第28章《一元二次方程》常考题集13282+解一元二次方程.docx
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第28章《一元二次方程》常考题集13282+解一元二次方程
《一元二次方程》常考题集(13)
解答题
1已知x=1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个根.求m的值,并写出此时的一元二次方程的一般形式.
2(2011•红安县模拟)解方程:
3x(x+2)=5(x+2)
3.已知a、b、c均为实数,且
+|b+1|+(c+3)2=0,求方程ax2+bx+c=0的根.
4(2002•宜昌)阅读下题的解答过程,请判断是否有错,若有错误请你在其右边写出正确的解答.
已知:
m是关于x的方程mx2﹣2x+m=0的一个根,求m的值.
解:
把x=m代入原方程,化简得m3=m,两边同除以m,得m2=1,
∴m=1,把m=1代入原方程检验可知:
m=1符合题意.
答:
m的值是1.
5.解方程
(1)3(x﹣2)2=x(x﹣2);
(2)2x2﹣5x﹣3=0.
6.解下列方程:
(1)x(x﹣3)﹣4(3﹣x)=0;
(2)x2﹣4x﹣3=0
7.解方程:
x(x﹣6)=2(x﹣8)
8
.用适当的方法解下列方程:
(1)(3x﹣1)2=(x+1)2
(2)
.
9.解方程:
(1)3(x﹣3)2+x(x﹣3)=0;
(2)x2﹣2x﹣3=0(用配方法解)
10.解方程:
3(x﹣5)2=2(5﹣x)
11.当x为何值时,代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等?
12.解方程:
4+4(1+x)+4(1+x)2=19
13.(2013•长汀县一模)阅读下面材料:
解答问题
为解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将(x2﹣1)看作一个整体,然后设x2﹣1=y,那么原方程可化为y2﹣5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2﹣1=1,∴x2=2,∴x=±
;当y=4时,x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±
,故原方程的解为x1=
,x2=﹣
,x3=
,x4=﹣
.
上述解题方法叫做换元法;请利用换元法解方程.(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0.
14.(2008•孝感)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x12﹣x22=0时,求m的值.
15.(2009•资阳)已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0.
(1)求证:
不论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,用配方法解此一元二次方程.
16.(2009•中山)已知:
关于x的方程2x2+kx﹣1=0
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是﹣1,求另一个根及k值.
17.(2009•绵阳)已知关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)0可能是方程的一个根吗?
若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.
18.(2008•中山)已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m﹣1=0(m为实数),
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数并求出此时方程的解.
19.(2008•兰州)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0.
(1)如果此方程有两个不相等的实数根,求a的取值范围;
(2)如果此方程的两个实数根为x1,x2,且满足
,求a的值.
20.(2008•长沙)当m为何值时,关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣
=0有两个相等的实数根?
此时这两个实数根是多少?
21.(2006•沈阳)已知关于x的一元二次方程x2+4x+m﹣1=0.
(1)请你为m选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根;
(2)设α,β是
(1)中你所得到的方程的两个实数根,求α2+β2+αβ的值.
22.(2005•宁波)已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0
(1)当m取何值时,方程有两个实数根;
(2)为m选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根.
23.(2005•长沙)己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围;
(2)若方程有两个相等的实数根,求此时方程的根.
24.已知关于x的方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求证:
无论k取任意实数值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1,另两边长b、c恰是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
25.试证明:
不论m为何值,方程2x2﹣(4m﹣1)x﹣m2﹣m=0总有两个不相等的实数根.
26.(2004•江西)已知关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0,
(1)当m取什么值时,原方程没有实数根;
(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.
27.已知a、b、c是三角形的三条边长,且关于x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根,试判断三角形的形状.
28.(2004•上海)关于x的一元二次方程mx2﹣(3m﹣1)x+2m﹣1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的解.
29.(2001•重庆)若n>0,关于x的方程x2﹣(m﹣2n)x+
mn=0有两个相等的正实数根,求
的值.
