第28章《一元二次方程》常考题集13282+解一元二次方程.docx

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第28章《一元二次方程》常考题集13282+解一元二次方程.docx

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第28章《一元二次方程》常考题集13282+解一元二次方程

《一元二次方程》常考题集（13）

解答题

1已知x=1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．

2（2011•红安县模拟）解方程：

3x（x+2）=5（x+2）

3．已知a、b、c均为实数，且

+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．

4（2002•宜昌）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答．

已知：

m是关于x的方程mx2﹣2x+m=0的一个根，求m的值．

解：

把x=m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1，

∴m=1，把m=1代入原方程检验可知：

m=1符合题意．

答：

m的值是1．

5．解方程

（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；

（2）2x2﹣5x﹣3=0．

6．解下列方程：

（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0；

（2）x2﹣4x﹣3=0

7．解方程：

x（x﹣6）=2（x﹣8）

．用适当的方法解下列方程：

（1）（3x﹣1）2=（x+1）2

（2）

．

9．解方程：

（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）=0；

（2）x2﹣2x﹣3=0（用配方法解）

10．解方程：

3（x﹣5）2=2（5﹣x）

11．当x为何值时，代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等？

12．解方程：

4+4（1+x）+4（1+x）2=19

13．（2013•长汀县一模）阅读下面材料：

解答问题

为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将（x2﹣1）看作一个整体，然后设x2﹣1=y，那么原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2﹣1=1，∴x2=2，∴x=±

；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±

，故原方程的解为x1=

，x2=﹣

，x3=

，x4=﹣

．

上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．

14．（2008•孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．

15．（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0．

（1）求证：

不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

16．（2009•中山）已知：

关于x的方程2x2+kx﹣1=0

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

17．（2009•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？

若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

18．（2008•中山）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数），

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．

19．（2008•兰州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．

（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）如果此方程的两个实数根为x1，x2，且满足

，求a的值．

20．（2008•长沙）当m为何值时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣

=0有两个相等的实数根？

此时这两个实数根是多少？

21．（2006•沈阳）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0．

（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；

（2）设α，β是

（1）中你所得到的方程的两个实数根，求α2+β2+αβ的值．

22．（2005•宁波）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0

（1）当m取何值时，方程有两个实数根；

（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．

23．（2005•长沙）己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．

（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．

24．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0．

（1）求证：

无论k取任意实数值，方程总有实数根．

（2）若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

25．试证明：

不论m为何值，方程2x2﹣（4m﹣1）x﹣m2﹣m=0总有两个不相等的实数根．

26．（2004•江西）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0，

（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；

（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．

27．已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．

28．（2004•上海）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的解．

29．（2001•重庆）若n＞0，关于x的方程x2﹣（m﹣2n）x+

mn=0有两个相等的正实数根，求

的值．

第28章《一元二次方程》常考题集（13）：

28.2解一元二次方程

参考答案与试题解析

解答题

271．已知x=1是一元二次方程（m+1）x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个根．求m的值，并写出此时的一元二次方程的一般形式．

