高考函数知识点总结.docx

1、高考函数知识点总结高中函数大全一元二次函数定义域 区间定义对应法则一元二次不等式值域指根式 分数指数映射数函数指数函数的图像和性质指数方程对数方程函数性质奇偶性单调性对数的性质积、商、幂与 周期性根的对数对数反函数互为反函数的函数图像关系对数对数恒等式和不等式函数常用对数自然对数对数函数的图像和性质函数概念（一）知识梳理1映射的概念设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任意元素，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为 f : A B ，f 表示对应法则注意： A 中元素必须都有象且唯一； B 中元素不一定

2、都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1) 函数的定义：设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的每一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为 y f ( x), x A(2) 函数的定义域、值域在函数 y f ( x), x A 中，x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做 y f (x) 的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f (x) x A 称为函数 y f (x) 的值域。(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解

3、析法（1）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1（1） A R， B y | y 0 ， f : x y | x | ；（2）*A x | x 2, x N ， B y | y 0, y N ，2f : x y x 2x 2 ；（3） A x | x 0 ， B y | y R ， f : x y x 上述三个对应 是 A到 B 的映射例 2若 A 1,2,3,

4、4 ， B a, b, c ， a,b,c R ，则 A 到 B 的映射有 个， B 到 A 的映射有 个， A到 B的函数有 个例 3设集合M 1,0,1 ， N 2, 1,0,1,2 ，如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件：对 M 中的每个元素 x 与它在 N 中的象 f (x) 的和都为奇数，则映射 f 的个数是（ ）(A) 8 个 (B) 12 个 (C )16 个 (D ) 18 个考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）2f (x) x ，3 3g( x) x ；（2） xf (x) ， xg( x)11xx0,0;（3）2 1 2

5、 1n x nf (x) ，2n x)1 2n 1*）；g (x) ( （nN2（4） f (x) x x 1 ， g(x) x x ；2 x 2 t （5） ( ) 2 1f x x ， g(t) t 2 1考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数） ，则用待定系数法；（2）若已知复合函数 f g(x) 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f (x)题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式2 x例 1已知二次函数 f (x) 满足 (2 1) 4 6 5f x x ，求 f (x) （三种方法）

6、1 x例 2（09 湖北改编）已知 )f ( =1 x112x2x，则 f (x) 的解析式可取为题型 2：求抽象函数解析式1例 1已知函数 f (x) 满足 ( x ，求 f (x)f x) 2 f ( ) 3x 考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结： 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的取值范围，实际操作时要注意： 分母不能为 0； 对数的真数必须为正； 偶次根式中被开方数应为非负数； 零指数幂中，底数不等于 0； 负分数指数幂中，底数应大于 0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集； 如果涉及实际问题，还应

7、使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。1 2 2例 1. （08 年湖北）函数 f (x) ln( 3 2 3 4)x x x xx的定义域为 ( )A. ( , 4) 2, ) ;B. ( 4,0) (0 ,1) ；C. , 4,0 ) (0 ,1 ;D. , 4,0) ( 0,1)题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1（2007 湖北）设 fx2 xlg ，则2 xfx2f2x的定义域为（ ）A. 4,0 0,4 ；B. 4, 1 1,4 ；C. 2, 1 1,2 ；D. 4, 2 2,4例 2已知函数 y f (x)的定

8、义域为 a，b ，求 y f ( x 2) 的定义域例 3已知 y f (x 2) 的定义域是 a，b ，求函数 y f ( x) 的定义域例 4已知 y f (2x 1) 的定义域是（ -2，0），求 y f (2x 1) 的定义域考点 5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数 y sin 2 x 2cos x 4，可变为 y sin 2 x 2cos x 4 (cos x 1) 2 2解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求， 2 2 x如函数 y log1 ( x 2x 3) 就是利用

9、函数 y u log 和u x 2 3的值域来求。 12 2（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数2x 1 3 13 3 13y 的值域 , 2 xx 2 2 2 2（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数2cos x 3y 的值域，因为cos x 1（5）利用基本不等式求值域： 如求函数3xy 的值域2x 4（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数 y 2x4 x2 2(x 1,2) 的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法一般适用于高次多项式函数， 如 求函数3 2f (x) 2x 4x 40x ，

10、 x 3,3 的最小值。（ 48）（9）对勾函数法 像 y=x+mx，（m0）的函数， m0 就是单调函数了三种模型：（1）如y x4x，求（ 1）单调区间（ 2）x 的范围 3,5 ，求值域（ 3）x -1,0 ) (0,4, 求值域（2）如y x4x 4 ，求（ 1）3,7 上的值域 （2）单调递增区间（ x 0 或 x 4）1（3）如 y 2x， （1）求-1,1 上的值域 （2）求单调递增区间 x 3函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数 y f (x) 的定义域为 A ，区间 I A，如果对于区间 I 内的任意两个值x ， x2 ，当 x1 x2 时，都有1f (x1

11、) f (x2 ) ，那么就说 y f ( x) 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 y f (x) 的单调增区间； 如果对于区间 I内的任意两个值 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1 ) f (x2 ) ，那么就说 y f ( x) 在区间 I 上是单调减函数， I称为 y f (x) 的单调减区间。如果用导数的语言来， 那就是： 设函数 y f (x)，如果在某区间 I 上 f (x) 0 ，那么 f (x) 为区间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上 f (x) 0，那么 f ( x) 为区间 I 上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义

