第28章《一元二次方程》常考题集13282+解一元二次方程.docx

1、第28章一元二次方程常考题集13282+解一元二次方程 一元二次方程常考题集（13）解答题1已知x=1是一元二次方程（m+1）x2m2x2m1=0的一个根求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式2（2011红安县模拟）解方程：3x（x+2）=5（x+2）3已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根4（2002宜昌）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答已知：m是关于x的方程mx22x+m=0的一个根，求m的值解：把x=m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1，m=1，把m=1代入原方程检验可知：m=

2、1符合题意答：m的值是15解方程（1）3（x2）2=x（x2）； （2）2x25x3=06解下列方程：（1）x（x3）4（3x）=0；（2）x24x3=07解方程：x（x6）=2（x8）8用适当的方法解下列方程：（1）（3x1）2=（x+1）2 （2）9解方程：（1）3（x3）2+x（x3）=0；（2）x22x3=0（用配方法解）10解方程：3（x5）2=2（5x）11当x为何值时，代数式x213x+12的值与代数式4x2+18的值相等？12解方程：4+4（1+x）+4（1+x）2=1913（2013长汀县一模）阅读下面材料：解答问题为解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将（x21

3、）看作一个整体，然后设x21=y，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=；当y=4时，x21=4，x2=5，x=，故原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）12=014（2008孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（2m1）x+m2=0有两个实数根x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）当x12x22=0时，求m的值15（2009资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx3=0（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方

4、程16（2009中山）已知：关于x的方程2x2+kx1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值17（2009绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由18（2008中山）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m1=0（m为实数），（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解19（2008兰州）已知关于x的一元二次方程x22xa=0（1）如果此方程有两个不相等的实数

5、根，求a的取值范围；（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足，求a的值20（2008长沙）当m为何值时，关于x的一元二次方程x24x+m=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？21（2006沈阳）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m1=0（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设，是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求2+2+的值22（2005宁波）已知关于x的方程x22（m+1）x+m2=0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根23（2005长沙）己知一元二次方程

6、x23x+m1=0（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根24已知关于x的方程x2（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求ABC的周长25试证明：不论m为何值，方程2x2（4m1）xm2m=0总有两个不相等的实数根26（2004江西）已知关于x的方程x22（m+1）x+m2=0，（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和27已知a、b、c是三角形的三条边长

7、，且关于x的方程（cb）x2+2（ba）x+（ab）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状28（2004上海）关于x的一元二次方程mx2（3m1）x+2m1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解29（2001重庆）若n0，关于x的方程x2（m2n）x+mn=0有两个相等的正实数根，求的值第28章一元二次方程常考题集（13）：28.2 解一元二次方程参考答案与试题解析解答题271已知x=1是一元二次方程（m+1）x2m2x2m1=0的一个根求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：计算题分析：一元二次方程的根就

8、是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立解答：解：把x=1代入原方程得：m+1m22m1=0，解得m=0或1，又m+10m1，m=0，方程的一般形式是：x21=0点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义272（2011红安县模拟）解方程：3x（x+2）=5（x+2）考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有专题：整体思想分析：本题可先对方程进行移项，然后提取公因式x+2，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题解答：解：原方程可化为3x（x+2）5（x+2）=0，（3x5）（x+2）

9、=0，解得x1=2，点评：本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法273已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根考点：解一元二次方程-因式分解法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根菁优网版权所有专题：计算题分析：本题要求出方程ax2+bx+c=0的根，必须先求出a、b、c的值根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，

10、再代入方程中可解此题解答：解：根据分析得：a2=0，b+1=0，c+3=0a=2，b=1，c=3方程ax2+bx+c=0即为2x2x3=0x1=，x2=1点评：本题考查了一元二次方程的解法和非负数的性质解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法274（2002宜昌）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答已知：m是关于x的方程mx22x+m=0的一个根，求m的值解：把x=m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1，m=1，把m=1代入原方程检验可知：m=1符合题意答：m的值是1考点：解一元二次

