高考函数知识点总结.docx
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高考函数知识点总结
高中函数大全
一元二次函数
定义域区间
定
义
对应法则
一元二次不等式
值域
指
根式分数指数
映
射
数
函
数
指数函数的图像和性质
指数方程
对数方程
函
数
性
质
奇偶性
单调性
对数的性质
积、商、幂与周期性
根的对数
对数
反
函
数
互为反函数的
函数图像关系
对
数
对数恒等式
和不等式
函
数
常用对数
自然对数
对数函数的图像和性质
函数概念
（一）知识梳理
1．映射的概念
设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的
元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f:
AB，f表示对应法则
注意：
⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函数的概念
（1）函数的定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一
确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf（x）,xA
（2）函数的定义域、值域
在函数yf（x）,xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做yf（x）的定义域；与x的值相对应的y值
叫做函数值，函数值的集合f（x）xA称为函数yf（x）的值域。
（3）函数的三要素：
定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：
图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：
就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：
就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）．解析法：
就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点1：
映射的概念
例1．
（1）AR，B{y|y0}，f:
xy|x|；
（2）
*
A{x|x2,xN}，By|y0,yN，
2
f:
xyx2x2；
（3）A{x|x0}，B{y|yR}，f:
xyx．
上述三个对应是A到B的映射．
例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B
的函数有个
例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：
对M中的每个元素x与
它在N中的象f（x）的和都为奇数，则映射f的个数是（）
（A）8个（B）12个（C）16个（D）18个
考点2：
判断两函数是否为同一个函数
例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）
2
f（x）x，
33
g（x）x；
（2）
x
f（x），
x
g（x）
1
1
x
x
0,
0;
（3）
2121
nxn
f（x），
2nx）
12n1
*）；
g（x）（（n∈N
2
（4）f（x）xx1，g（x）xx；
2x2t（5）（）21
fxx，g（t）t21
考点3：
求函数解析式
方法总结：
（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数f[g（x）]的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x）
题型1：
由复合函数的解析式求原来函数的解析式
2x
例1．已知二次函数f（x）满足（21）465
fxx，求f（x）（三种方法）
1x
例2．（09湖北改编）已知）
f（=
1x
1
1
2
x
2
x
，则f（x）的解析式可取为
题型2：
求抽象函数解析式
1
例1．已知函数f（x）满足（x，求f（x）
fx）2f（）3
x考点4：
求函数的定义域
题型1：
求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：
如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注
意：
①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数
不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的
交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：
研究函数的有关问题一定要注意定义域优
先原则，实际问题的定义域不要漏写。
122
例1.（08年湖北）函数f（x）ln（3234）
xxxx
x
的定义域为（）
A.（,4）[2,）;B.（4,0）（0,1）；C.[,4,0）（0,1];D.[,4,0）（0,1）
题型2：
求复合函数和抽象函数的定义域
例1．（2007·湖北）设f
x
2x
lg，则
2x
f
x
2
f
2
x
的定义域为（）
A.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4
例2．已知函数yf（x）的定义域为[a，b]，求yf（x2）的定义域
例3．已知yf（x2）的定义域是[a，b]，求函数yf（x）的定义域
例4．已知yf（2x1）的定义域是（-2，0），求yf（2x1）的定义域
考点5：
求函数的值域
1．求值域的几种常用方法
（1）配方法：
对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4（cosx1）22解决
（2）基本函数法：
一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，
22x
如函数ylog1（x2x3）就是利用函数yu
log和ux23的值域来求。
1
22
（3）判别式法：
通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数
2x1313313
y的值域[,]
2x
x2222
（4）分离常数法：
常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数
2cosx3
y的值域，因为
cosx1
（5）利用基本不等式求值域：
如求函数
3x
y的值域
2
x4
（6）利用函数的单调性求求值域：
如求函数y2x4x22（x[1,2]）的值域
（7）图象法：
如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数
32
f（x）2x4x40x，x[3,3]的最小值。
（－48）
（9）对勾函数法像y=x+
m
x
，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：
（1）如
yx
4
x
，求
（1）单调区间
（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0）（0,4],求值域
（2）如
yx
4
x4，
求
（1）[3,7]上的值域
（2）单调递增区间（x0或x4）
1
（3）如y2x
，
（1）求[-1,1]上的值域
（2）求单调递增区间x3
函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数yf（x）的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值
x，x2，当x1x2时，都有
1
f（x1）f（x2），那么就说yf（x）在区间I上是单调增函数，I称为yf（x）的单调增区间；如果对于区间I
内的任意两个值x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说yf（x）在区间I上是单调减函数，I
称为yf（x）的单调减区间。
如果用导数的语言来，那就是：
设函数yf（x），如果在某区间I上f（x）0，那么f（x）为区间I上的增函数；
如果在某区间I上f（x）0，那么f（x）为区间I上的减函数；
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间（a,b）内，若总有f（x）0，则f（x）
为增函数；反之，若f（x）在区间（a,b）内为增函数，则f（x）0，
b
（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意（0
yaxa
x
b0）型函数的图
bb
象和单调性在解题中的运用：
增区间为（,],[,）
aa
（3）复合函数法：
复合函数单调性的特点是同增异减
bb
，减区间为[,0）,（0,]
aa
.