考点：

专题：

计算题．

分析：

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

解答：

解：

把x=1代入原方程得：

m+1﹣m2﹣2m﹣1=0，

解得m=0或﹣1，

又∵m+1≠0

∴m≠﹣1，

∴m=0，

∴方程的一般形式是：

x2﹣1=0．

点评：

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

272．（2011•红安县模拟）解方程：

3x（x+2）=5（x+2）

考点：

专题：

整体思想．

分析：

本题可先对方程进行移项，然后提取公因式x+2，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

解答：

解：

原方程可化为

3x（x+2）﹣5（x+2）=0，

（3x﹣5）（x+2）=0，

解得x1=﹣2，

．

点评：

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

273．已知a、b、c均为实数，且

+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．

考点：

解一元二次方程-因式分解法；非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：

偶次方；非负数的性质：

专题：

计算题．

分析：

本题要求出方程ax2+bx+c=0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．

解答：

解：

根据分析得：

a﹣2=0，b+1=0，c+3=0

a=2，b=﹣1，c=﹣3

方程ax2+bx+c=0

即为2x2﹣x﹣3=0

∴x1=

，x2=﹣1．

点评：

本题考查了一元二次方程的解法和非负数的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．

274．（2002•宜昌）阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你在其右边写出正确的解答．

已知：

m是关于x的方程mx2﹣2x+m=0的一个根，求m的值．

解：

把x=m代入原方程，化简得m3=m，两边同除以m，得m2=1，

∴m=1，把m=1代入原方程检验可知：

m=1符合题意．

答：

m的值是1．

考点：

专题：

阅读型．

分析：

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

解答：

解：

有错，m不能直接约去，也有可能m=0，因为当m=0时，m是不能作分母的．

正确的解答为：

把x=m代入原方程，化简得m3﹣m=0，

∴m（m+1）（m﹣1）=0，

∴m=0或m+1=0或m﹣1=0，

∴m1=0，m2=﹣1，m3=1，

将m的三个值代入方程检验，均符合题意，

故m的值是0，﹣1，1．

点评：

本题的关键当m=0时，m是不能作分母的．

275．解方程

（1）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；

（2）2x2﹣5x﹣3=0．

考点：

分析：

（1）首先移项，使方程的右边变成0，左边可以提公因式x﹣2，因而用因式分解法求解；

（2）方程的左边可以利用十字相乘法分解，因而方程可用因式分解法求解．

解答：

解：

（1）整理得3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0

即（x﹣2）（x﹣3）=0

x1=2，x2=3

（2）2x2﹣5x﹣3=0

（2x+1）（x﹣3）=0

x1=﹣0.5，x2=3

点评：

本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．

276．解下列方程：

（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0；

（2）x2﹣4x﹣3=0

考点：

分析：

（1）观察原方程，可用提取公因式法求解；

（2）由于原方程无法用直接开方法和因式分解法进行计算，所以应考虑用公式法求解．

解答：

解：

（1）x（x﹣3）﹣4（3﹣x）=0，

（x﹣3）（x+4）=0，

x﹣3=0或x+4=0，

解得：

x1=3，x2=﹣4；

（2）a=1，b=﹣4，c=﹣3，

b2﹣4ac=16+12=28＞0，

=2±

，

．

点评：

本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

277．解方程：

x（x﹣6）=2（x﹣8）

考点：

分析：

先整理方程，再按因式分解法求解．

解答：

解：

x2﹣6x=2x﹣16

x2﹣8x+16=0

（x﹣4）2=0（4分）

x1=x2=4（2分）

点评：

因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．

278．用适当的方法解下列方程：

（1）（3x﹣1）2=（x+1）2

（2）

．

考点：

分析：

（1）先移项，然后用平方差公式进行求解．

（2）题无法用直接开方法和因式分解法进行求解，因此可考虑用求根公式来进行计算．

解答：

解：

（1）原方程可化为：

（3x﹣1）2﹣（x+1）2=0，

（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）=0，

∴4x=0或2x﹣2=0，

解得：

x1=0，x2=1；

（2）∵a=2，b=1，c=﹣

，

∴b2﹣4ac=1﹣4×2×（﹣

）=5；

∴x=

；

∴

．

点评：

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

279．解方程：

（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）=0；

（2）x2﹣2x﹣3=0（用配方法解）

考点：

专题：

压轴题．

分析：

（1）把x﹣3看成整体，提公因式分解因式求解；

（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解．

解答：

解：

（1）（x﹣3）（3x﹣9+x）=0

；

（2）配方得x2﹣2x+1=4

即（x﹣1）2=4

x﹣1=±2

x1=3，x2=﹣1．

点评：

本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．解一元二次方程的方法还有配方法，直接开平方法，应灵活掌握．

280．解方程：

3（x﹣5）2=2（5﹣x）

考点：

专题：

计算题．

分析：

平方内的式子乘以﹣1，平方后的值不变．∴（x﹣5）2=（5﹣x）2，原式可化为3（5﹣x）2=2（5﹣x），对方程进行移项，然后提取公因式（5﹣x），最后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

解答：

解：

原方程可变形为：

3（5﹣x）2=2（5﹣x）

3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）=0

（5﹣x）[3（5﹣x）﹣2]=0

（5﹣x）（13﹣3x）=0

则x1=5，x2=

．

点评：

本题考查了一元二次方程的解法和平方数的性质的运用．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

281．当x为何值时，代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等？

考点：

专题：

计算题．

分析：

通过题目中的等量关系列方程，解方程即可．

解答：

解：

由题意得x2﹣13x+12=﹣4x2+18

整理得5x2﹣13x﹣6=0

解得：

x1=﹣

，x2=3

∴x的值为﹣

或3时，代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等．

点评：

此题的实质还是解一元二次方程，可用因式分解法求解．

282．解方程：

4+4（1+x）+4（1+x）2=19

考点：

专题：

计算题．

分析：

本题要把括号里的当成一个整体来计算，先把方程变为一元二次方程的一般形式再因式分解求值．

解答：

解：

原式可变为

4（1+x）2+4（1+x）﹣15=0

[2（1+x）﹣3][2（1+x）+5]=0

x1=

，x2=﹣

．

点评：

此题主要是把1+x当成一个整体来进行因式分解，难易程度适中．

283．（2013•长汀县一模）阅读下面材料：

解答问题

；当y=4时，x2﹣1=4，∴x2=5，∴x=±

，故原方程的解为x1=

，x2=﹣

，x3=

，x4=﹣

．

上述解题方法叫做换元法；请利用换元法解方程．（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12=0．