11、方程-因式分解法；一元二次方程的解菁优网版权所有专题：阅读型分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值解答：解：有错，m不能直接约去，也有可能m=0，因为当m=0时，m是不能作分母的正确的解答为：把x=m代入原方程，化简得m3m=0，m（m+1）（m1）=0，m=0或m+1=0或m1=0，m1=0，m2=1，m3=1，将m的三个值代入方程检验，均符合题意，故m的值是0，1，1点评：本题的关键当m=0时，m是不能作分母的275解方程（1）3（x2）2=x（x2）；（2）2x25x3=0考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有分析：（1）首先移项，使方

12、程的右边变成0，左边可以提公因式x2，因而用因式分解法求解；（2）方程的左边可以利用十字相乘法分解，因而方程可用因式分解法求解解答：解：（1）整理得3（x2）2x（x2）=0即（x2）（x3）=0x1=2，x2=3（2）2x25x3=0（2x+1）（x3）=0x1=0.5，x2=3点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根276解下列方程：（1）x（x3）4（3x）=0；（2）x24x3=0考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法菁优网版权所有分析：（1）观察

13、原方程，可用提取公因式法求解；（2）由于原方程无法用直接开方法和因式分解法进行计算，所以应考虑用公式法求解解答：解：（1）x（x3）4（3x）=0，（x3）（x+4）=0，x3=0或x+4=0，解得：x1=3，x2=4；（2）a=1，b=4，c=3，b24ac=16+12=280，x=2，点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程277解方程：x（x

14、6）=2（x8）考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有分析：先整理方程，再按因式分解法求解解答：解：x26x=2x16x28x+16=0（x4）2=0（4分）x1=x2=4（2分）点评：因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用278用适当的方法解下列方程：（1）（3x1）2=（x+1）2（2）考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法菁优网版权所有分析：（1）先移项，然后用平方差公式进行求解（2）题无法用直接开方法和因式分解法进行求解，因此可考虑用求根公式来进行计算解答：解：（1）原方程可化为：（3x1）2（x+1）2=0，（3x1+x+1）（3x1x1）=

15、0，4x=0或2x2=0，解得：x1=0，x2=1；（2）a=2，b=1，c=，b24ac=142（）=5；x=；点评：本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法279解方程：（1）3（x3）2+x（x3）=0；（2）x22x3=0（用配方法解）考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）把x3看成整体，提公因式分解因式求解；（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解

16、解答：解：（1）（x3）（3x9+x）=0；（2）配方得x22x+1=4即（x1）2=4x1=2x1=3，x2=1点评：本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程解一元二次方程的方法还有配方法，直接开平方法，应灵活掌握280解方程：3（x5）2=2（5x）考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有专题：计算题分析：平方内的式子乘以1，平方后的值不变（x

17、5）2=（5x）2，原式可化为3（5x）2=2（5x），对方程进行移项，然后提取公因式（5x），最后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题解答：解：原方程可变形为：3（5x）2=2（5x）3（5x）22（5x）=0（5x）3（5x）2=0（5x）（133x）=0则x1=5，x2=点评：本题考查了一元二次方程的解法和平方数的性质的运用解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法281当x为何值时，代数式x213x+12的值与代数式4x2+18的值相等？考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有专题

18、：计算题分析：通过题目中的等量关系列方程，解方程即可解答：解：由题意得x213x+12=4x2+18整理得5x213x6=0解得：x1=，x2=3x的值为或3时，代数式x213x+12的值与代数式4x2+18的值相等点评：此题的实质还是解一元二次方程，可用因式分解法求解282解方程：4+4（1+x）+4（1+x）2=19考点：解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有专题：计算题分析：本题要把括号里的当成一个整体来计算，先把方程变为一元二次方程的一般形式再因式分解求值解答：解：原式可变为4（1+x）2+4（1+x）15=02（1+x）32（1+x）+5=0x1=，x2=点评：此题主要是把1+x当