第28章《一元二次方程》常考题集(13):
28.2解一元二次方程
参考答案与试题解析
解答题
271.已知x=1是一元二次方程(m+1)x2﹣m2x﹣2m﹣1=0的一个根.求m的值,并写出此时的一元二次方程的一般形式.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;一元二次方程的解.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
解答:
解:
把x=1代入原方程得:
m+1﹣m2﹣2m﹣1=0,
解得m=0或﹣1,
又∵m+1≠0
∴m≠﹣1,
∴m=0,
∴方程的一般形式是:
x2﹣1=0.
点评:
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
272.(2011•红安县模拟)解方程:
3x(x+2)=5(x+2)
考点:
解一元二次方程-因式分解法.菁优网版权所有
专题:
整体思想.
分析:
本题可先对方程进行移项,然后提取公因式x+2,将原式化为两式相乘的形式,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.
解答:
解:
原方程可化为
3x(x+2)﹣5(x+2)=0,
(3x﹣5)(x+2)=0,
解得x1=﹣2,
.
点评:
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.
273.已知a、b、c均为实数,且
+|b+1|+(c+3)2=0,求方程ax2+bx+c=0的根.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;非负数的性质:
绝对值;非负数的性质:
偶次方;非负数的性质:
算术平方根.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题要求出方程ax2+bx+c=0的根,必须先求出a、b、c的值.根据非负数的性质,带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0,三个非负数相加和为0,则这三个数的值必都为0,由此可解出a、b、c的值,再代入方程中可解此题.
解答:
解:
根据分析得:
a﹣2=0,b+1=0,c+3=0
a=2,b=﹣1,c=﹣3
方程ax2+bx+c=0
即为2x2﹣x﹣3=0
∴x1=
,x2=﹣1.
点评:
本题考查了一元二次方程的解法和非负数的性质.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.
274.(2002•宜昌)阅读下题的解答过程,请判断是否有错,若有错误请你在其右边写出正确的解答.
已知:
m是关于x的方程mx2﹣2x+m=0的一个根,求m的值.
解:
把x=m代入原方程,化简得m3=m,两边同除以m,得m2=1,
∴m=1,把m=1代入原方程检验可知:
m=1符合题意.
答:
m的值是1.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;一元二次方程的解.菁优网版权所有
专题:
阅读型.
分析:
一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.
解答:
解:
有错,m不能直接约去,也有可能m=0,因为当m=0时,m是不能作分母的.
正确的解答为:
把x=m代入原方程,化简得m3﹣m=0,
∴m(m+1)(m﹣1)=0,
∴m=0或m+1=0或m﹣1=0,
∴m1=0,m2=﹣1,m3=1,
将m的三个值代入方程检验,均符合题意,
故m的值是0,﹣1,1.
点评:
本题的关键当m=0时,m是不能作分母的.
275.解方程
(1)3(x﹣2)2=x(x﹣2);
(2)2x2﹣5x﹣3=0.
考点:
解一元二次方程-因式分解法.菁优网版权所有
分析:
(1)首先移项,使方程的右边变成0,左边可以提公因式x﹣2,因而用因式分解法求解;
(2)方程的左边可以利用十字相乘法分解,因而方程可用因式分解法求解.
解答:
解:
(1)整理得3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)=0
即(x﹣2)(x﹣3)=0
x1=2,x2=3
(2)2x2﹣5x﹣3=0
(2x+1)(x﹣3)=0
x1=﹣0.5,x2=3
点评:
本题考查了解一元二次方程的方法,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.
276.解下列方程:
(1)x(x﹣3)﹣4(3﹣x)=0;
(2)x2﹣4x﹣3=0
考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.菁优网版权所有
分析:
(1)观察原方程,可用提取公因式法求解;
(2)由于原方程无法用直接开方法和因式分解法进行计算,所以应考虑用公式法求解.