（4）若f（x）与g（x）在定义域内都是增函数（减函数），那么f（x）g（x）在其公共定义域内是增函数（减
函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的
x，x2有三个特征：
一是任意性；二是大小，即x1x2（x1x2）；三是同属于
1
一个单调区间，三者缺一不可；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数
y
1
x
分别在（,0）和（0,）内
都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即（,0）（0,）内是单调递减的，只能说函数
y
1
x
的单调递
减区间为（,0）和（0,）
。
4、函数的最大（小）值
设函数yf（x）的定义域为A，如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f（x）f（x0）恒成立，那么称
f为yf（x）的最大值；如果存在定值x0A，使得对于任意xA，有f（x）f（x0）恒成立，那么称
（x0）
f（x0）为yf（x）的最小值。
（二）考点分析
考点1函数的单调性
题型1：
讨论函数的单调性
例1．
（1）求函数
2
ylog（x3x2）的单调区间；
0.7
（2）已知
2
f（x）82xx,若
2
g（x）f（2x）试确定g（x）的单调区间和单调性．
例2.判断函数f（x）=1
2
x在定义域上的单调性.
题型2：
研究抽象函数的单调性
例1．已知函数f（x）的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有
f（xx）f（x）f（x），且
1212
当x1时f（x）0,f
（2）1，
（1）求证：
f（x）是偶函数；
（2）f（x）在（0,）上是增函数；（3）解不等式
2
f（2x1）2．
题型3：
函数的单调性的应用
例1．若函数f（x）x22（a1）x2在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______
例2．已知函数
f（x）
ax
x
1
在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____
2
考点2函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：
先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：
当函数是分式形式且分
子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：
当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形
结合法：
画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
题型1：
求分式函数的最值
例1．（2007上海）已知函数f（x）
x
2
2x
x
a
x[1,）.当
1
a时，求函数f（x）的最小值。
2
题型2：
利用函数的最值求参数的取值范围
2
x2xa
例2．（2008广东）已知函数f（x）,x[1,）.若对任意x[1,）,f（x）0恒成立,试求实数a的
x
取值范围。
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：
①对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）f（x）〔或
f（x）f（x）0〕，则称f（x）为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数f（x）的定义域内任意一
个x，都有f（x）f（x）〔或f（x）f（x）0〕，则称f（x）为偶函数.偶函数的图象关于y轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函
数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2.函数的奇偶性的判断：
（1）可以利用奇偶函数的定义判断f（x）f（x）
（2）利用定义的等价形式,f（x）f（x）0，
f（x）
f（x）
1（f（x）0）
（3）图像法：
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称
3．函数奇偶性的性质：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上
若有单调性，则其单调性恰恰相反.
（2）若奇函数f（x）定义域中含有0，则必有f（0）0.故f（0）0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条
件。
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。
如设f（x）是定义域为R的任一函数，（）（）（）
fxfx
Fx，
2
f（x）f（x）
G（x）。
2
（4）复合函数的奇偶性特点是：
“内偶则偶，内奇同外”.
