高考函数知识点总结.docx
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高考函数知识点总结
高中函数大全
一元二次函数
定义域区间
定
义
对应法则
一元二次不等式
值域
指
根式分数指数
映
射
数
函
数
指数函数的图像和性质
指数方程
对数方程
函
数
性
质
奇偶性
单调性
对数的性质
积、商、幂与周期性
根的对数
对数
反
函
数
互为反函数的
函数图像关系
对
数
对数恒等式
和不等式
函
数
常用对数
自然对数
对数函数的图像和性质
函数概念
(一)知识梳理
1.映射的概念
设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的
元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f:
AB,f表示对应法则
注意:
⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2.函数的概念
(1)函数的定义:
设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一
确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为yf(x),xA
(2)函数的定义域、值域
在函数yf(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做yf(x)的定义域;与x的值相对应的y值
叫做函数值,函数值的集合f(x)xA称为函数yf(x)的值域。
(3)函数的三要素:
定义域、值域和对应法则
3.函数的三种表示法:
图象法、列表法、解析法
(1).图象法:
就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:
就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:
就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
4.分段函数
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:
映射的概念
例1.
(1)AR,B{y|y0},f:
xy|x|;
(2)
*
A{x|x2,xN},By|y0,yN,
2
f:
xyx2x2;
(3)A{x|x0},B{y|yR},f:
xyx.
上述三个对应是A到B的映射.
例2.若A{1,2,3,4},B{a,b,c},a,b,cR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B
的函数有个
例3.设集合M{1,0,1},N{2,1,0,1,2},如果从M到N的映射f满足条件:
对M中的每个元素x与
它在N中的象f(x)的和都为奇数,则映射f的个数是()
(A)8个(B)12个(C)16个(D)18个
考点2:
判断两函数是否为同一个函数
例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)
2
f(x)x,
33
g(x)x;
(2)
x
f(x),
x
g(x)
1
1
x
x
0,
0;
(3)
2121
nxn
f(x),
2nx)
12n1
*);
g(x)((n∈N
2
(4)f(x)xx1,g(x)xx;
2x2t(5)()21
fxx,g(t)t21
考点3:
求函数解析式
方法总结:
(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数f[g(x)]的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
题型1:
由复合函数的解析式求原来函数的解析式
2x
例1.已知二次函数f(x)满足(21)465
fxx,求f(x)(三种方法)
1x
例2.(09湖北改编)已知)
f(=
1x
1
1
2
x
2
x
,则f(x)的解析式可取为
题型2:
求抽象函数解析式
1
例1.已知函数f(x)满足(x,求f(x)
fx)2f()3
x考点4:
求函数的定义域
题型1:
求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:
如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围,实际操作时要注
意:
①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数
不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的
交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:
研究函数的有关问题一定要注意定义域优
先原则,实际问题的定义域不要漏写。
122
例1.(08年湖北)函数f(x)ln(3234)
xxxx
x
的定义域为()
A.(,4)[2,);B.(4,0)(0,1);C.[,4,0)(0,1];D.[,4,0)(0,1)
题型2:
求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设f
x
2x
lg,则
2x
f
x
2
f
2
x
的定义域为()
A.4,00,4;B.4,11,4;C.2,11,2;D.4,22,4
例2.已知函数yf(x)的定义域为[a,b],求yf(x2)的定义域
例3.已知yf(x2)的定义域是[a,b],求函数yf(x)的定义域
例4.已知yf(2x1)的定义域是(-2,0),求yf(2x1)的定义域
考点5:
求函数的值域
1.求值域的几种常用方法
(1)配方法:
对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
如求函数ysin2x2cosx4,可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决
(2)基本函数法:
一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
22x
如函数ylog1(x2x3)就是利用函数yu
log和ux23的值域来求。
1
22
(3)判别式法:
通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数
2x1313313
y的值域[,]
2x
x2222
(4)分离常数法:
常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数
2cosx3
y的值域,因为
cosx1
(5)利用基本不等式求值域:
如求函数
3x
y的值域
2
x4
(6)利用函数的单调性求求值域:
如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域
(7)图象法:
如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域
(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数
32
f(x)2x4x40x,x[3,3]的最小值。
(-48)
(9)对勾函数法像y=x+
m
x
,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了
三种模型:
(1)如
yx
4
x
,求
(1)单调区间
(2)x的范围[3,5],求值域(3)x[-1,0)(0,4],求值域
(2)如
yx
4
x4,
求
(1)[3,7]上的值域
(2)单调递增区间(x0或x4)
1
(3)如y2x
,
(1)求[-1,1]上的值域
(2)求单调递增区间x3
函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义:
设函数yf(x)的定义域为A,区间IA,如果对于区间I内的任意两个值
x,x2,当x1x2时,都有
1
f(x1)f(x2),那么就说yf(x)在区间I上是单调增函数,I称为yf(x)的单调增区间;如果对于区间I
内的任意两个值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说yf(x)在区间I上是单调减函数,I
称为yf(x)的单调减区间。
如果用导数的语言来,那就是:
设函数yf(x),如果在某区间I上f(x)0,那么f(x)为区间I上的增函数;
如果在某区间I上f(x)0,那么f(x)为区间I上的减函数;
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
(1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间(a,b)内,若总有f(x)0,则f(x)
为增函数;反之,若f(x)在区间(a,b)内为增函数,则f(x)0,
b
(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意(0
yaxa
x
b0)型函数的图
bb
象和单调性在解题中的运用:
增区间为(,],[,)
aa
(3)复合函数法:
复合函数单调性的特点是同增异减
bb
,减区间为[,0),(0,]
aa
.
(4)若f(x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数),那么f(x)g(x)在其公共定义域内是增函数(减
函数)。
3、单调性的说明:
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;
(2)函数单调性定义中的
x,x2有三个特征:
一是任意性;二是大小,即x1x2(x1x2);三是同属于
1
一个单调区间,三者缺一不可;
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数
y
1
x
分别在(,0)和(0,)内
都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即(,0)(0,)内是单调递减的,只能说函数
y
1
x
的单调递
减区间为(,0)和(0,)
。
4、函数的最大(小)值
设函数yf(x)的定义域为A,如果存在定值x0A,使得对于任意xA,有f(x)f(x0)恒成立,那么称
f为yf(x)的最大值;如果存在定值x0A,使得对于任意xA,有f(x)f(x0)恒成立,那么称
(x0)
f(x0)为yf(x)的最小值。
(二)考点分析
考点1函数的单调性
题型1:
讨论函数的单调性
例1.
(1)求函数
2
ylog(x3x2)的单调区间;
0.7
(2)已知
2
f(x)82xx,若
2
g(x)f(2x)试确定g(x)的单调区间和单调性.
例2.判断函数f(x)=1
2
x在定义域上的单调性.
题型2:
研究抽象函数的单调性
例1.已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有
f(xx)f(x)f(x),且
1212
当x1时f(x)0,f
(2)1,
(1)求证:
f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,)上是增函数;(3)解不等式
2
f(2x1)2.
题型3:
函数的单调性的应用
例1.若函数f(x)x22(a1)x2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是______
例2.已知函数
f(x)
ax
x
1
在区间2,上为增函数,则实数a的取值范围_____
2
考点2函数的值域(最值)的求法
求最值的方法:
(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。
(2)利用函数的单调性求最值:
先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。
(3)基本不等式法:
当函数是分式形式且分
子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。
(4)导数法:
当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形
结合法:
画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。
题型1:
求分式函数的最值
例1.(2007上海)已知函数f(x)
x
2
2x
x
a
x[1,).当
1
a时,求函数f(x)的最小值。
2
题型2:
利用函数的最值求参数的取值范围
2
x2xa
例2.(2008广东)已知函数f(x),x[1,).若对任意x[1,),f(x)0恒成立,试求实数a的
x
取值范围。
函数的奇偶性
(一)知识梳理
1、函数的奇偶性的定义:
①对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)f(x)〔或
f(x)f(x)0〕,则称f(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数f(x)的定义域内任意一
个x,都有f(x)f(x)〔或f(x)f(x)0〕,则称f(x)为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函
数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)
2.函数的奇偶性的判断:
(1)可以利用奇偶函数的定义判断f(x)f(x)
(2)利用定义的等价形式,f(x)f(x)0,
f(x)
f(x)
1(f(x)0)
(3)图像法:
奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称
3.函数奇偶性的性质:
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上
若有单调性,则其单调性恰恰相反.
