湖北八校高三第一次联考理数word.docx
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湖北八校高三第一次联考理数word
八校
黄冈中学黄石二中华师一附中荆州中学
孝感高中襄樊四中襄樊五中鄂南高中
2010届高三第一次联考理科数学试题(含答案)
考试时间:
2009年12月24日下午15:
00—17:
30
本试卷分为第I卷和第n卷两部分,第I卷包括第一、二、三大题为选择题,第n卷包
括第四、五、六、七大题为非选择题,全卷共8页。
满分150分。
考试用时150分钟。
注意事项:
1•答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2•选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3•非选择题的作答:
用0•5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域
内。
答在试题卷上无效。
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
1.某一随机变量
的概率分布如下表,且E1.5,则mn
的值为(
A•0.3;
C.0.3;
D.0.1
0
1
2
3
P
0.2
m
n
0.3
提示:
Q0.2
n0.31,00.21m2
30.31.5,
m0.4,n0.1,
0.3.
4•设
6B)I
2,2).
p:
2x11,q:
(xa)[x
(a1)]
q是p的必要而不充分条件,则实数
2.若ab
0,
则下列不等式中不一定.
成立的是
(B
)
1
A•—
1
B•
11
C•
a■-b
D•1aI
>b
a
b
abb
提示:
B中a
b
0,b
0,
(ab)b
0,
2b
a,而a
b0时2ba不-
疋成立
3•已知集合
A
y|y
2x
2x1,x
R,
B
y|yx
1
—,x
x
R且x0
,则
(gB)lA
(
D)
A•(2,2]
B•
[2,2)
C.
•[
2,)
D•
(2,2)
提示:
QA
y|y2
B
y|y
2或y
2
,$B
y|2
y2,
a的取值范围是(A)
1111A-[0,2]B-(0,—)C.(,0]u〔2,)D-(,0)u(—,)
1
提示:
由p得:
2x1,由q得:
axa1,又q是p的必要而不充分条件,所以
11
a,且a11,0a—.
22
5•已知函数f(x)log1(4x2x11)的值域是[0,),则它的定义域可以是(A)
2
A•(0,1]B•(0,1)C•(,1]D•(,0]
提示:
由函数f(x)的值域为[0,)可得:
04x2x111,0(2x1)21,
02x11或1
2x10,即0x1或x0•
6.已知函数f(x)2sin
x在区间[§,二]上的最小值是
2,贝U的取值范围为
提示:
若
7•函数
9]
2]
3
C•(,2]U[?
],由图象知:
4
9
)D•(,-]U[6,
—或—,所以
242
3
6,即2;
0,同理可得:
故选C.
f(x)
2、2|sinx
cosx|
sin(x)人是sinxcosx
周期为
-的偶函数
2
B•周期为的非奇非偶函数
C•周期为的偶函数
D•周期为一的非奇非偶函数
2
的周期为,故选B•
&已知函数f(x)ax1b
2
1x2,其中a0,1,b
1,2,则使得f(x)0在
x[1,0]上有解的概率为(
A)
1
1
1
A•-B•
C•
D•0
2
3
4
11
提示:
任取a,b的值有C2C2
4,而由图象可知当
a
0a1
时不满足条件,当
b
1b1
定义域不关于原点对称,函数
f(x)既不是奇函数
又不是偶函数,又函数y|sin2x|的周期为一,去掉的点的周期为,所以函数f(x)
提示:
Qf(x)|sin2x|,xk
4
9•设双曲线
2x
~~2a
点),从点A引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线
OP分别交于Q,R两点,其中O为
a0a11
时满足条件,所以概率为丄.
b2b22
2
与1(a0,b0)的右顶点为A,P为双曲线上的一个动点(不是顶
b
坐标原点,则
|OP|2与|OQ|IORI的大小关系为(
|OP|2
|OQ||OR|
B.|OP|2
|OQ||OR|
|OP|2
|OQ||OR|
D.不确定
提示:
取特殊点P(c,
),则直线a
OP的方程为
b2
—x,又直线AQ的方程为
ac
b
y(xa),直线
a
(虽,卫),易得cbcb
10.平面向量的集合
ru
AR的方程为
2
|OP||OQ|
A到A的映射ruru
b
-(xa),
a
解得Q,R的坐标为
|OR|.(若设任意点也可得此结果)
射f满足f(x)f(y)xy对x,y
f由f(x)x2(xa)a确定,其中
r
A恒成立,则a的坐标不可能是
acb2
(cb'cb>'
a为常向量.若映
C.
A.(0,0)
u
提示:
令y
x,则f(x)f(x)
x[x
2(xa)a]2
r2rr2
x4(xa)2
4[(xa)a]2
22
即4[(xa)a]4(xa)0,
22
(xa)(a
1)0,a
0或|a|1,故选b.
、填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,
将所得的数据整理后,画出了频
率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为
1:
2:
3,第2小组的频数为12,则抽取的学生人数是—48
提示:
由图可知前3组的频率为0.75,所以第2组
2
的频率为0.75,学生人数为120.2548.