考点：

专题：

阅读型．

分析：

先把x2﹣x看作一个整体，设x2﹣x=y，代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0，利用求根公式可以求解．

解答：

解：

设x2﹣x=y，那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0（2分）

解得y1=6，y2=﹣2（4分）

当y=6时，x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0

∴x1=3，x2=﹣2（6分）

当y=﹣2时，x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0

∵△=（﹣1）2﹣4×1×2＜0

∴方程无实数解（8分）

∴原方程的解为：

x1=3，x2=﹣2．（9分）

点评：

此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．

284．（2008•孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．

（1）求实数m的取值范围；

（2）当x12﹣x22=0时，求m的值．

考点：

专题：

分类讨论．

分析：

（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；

（2）由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0；当x1+x2=0时，运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根，据此即可求得m的值．

解答：

解：

（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，

解得

，

∴实数m的取值范围是

；

（2）由两根关系，得根x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，

由x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，

若x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得

，

∵

＞

，

∴

不合题意，舍去，

若x1﹣x2=0，即x1=x2

∴△=0，由

（1）知

，

故当x12﹣x22=0时，

．

点评：

本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．

285．（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0．

（1）求证：

不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．

考点：

专题：

配方法．

分析：

（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，只要说明△＞0即可．

（2）当k=2时，原方程即x2+2x﹣3=0，首先移项，把常数项移到等号的右边，然后在方程的两边同时加上一次项系数的一半，则方程左边就是完全平方式，右边是0，即可利用开平方法求解．

解答：

（1）证明：

∵a=1，b=k，c=﹣3，

∴△=k2﹣4×1×（﹣3）=k2+12，

∵不论k为何实数，k2≥0，

∴k2+12＞0，即△＞0，

因此，不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：

当k=2时，原一元二次方程即x2+2x﹣3=0，

∴x2+2x+1=4，

∴（x+1）2=4，

∴x+1=2或x+1=﹣2，

∴此时方程的根为x1=1，x2=﹣3．

点评：

本题是对根的判别式和配方法的综合试题，考查了对根的判别式与配方法的应用，同时也考查了非负数的性质．

286．（2009•中山）已知：

关于x的方程2x2+kx﹣1=0

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．

考点：

专题：

计算题；证明题．

分析：

若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．

解答：

证明：

（1）∵a=2，b=k，c=﹣1

∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，

∵无论k取何值，k2≥0，

∴k2+8＞0，即△＞0，

∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．

解：

（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0

∴k=1

∴原方程化为2x2+x﹣1=0，

解得：

x1=﹣1，x2=

，即另一个根为

．

点评：

本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．

287．（2009•绵阳）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根．

（1）求实数k的取值范围；

（2）0可能是方程的一个根吗？

若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．

考点：

分析：

（1）方程有两个不相等的实数根，必须满足△=b2﹣4ac＞0，由此可以得到关于k的不等式，然后解不等式即可求出实数k的取值范围；

（2）利用假设的方法，求出它的另一个根．

解答：

解：

（1）∵△=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）

=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8，

又∵原方程有两个不相等的实数根，

∴﹣8k+8＞0，

解得k＜1，

即实数k的取值范围是k＜1；

（2）假设0是方程的一个根，

则代入原方程得02+2（k﹣1）•0+k2﹣1=0，

解得k=﹣1或k=1（舍去），

即当k=﹣1时，0就为原方程的一个根，

此时原方程变为x2﹣4x=0，

解得x1=0，x2=4，

所以它的另一个根是4．

点评：

总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

288．（2008•中山）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0（m为实数），

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数并求出此时方程的解．

考点：

专题：

计算题；证明题．

分析：

（1）只要证得△=b2﹣4ac＞0，就说明方程有两个不相等的实数根．

（2）方程的两根互为相反数，说明m+2=0，从而求得m的值，再代入原方程求出此时方程的解．

解答：

（1）证明：

∵a=1，b=m+2，c=2m﹣1，

∴△=b2﹣4ac=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+4＞0

即△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）解：

∵方程两根互为相反数，

∴两根之和=﹣（m+2）=0，

解得m=﹣2

即当m=﹣2时，方程两根互为相反数．

当m=﹣2时，原方程化为：

x2﹣5=0，

解得：

x1=

，x2=﹣

．

点评：

（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

②△=0⇔方程有两个相等的实数根；

③△＜0⇔方程没有实数根．

（2）解题时注意方程两根互为相反数，说明b=0．

289．（2008•兰州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0．

（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）如果此方程的

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