(2)若奇函数f(x)定义域中含有0,则必有f(0)0.故f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条
件。
(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。
如设f(x)是定义域为R的任一函数,()()()
fxfx
Fx,
2
f(x)f(x)
G(x)。
2
(4)复合函数的奇偶性特点是:
“内偶则偶,内奇同外”.
(5)设f(x),g(x)的定义域分别是
D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=
偶,偶偶=偶,奇偶=奇.
(二)考点分析
考点1判断函数的奇偶性及其应用
题型1:
判断有解析式的函数的奇偶性
例1.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;
(2)f(x)=(x-1)·
1
1
x
x
;
(3)
2
1x
f(x);(4)
|x2|2
f(x)
x(1
x(1
x)
x)
(
(
x
x
0),
0).
题型2:
证明抽象函数的奇偶性
xy
例1.(09年山东)定义在区间(1,1)上的函数f(x)满足:
对任意的x,y(1,1),都有f(x)f(y)f().
1xy
求证f(x)为奇函数;
例2.
(1)函数f(x),xR,若对于任意实数a,b,都有f(ab)f(a)f(b),求证:
f(x)为奇函数。
(2)设函数f(x)定义在(l,l)上,证明f(x)f(x)是偶函数,f(x)f(x)是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
例1.已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若f(m1)f(2m1)0,求实数m的取值范围。
例2.设函数f(x)对于任意的x,yR,都有f(xy)f(x)f(y),且x0时f(x)0,f
(1)2
(1)求证f(x)是奇函数;
(2)试问当3x3时,f(x)是否有最值?
如果有,求出最值;如果没有,说出理由。
2+a+1)值范围,并在该范围内求函数y=(
1
2
)
2a
a3的单调递减区间.
1
函数的周期性
(一)知识梳理
1.函数的周期性的定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足
f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
2.周期性的性质
(1)若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab),则yf(x)必是周期函数,且一周期为
T2|ab|;
(2)若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab),则yf(x)是周期函数,且一周期为
T2|ab|;
(3)如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab),则函数yf(x)必是周期
函数,且一周期为T4|ab|;
(4)①若f(x+a)=f(x+b)则T=|b-a|;②函数f(x)满足fxfax,则f(x)是周期为2a的周期函数;
③若
1
f(xa)(a0)
f(x)
恒成立,则T2a;④若
1
f(xa)(a0)
f(x)
恒成立,则T2a.
(二)考点分析
考点2函数的周期性
33
例1.设函数f(x)是定义域R上的奇函数,对任意实数x有)
f(x)f(x成立
22
(1)证明:
yf(x)是周期函数,并指出周期;
(2)若f
(1)2,求f
(2)f(3)的值
考点2函数奇偶性、周期性的综合应用
例1.(09年江苏题改编)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)1对于xR恒成立,且f(x)0,
则f(119)________。
例2.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x2)f(x)
(1)求证:
f(x)是周期函数;
11
(2)若f(x)为奇函数,且当0x1时,f(x)x,求使f(x)x在0,2009上的所有x的个数。
22
2.5二次函数
(一)知识梳理
1.二次函数的解析式的三种形式:
(1)一般式:
f(x)=ax
2+bx+c(a≠0)。
(2)顶点式(配方式):
f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式(因式分解):
f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴
x
b
2a
2
b4acb
,顶点坐标(,)
2a4a
b
(1)a>0时,抛物线开口向上,函数在]
(,
2a
b
上单调递减,在[,)
2a
上单调递增,
x
b
2a
时,
f
2
4acb
(x)
min;
4a
b
(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在]
(,
2a
b
上单调递增,在[,)
2a
上单调递减,
x
b
2a
时,
f
2
4acb
(x)
max。
4a
3.二次函数f(x)=ax
2ac
2+bx+c(a≠0)当b40时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
2
M1Mxx(xx)4x1x2。
21212
a
4.根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
令f(x)=ax2+bx+c(a>0),
00
(1)x1<α,2x<α则,
b/(2a);
(2)x1>α,2x>α则,b/(2a)
af()0