

uuu

直线AB上的一点，且点B分有向线段AP的比为1.

muurn

（1）记函数f（）PBCA，

uuu

（2）若O,P,C三点共线，求|OA

（,），讨论函数f（）的单调性，并求其值域;

82

uuu

OB|的值.

，设点

P的坐标为（x,y），则:

cos

sinx

1y

IHvein

0

?

"1少、

11

11

（2cos

sin,

1）……

2分

uuu

（1）QPB（sin

cos,1）,CA

（2sin,1）

2sin

cos1

（sin2

cos2

）-2sin（2

由2

（0,5

-）可知函数

f（）的单调递增区间为

44

0）,C（sin,2）

y

单调递减区间为（

6分

f（）

解：

依题意知：

A（sin,1）,B（cos

8,8）

1，点P的坐标为

uuuuuu2

PBCA2sin

所以sin（2-）（,1］，其值域为［

42

.2,1）；

（2）由O,P,C三点共线的

1（sin）

2（2cos

sin）,

tan*，

3

10分

sincos

sin2

sincos

2tan

1tan2

4uun

5，|OA

OB|、、cos）21

12分

18.（本小题满分12分）（注意：

在试题卷上作答无效）

2

若关于x的实系数方程xaxb0有两个根，一个根在区间（0,1）内，另一根在区

间（1,3）内，记点（a,b）对应的区域为S.

（1）设z2ab，求z的取值范围；

（2）过点（5,1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线I经过

区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线I的方程.

解：

方程x2axb0的两根在区间（0,1）和（1,3）上的几何意义是：

函数yf（x）x2

axb与x轴的两个交点的横坐标分别在区间

（0,1）和（1,3）内，由此可得不等式组

f（0）

f

（1）

f（3）

0

0，即

0

b0

ab10，则在坐标平面

3ab90

aOb内，点（a,b）对应的区域S如图阴影部

分所示,

易得图中

代B,C三点的坐标分别为

（4,3）,（3,0）,（

1,0）,

，3）

（1）令z2a

b，则直线b2az经过点

z取得最小值，经过点C时z取得最大值，即

zmin",zmax2,

又A,B,C三点的值没有取到，所以11z

（2）过点（5,1）的光线经x轴反射后的光线必过点（5,1），由图可知

（3,1）符合条件,

可能满足条件的整点为（3,1）,（3,2）,（2,2）,（2,1），再结合不等式知点

所以此时直线方程为：

y11（°（x5）,即yx4

3（5）

19.（本小题满分13分）（注意：

在试题卷上作答无效）

已知函数yf（x）的反函数为yftx），定义：

若对给定的实数a（a0），函数

yf（xa）与yf1（xa）互为反函数，则称yf（x）满足“a和性质”.

xb

（2）设函数F（x）kxb满足“2和性质”，k0.F1（x）-b,xR,

k

x2bxb2k

F1（x2），而F（x2）k（x2）b,xR，得反函数y

（1）判断函数g（x）（x1）21,x［2,1］是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）若F（x）kxb，其中k0,xR满足“2和性质”，则是否存在实数a,使得

2

F（9）Fcosasin

F

（1）对任意的

（0,）恒成立？

若存在，求出a的范围；若不存

在，请说明理由.

解：

（1）函数g（x）

（x

1）21,x[2,

1

1］的反函数是g（x）

.x11,x[1,2]

g1（x1）

:

1,x

[0,1]而g（x

1）（x2）21,x[

3,2］其反函数为

y2x1,x

[1,2]

故函数g（x）

（x1）21,x[2,

1］不满足“1和性质”；

6分

''k‘k

x2bxb2k

由“2和性质”定义可知x2b=xb2k对xR恒成立，k1,bR,

kk

即函数F（x）xb,xR，在（，）上递减，9分

所以假设存在实数a满足F（9）F（cos2asin）F

（1），即1cos2asin9对任意

t2at80

的0,恒成立，它等价于2在t0,1上恒成立.t2at80,

t2at0

82

t0,1at丁易得a9.而t2at0知at所以a1•综合以上有当1a9

使得fcos2asin3对任意的0,恒成立13分

20.（本小题满分14分）（注意：

在试题卷上作答无效.）

x2y2222

已知椭圆—21（abc0,abc）的左、右焦点分别为F1,F?

，若以

ab

F2为圆心，bc为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T,且|PT|的最

小值不小于为（ac）.

2

（1）求椭圆的离心率e的取值范围；

（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k0）的直线

I与椭圆相交于A,B两点，若OAOB，求直线I被圆F2截得的弦长s的最大值.

解：

（1）依题意设切线长|PT|

PF2I2（bc）2

•••当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,

而|PF2|minac,

ac）2

（b

2.3be

c）尹c），0；

3

从而解得3

5

子，故离心率e的取值范围是

（2）依题意Q点的坐标为

（1,0），则直线的方程为

k（x

1）,联立方程组

y

2x

~~2

a

k（x1）

y21

22222得（ak1）x2akx

a2k2a

0,设A（x1,yjB（x2,y2）,则有x

X2

2a2k2

k21'

2.2a

2^22

x1x2ak2a，代入直线方程得

ak1

2

yyk[X1X2（花X2）1]

a2）

k2（1

a2k21

22

ka

人X2yr——

ak

uurumr

OB,OAOB0,%x2y1y20,k

10分

直线的方程为

axya

0,圆心F2（c,0）至煩线I的距离d竽a|，由图

Va21

象可知

2d

2|c

彳化2;1

2I1，

：

2c12c12

q3

1,-2c13,

2

S（0宵]，所以Smax呻

4141

21.（本小题满分14分）（注意：

在试题卷上作答无效）

已知曲线C：

y4X,Cn：

y4Xn（nN），从C上的点Qn（Xn，Yn）作X轴的垂线，交

Cn于点Pn，

再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qni（Xni,Yni），设人

1,anXn1

Xn,

bn

yn1

yn

（1）

求数列

Xn的通项公式;

（2）

记Cn

437

，数列Cn的前n项和为Sn,试比较Sn与的大小

anbn32

（nN）；

（3）

记dn

35n

尹一丁，数列dn的前n项和为Tn，

试证明:

（2n

1）dnT2n

解:

（1）依题意点

P的坐标为（Xn,Yn1），

Yn1

4Xn

4Xm

Xn1

Xnn，

xn

x1

L

n

1-

S1

由

37_32

37一32

1-

\7

-2

9-

丄36

32

（3）Qdn

_5^_

（4n1）

，所以易证:

dn

5dn,

当n2时，dn

5

8dn1

52

（8）dn2

5n1

（8）di

5n

Q，

T2n1d1d2Ld2n1

8（5）2l（|）

2n1

i[1A1】，（当n1时取

11分

另一方面，当n2,k1,2丄

2n1时，有:

dk

35k

d2nk4[2k（4k1）

2nk

5

_2nk:

~2FT

2（4

5k

2k（4k1）22nk

2nk

5

（42nk1）

325n

42n

1

\（4k1）（42nk

1）

5n

n22n.k

2■44

1

42n

又Q4k42n

4n,

42n

4k

2nk

4

2nnn

4241（4

1）2,

dkd2n

2dn

，T2n

1（2n1）2dn（2n

2

1）dn.所以

对任意的n

N，都有（2n

1）dn

T2n1

i[1（5）2ni

14分