6
12.如图,在ABC中,AH
uuuuuuuuuur
AMABAC,则
BC于H,M为AH的中点,若
2_■
0.0375
0.0125
H
提示:
uurjuj
uur
QB,H,C
三
点共线,
AHt1ABt
2AC,且t1t21,又
UULU
1unrt-AH丄
UJU
tujur空AC,
1
(tt?
)
1
AM
AB
22
2
r
2•
13•将抛物线a(x3)2y40(a0)按向量v(3,4)平移后所得抛物线的焦点坐标
r
提示:
抛物线a(x3)2y40(a0)按v
(3,4)平移后得抛物线的方程为:
2yx
a
所以其焦点坐标为
1
_(0,)•
4a
14.右等差数列an
的前n项和为Sn,且an3
10(n7),S7
14,Sn72
,则
n12
提示:
由S714得:
a1a742a4,a4
2,又Sn(ai
an)n@
an3)n
22
72,所以n12•
11
15.给出定义:
若mxm(其中m为整数),则m叫做离实数x最近的整数,记
22
作x,即xm.在此基础上给出下列关于函数f(x)xx的四个命题:
11
1yf(x)的定义域是R,值域是(1,丄];
22
2点(k,0)(kZ)是yf(x)的图像的对称中心;
3函数yf(x)的最小正周期为1;
13
④函数yf(x)在(一,]上是增函数;
22
则其中真命题是__①③
•
1
1“
x,
x,(m
0)
2
1
2
3
提示:
依题意知f(x)
x
1-
x—,(m
1),画图可知①③正确
2
2
L
三、解答题:
本大题共
6小题,共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步
16.(本小题满分10分)(注意:
在试题卷上作答无效)
已知等比数列an中,a1a,a2b@c,a,b,c分别为ABC的三内角A,B,C
3
的对边,且cosB-.
4
(1)求数列an的公比q;
(2)设集合AxN|x22|x|,且a,A,求数列an的通项公式.
解:
(1)依题意知:
b
ac,
由余弦定理得:
22,2acbcosB
2ac
a)
(2)
q2,代入上式得
2或q2
-,又在三角形中
2
a,b,c
Qx22|x|,
x44x20,
22
x(x4)0,
N,所以A
an
(迈)n1或an
10分
17.(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效.)
uuuuuu
已知O为坐标原点,向量OA
(sin,1),OB(cos,0),OOC(sin,2),点P是
uuu
直线AB上的一点,且点B分有向线段AP的比为1.
muurn
(1)记函数f()PBCA,
uuu
(2)若O,P,C三点共线,求|OA
(,),讨论函数f()的单调性,并求其值域;
82
uuu
OB|的值.
,设点
P的坐标为(x,y),则:
cos
sinx
1y
IHvein
0
?
"1少、
11
11
(2cos
sin,
1)……
2分
uuu
(1)QPB(sin
cos,1),CA
(2sin,1)
2sin
cos1
(sin2
cos2
)-2sin(2
由2
(0,5
-)可知函数
f()的单调递增区间为
44
0),C(sin,2)
y
单调递减区间为(
6分
f()
解:
依题意知:
A(sin,1),B(cos
8,8)
1,点P的坐标为
uuuuuu2
PBCA2sin
所以sin(2-)(,1],其值域为[
42
.2,1);
(2)由O,P,C三点共线的
1(sin)
2(2cos
sin),
tan*,
3
10分
sincos
sin2
sincos
2tan
1tan2
4uun
5,|OA
OB|、、cos)21
12分
18.(本小题满分12分)(注意:
在试题卷上作答无效)
2
若关于x的实系数方程xaxb0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一根在区
间(1,3)内,记点(a,b)对应的区域为S.
(1)设z2ab,求z的取值范围;
(2)过点(5,1)的一束光线,射到x轴被反射后经过区域S,求反射光线所在直线I经过
区域S内的整点(即横纵坐标为整数的点)时直线I的方程.
解:
方程x2axb0的两根在区间(0,1)和(1,3)上的几何意义是:
函数yf(x)x2
axb与x轴的两个交点的横坐标分别在区间
(0,1)和(1,3)内,由此可得不等式组
f(0)
f
(1)
f(3)
0
0,即
0
b0
ab10,则在坐标平面
3ab90
aOb内,点(a,b)对应的区域S如图阴影部
分所示,
易得图中
代B,C三点的坐标分别为
(4,3),(3,0),(
1,0),
,3)
(1)令z2a
b,则直线b2az经过点
z取得最小值,经过点C时z取得最大值,即
zmin",zmax2,
又A,B,C三点的值没有取到,所以11z
(2)过点(5,1)的光线经x轴反射后的光线必过点(5,1),由图可知
(3,1)符合条件,
可能满足条件的整点为(3,1),(3,2),(2,2),(2,1),再结合不等式知点
所以此时直线方程为:
y11(°(x5),即yx4
3(5)
19.(本小题满分13分)(注意:
在试题卷上作答无效)
已知函数yf(x)的反函数为yftx),定义:
若对给定的实数a(a0),函数
yf(xa)与yf1(xa)互为反函数,则称yf(x)满足“a和性质”.
xb
(2)设函数F(x)kxb满足“2和性质”,k0.F1(x)-b,xR,
k
x2bxb2k
F1(x2),而F(x2)k(x2)b,xR,得反函数y
(1)判断函数g(x)(x1)21,x[2,1]是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2)若F(x)kxb,其中k0,xR满足“2和性质”,则是否存在实数a,使得
2
F(9)Fcosasin
F
(1)对任意的
(0,)恒成立?