19、成一个整体来进行因式分解，难易程度适中283（2013长汀县一模）阅读下面材料：解答问题为解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将（x21）看作一个整体，然后设x21=y，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2=2，x=；当y=4时，x21=4，x2=5，x=，故原方程的解为x1=，x2=，x3=，x4=上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程（x2x）24（x2x）12=0考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法菁优网版权所有专题：阅读型分析：先把x2x看作一个整体，设x2x=y，代入得到新方程y24y12=0，利用求根

20、公式可以求解解答：解：设x2x=y，那么原方程可化为y24y12=0（2分）解得y1=6，y2=2（4分）当y=6时，x2x=6即x2x6=0x1=3，x2=2（6分）当y=2时，x2x=2即x2x+2=0=（1）24120方程无实数解（8分）原方程的解为：x1=3，x2=2（9分）点评：此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想284（2008孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（2m1）x+m2=0有两个实数根x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）当x12x22=0时，求m的值考点：根的判别式；根与系数的关系菁优网版权所有专题：分类讨论分析：（1）若一元二次方程有两实数根，

21、则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）由x12x22=0得x1+x2=0或x1x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到2m1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值解答：解：（1）由题意有=（2m1）24m20，解得，实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2=（2m1），x1x2=m2，由x12x22=0得（x1+x2）（x1x2）=0，若x1+x2=0，即（2m1）=0，解得，不合题意，舍去，若x1x2=0，即x1=x2=0，由（1）知，故当x12x22=0时，点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出

22、的结果必须满足0的条件285（2009资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx3=0（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程考点：根的判别式；解一元二次方程-配方法菁优网版权所有专题：配方法分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要说明0即可（2）当k=2时，原方程即x2+2x3=0，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的两边同时加上一次项系数的一半，则方程左边就是完全平方式，右边是0，即可利用开平方法求解解答：（1）证明：a=1，b=k，c=3，=k241（3）=k2+12，不论k为何实数，k20，k2+120，即0，

23、因此，不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根（2）解：当k=2时，原一元二次方程即x2+2x3=0，x2+2x+1=4，（x+1）2=4，x+1=2或x+1=2，此时方程的根为x1=1，x2=3点评：本题是对根的判别式和配方法的综合试题，考查了对根的判别式与配方法的应用，同时也考查了非负数的性质286（2009中山）已知：关于x的方程2x2+kx1=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k值考点：解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：若方程有两个不相等的实数根，则应有=b24ac0，故计算方程的根的判别式即

24、可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根解答：证明：（1）a=2，b=k，c=1=k242（1）=k2+8，无论k取何值，k20，k2+80，即0，方程2x2+kx1=0有两个不相等的实数根解：（2）把x=1代入原方程得，2k1=0k=1原方程化为2x2+x1=0，解得：x1=1，x2=，即另一个根为点评：本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数

25、是常见的题型287（2009绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有两个不相等的实数根（1）求实数k的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由考点：根的判别式菁优网版权所有分析：（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足=b24ac0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；（2）利用假设的方法，求出它的另一个根解答：解：（1）=2（k1）24（k21）=4k28k+44k2+4=8k+8，又原方程有两个不相等的实数根，8k+80，解得k1，即实数k的取值范围是k1；（2）假设0是方程的一个根，则代入原方

26、程得02+2（k1）0+k21=0，解得k=1或k=1（舍去），即当k=1时，0就为原方程的一个根，此时原方程变为x24x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一个根是4点评：总结一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根288（2008中山）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m1=0（m为实数），（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解考点：根的判别式；根与系数的关系菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）只要证得=b24ac0，就说明方程有

27、两个不相等的实数根（2）方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解解答：（1）证明：a=1，b=m+2，c=2m1，=b24ac=（m+2）24（2m1）=（m2）2+4（m2）20，（m2）2+40即0，方程有两个不相等的实数根（2）解：方程两根互为相反数，两根之和=（m+2）=0，解得m=2即当m=2时，方程两根互为相反数当m=2时，原方程化为：x25=0，解得：x1=，x2=点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根（2）解题时注意方程两根互为相反数，说明b=0289（2008兰州）已知关于x的一元二次方程x22xa=0（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；（2）如果此方程的