（5）设f（x），g（x）的定义域分别是
D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=
偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
（二）考点分析
考点1判断函数的奇偶性及其应用
题型1：
判断有解析式的函数的奇偶性
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；
（2）f（x）=（x－1）·
1
1
x
x
；
（3）
2
1x
f（x）；（4）
|x2|2
f（x）
x（1
x（1
x）
x）
（
（
x
x
0）,
0）.
题型2：
证明抽象函数的奇偶性
xy
例1.（09年山东）定义在区间（1,1）上的函数f（x）满足：
对任意的x,y（1,1），都有f（x）f（y）f（）.
1xy
求证f（x）为奇函数；
例2．
（1）函数f（x），xR，若对于任意实数a,b，都有f（ab）f（a）f（b），求证：
f（x）为奇函数。
（2）设函数f（x）定义在（l,l）上，证明f（x）f（x）是偶函数，f（x）f（x）是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数f（x）是定义在（2,2）上的减函数，若f（m1）f（2m1）0，求实数m的取值范围。
例2．设函数f（x）对于任意的x,yR，都有f（xy）f（x）f（y），且x0时f（x）0,f
（1）2
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）试问当3x3时，f（x）是否有最值？
如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
2+a+1）值范围，并在该范围内求函数y=（
1
2
）
2a
a3的单调递减区间.
1
函数的周期性
（一）知识梳理
1．函数的周期性的定义：
对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f（xT）f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
2．周期性的性质
（1）若yf（x）图像有两条对称轴xa,xb（ab），则yf（x）必是周期函数，且一周期为
T2|ab|；
（2）若yf（x）图像有两个对称中心A（a,0）,B（b,0）（ab），则yf（x）是周期函数，且一周期为
T2|ab|；
（3）如果函数yf（x）的图像有一个对称中心A（a,0）和一条对称轴xb（ab），则函数yf（x）必是周期
函数，且一周期为T4|ab|；
（4）①若f（x+a）=f（x+b）则T=|b-a|；②函数f（x）满足fxfax，则f（x）是周期为2a的周期函数；
③若
1
f（xa）（a0）
f（x）
恒成立，则T2a；④若
1
f（xa）（a0）
f（x）
恒成立，则T2a.
（二）考点分析
考点2函数的周期性
33
例1．设函数f（x）是定义域R上的奇函数，对任意实数x有）
f（x）f（x成立
22
（1）证明：
yf（x）是周期函数，并指出周期；
（2）若f
（1）2，求f
（2）f（3）的值
考点2函数奇偶性、周期性的综合应用
例1.（09年江苏题改编）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x2）f（x）1对于xR恒成立，且f（x）0，
则f（119）________。
例2．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x2）f（x）
（1）求证：
f（x）是周期函数；
11
（2）若f（x）为奇函数，且当0x1时，f（x）x，求使f（x）x在0,2009上的所有x的个数。
22
2.5二次函数
（一）知识梳理
1．二次函数的解析式的三种形式：
（1）一般式：
f（x）=ax
2+bx+c（a≠0）。
（2）顶点式（配方式）：
f（x）=a（x-h）2+k其中（h,k）是抛物线的顶点坐标。
（3）两点式（因式分解）：
f（x）=a（x-x1）（x-x2）,其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
2．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，对称轴
x
b
2a
2
b4acb
，顶点坐标（,）
2a4a
b
（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]
（,
2a
b
上单调递减，在[,）
2a
上单调递增，
x
b
2a
时，
f
2
4acb
（x）
min；
4a
b
（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]
（,
2a
b
上单调递增，在[,）
2a
上单调递减，
x
b
2a
时，
f
2
4acb
（x）
max。
4a
3．二次函数f（x）=ax
2ac
2+bx+c（a≠0）当b40时图象与x轴有两个交点M1（x1,0）,M2（x2,0）
2
M1Mxx（xx）4x1x2。
21212
a
4．根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：
令f（x）=ax2+bx+c（a>0），
00
（1）x1<α,2x<α则,
b/（2a）;
（2）x1>α,2x>α则,b/（2a）
af（）0
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