若存在,求出a的范围;若不存
在,请说明理由.
解:
(1)函数g(x)
(x
1)21,x[2,
1
1]的反函数是g(x)
.x11,x[1,2]
g1(x1)
:
1,x
[0,1]而g(x
1)(x2)21,x[
3,2]其反函数为
y2x1,x
[1,2]
故函数g(x)
(x1)21,x[2,
1]不满足“1和性质”;
6分
''k‘k
x2bxb2k
由“2和性质”定义可知x2b=xb2k对xR恒成立,k1,bR,
kk
即函数F(x)xb,xR,在(,)上递减,9分
所以假设存在实数a满足F(9)F(cos2asin)F
(1),即1cos2asin9对任意
t2at80
的0,恒成立,它等价于2在t0,1上恒成立.t2at80,
t2at0
82
t0,1at丁易得a9.而t2at0知at所以a1•综合以上有当1a9
使得fcos2asin3对任意的0,恒成立13分
20.(本小题满分14分)(注意:
在试题卷上作答无效.)
x2y2222
已知椭圆—21(abc0,abc)的左、右焦点分别为F1,F?
,若以
ab
F2为圆心,bc为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最
小值不小于为(ac).
2
(1)求椭圆的离心率e的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为1,圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k0)的直线
I与椭圆相交于A,B两点,若OAOB,求直线I被圆F2截得的弦长s的最大值.
解:
(1)依题意设切线长|PT|
PF2I2(bc)2
•••当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,
而|PF2|minac,
ac)2
(b
2.3be
c)尹c),0;
3
从而解得3
5
子,故离心率e的取值范围是
(2)依题意Q点的坐标为
(1,0),则直线的方程为
k(x
1),联立方程组
y
2x
~~2
a
k(x1)
y21
22222得(ak1)x2akx
a2k2a
0,设A(x1,yjB(x2,y2),则有x
X2
2a2k2
k21'
2.2a
2^22
x1x2ak2a,代入直线方程得
ak1
2
yyk[X1X2(花X2)1]
a2)
k2(1
a2k21
22
ka
人X2yr——
ak
uurumr
OB,OAOB0,%x2y1y20,k
10分
直线的方程为
axya
0,圆心F2(c,0)至煩线I的距离d竽a|,由图
Va21
象可知
2d
2|c
彳化2;1
2I1,
:
2c12c12
q3
1,-2c13,
2
S(0宵],所以Smax呻
4141
21.(本小题满分14分)(注意:
在试题卷上作答无效)
已知曲线C:
y4X,Cn:
y4Xn(nN),从C上的点Qn(Xn,Yn)作X轴的垂线,交
Cn于点Pn,
再从点Pn作y轴的垂线,交C于点Qni(Xni,Yni),设人
1,anXn1
Xn,
bn
yn1
yn
(1)
求数列
Xn的通项公式;
(2)
记Cn
437
,数列Cn的前n项和为Sn,试比较Sn与的大小
anbn32
(nN);
(3)
记dn
35n
尹一丁,数列dn的前n项和为Tn,
试证明:
(2n
1)dnT2n
解:
(1)依题意点
P的坐标为(Xn,Yn1),
Yn1
4Xn
4Xm
Xn1
Xnn,
xn
x1
L
n
1-
S1
由
37_32
37一32
1-
\7
-2
9-
丄36
32
(3)Qdn
_5^_
(4n1)
,所以易证:
dn
5dn,
当n2时,dn
5
8dn1
52
(8)dn2
5n1
(8)di
5n
Q,
T2n1d1d2Ld2n1
8(5)2l(|)
2n1
i[1A1】,(当n1时取
11分
另一方面,当n2,k1,2丄
2n1时,有:
dk
35k
d2nk4[2k(4k1)
2nk
5
_2nk:
~2FT
2(4
5k
2k(4k1)22nk
2nk
5
(42nk1)
325n
42n
1
\(4k1)(42nk
1)
5n
n22n.k
2■44
1
42n
又Q4k42n
4n,
42n
4k
2nk
4
2nnn
4241(4
1)2,
dkd2n
2dn
,T2n
1(2n1)2dn(2n
2
1)dn.所以
对任意的n
N,都有(2n
1)dn
T2n1
i[1(5)2ni
14分