12、法 （取值作差变形定号） ；导数法 （在区间 (a,b) 内， 若总有 f (x) 0，则 f (x)为增函数；反之，若 f (x) 在区间 (a, b)内为增函数，则 f (x) 0 ，b（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等， 特别要注意 ( 0y ax ax, b 0) 型函数的图b b象和单调性在解题中的运用：增区间为 ( , , , )a a（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是 同增异减 b b，减区间为 ,0),(0, a a.（4）若 f (x) 与 g (x) 在定义域内都是增函数（减函数） ，那么 f (x) g(x)在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单

13、调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论 , 所以求函数的单调区间 , 必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的x ， x2 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 x1 x2 (x1 x2 )；三是同属于1一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y1x分别在 ( ,0)和 (0, )内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即 ( ,0) (0, )内是单调递减的，只能说函数y1x的单调递减区间为 ( ,0) 和(0, )。4、函数的最大（小）值设函数 y f (x) 的定义域为 A， 如果存在定值 x0 A，使得对于任

14、意 x A，有 f ( x) f (x0 ) 恒成立，那么称f 为 y f (x)的最大值；如果存在定值 x0 A，使得对于任意 x A，有 f (x) f (x0 ) 恒成立，那么称(x0 )f (x0 ) 为 y f ( x) 的最小值。（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1（1）求函数2y log ( x 3x 2) 的单调区间；0.7（2）已知2f (x) 8 2x x , 若2g( x) f (2 x ) 试确定 g( x) 的单调区间和单调性例 2. 判断函数 f(x)= 12x 在定义域上的单调性 .题型 2：研究抽象函数的单调性例 1已知函数 f

15、(x) 的定义域是 x 0的一切实数， 对定义域内的任意 x1, x2 都有f (x x ) f (x ) f (x ) ，且1 2 1 2当 x 1时 f (x) 0, f (2) 1，（1）求证： f (x) 是偶函数；（2） f (x) 在 (0, ) 上是增函数； （3）解不等式2f (2 x 1) 2 题型 3：函数的单调性的应用例 1若函数 f ( x) x2 2(a 1)x 2 在区间（， 4 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是 _例 2已知函数f ( x)axx1在区间 2, 上为增函数，则实数 a 的取值范围 _2考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法： （1）若

16、函数是二次函数或可化为二次函数型的函数， 常用配方法。 （2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。 （3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得） 。（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（ 5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型 1：求分式函数的最值例 1（2007 上海）已知函数 f (x)x22x xa, x 1, ).当1a 时，求函数 f (x) 的最小值。2题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围2x 2x a例 2（2008 广东）已知

17、函数 f (x) ,x 1, ).若对任意 x 1, ), f (x) 0恒成立 ,试求实数 a 的x取值范围。函数的奇偶性（一）知识梳理1、 函数的 奇偶性 的 定义 ： 对 于 函 数 f (x) 的 定 义 域 内 任 意一 个 x ， 都 有 f ( x) f (x) 或f ( x) f (x) 0 ，则称 f (x) 为奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称。对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) 或 f ( x) f (x) 0 ，则称 f (x) 为偶函数 . 偶函数的图象关于 y 轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性 . 具有奇偶性的

18、函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2. 函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断 f (x) f ( x)（2）利用定义的等价形式 , f ( x) f ( x) 0，f( x)f (x)1（ f (x) 0 ）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 .（2）若奇函数 f (x) 定义域中含有 0，则必有 f (0) 0. 故 f (0) 0是 f (x)

19、 为奇函数的既不充分也不必要条件。（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 f (x) 是定义域为 R 的任一函数， ( ) ( ) ( )f x f xF x ，2f (x) f ( x)G (x) 。2（4）复合函数的奇偶性特点是： “内偶则偶，内奇同外 ”.（5）设 f (x) ， g(x) 的定义域分别是D1, D2 ，那么在它们的公共定义域上：奇 +奇=奇，奇 奇=偶，偶 +偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇（二）考点分析考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）

20、f（x）=| x+1| | x1| ；（2）f （x）=（x1）11xx；（3）21 xf (x) ；（4）| x 2 | 2f (x)x(1x(1x)x)(xx0),0).题型 2：证明抽象函数的奇偶性 x y例 1 .(09 年山东 )定义在区间 ( 1,1)上的函数 f (x) 满足：对任意的 x, y ( 1, 1) ，都有 f (x) f (y) f ( ) . 1 xy求证 f ( x) 为奇函数；例 2（1）函数 f (x) ， x R ，若对于任意实数 a,b，都有 f (a b) f (a) f (b) ，求证： f (x) 为奇函数。（2）设函数 f (x) 定义在 ( l

21、 ,l ) 上，证明 f ( x) f ( x) 是偶函数， f (x) f ( x)是奇函数。考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 1已知奇函数 f ( x) 是定义在 ( 2,2) 上的减函数，若 f (m 1) f (2m 1) 0，求实数 m 的取值范围。例 2设函数 f (x) 对于任意的 x, y R，都有 f (x y) f (x) f ( y)，且 x 0时 f (x) 0, f (1) 2（1）求证 f (x) 是奇函数；（2）试问当 3 x 3时， f (x) 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。2+a+1)0 时，抛物线开口向上，函数在 ( ,2a b上单调递减，在 , ) 2a上单调递增，xb2a时，f24ac b(x)min ；4ab（2）a0) ，0 0(1)x 1,2x,2x则, b /( 2a)af ( ) 0