解答:
解:
(1)x(x﹣3)﹣4(3﹣x)=0,
(x﹣3)(x+4)=0,
x﹣3=0或x+4=0,
解得:
x1=3,x2=﹣4;
(2)a=1,b=﹣4,c=﹣3,
b2﹣4ac=16+12=28>0,
x=
=
=2±
,
.
点评:
本题考查了解一元二次方程的方法,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法,此法适用于任何一元二次方程.
277.解方程:
x(x﹣6)=2(x﹣8)
考点:
解一元二次方程-因式分解法.菁优网版权所有
分析:
先整理方程,再按因式分解法求解.
解答:
解:
x2﹣6x=2x﹣16
x2﹣8x+16=0
(x﹣4)2=0(4分)
x1=x2=4(2分)
点评:
因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.
278.用适当的方法解下列方程:
(1)(3x﹣1)2=(x+1)2
(2)
.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法.菁优网版权所有
分析:
(1)先移项,然后用平方差公式进行求解.
(2)题无法用直接开方法和因式分解法进行求解,因此可考虑用求根公式来进行计算.
解答:
解:
(1)原方程可化为:
(3x﹣1)2﹣(x+1)2=0,
(3x﹣1+x+1)(3x﹣1﹣x﹣1)=0,
∴4x=0或2x﹣2=0,
解得:
x1=0,x2=1;
(2)∵a=2,b=1,c=﹣
,
∴b2﹣4ac=1﹣4×2×(﹣
)=5;
∴x=
=
;
∴
.
点评:
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
279.解方程:
(1)3(x﹣3)2+x(x﹣3)=0;
(2)x2﹣2x﹣3=0(用配方法解)
考点:
解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
(1)把x﹣3看成整体,提公因式分解因式求解;
(2)用配方法解,移项使方程的右边是常数,在方程两边加上一次项系数一半的平方,即可使方程左边是完全平方式,右边是常数,再开平方即可求解.
解答:
解:
(1)(x﹣3)(3x﹣9+x)=0
;
(2)配方得x2﹣2x+1=4
即(x﹣1)2=4
x﹣1=±2
x1=3,x2=﹣1.
点评:
本题考查了解一元二次方程的方法,当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时,一般情况下是把左边的式子因式分解,再利用积为0的特点解出方程的根.因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法,要会灵活运用.当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法,此法适用于任何一元二次方程.解一元二次方程的方法还有配方法,直接开平方法,应灵活掌握.
280.解方程:
3(x﹣5)2=2(5﹣x)
考点:
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专题:
计算题.
分析:
平方内的式子乘以﹣1,平方后的值不变.∴(x﹣5)2=(5﹣x)2,原式可化为3(5﹣x)2=2(5﹣x),对方程进行移项,然后提取公因式(5﹣x),最后根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0”来解题.
解答:
解:
原方程可变形为:
3(5﹣x)2=2(5﹣x)
3(5﹣x)2﹣2(5﹣x)=0
(5﹣x)[3(5﹣x)﹣2]=0
(5﹣x)(13﹣3x)=0
则x1=5,x2=
.
点评:
本题考查了一元二次方程的解法和平方数的性质的运用.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.
281.当x为何值时,代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等?
考点:
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专题:
计算题.
分析:
通过题目中的等量关系列方程,解方程即可.
解答:
解:
由题意得x2﹣13x+12=﹣4x2+18
整理得5x2﹣13x﹣6=0
解得:
x1=﹣
,x2=3
∴x的值为﹣
或3时,代数式x2﹣13x+12的值与代数式﹣4x2+18的值相等.
点评:
此题的实质还是解一元二次方程,可用因式分解法求解.
282.解方程:
4+4(1+x)+4(1+x)2=19
考点:
解一元二次方程-因式分解法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
本题要把括号里的当成一个整体来计算,先把方程变为一元二次方程的一般形式再因式分解求值.
解答:
解:
原式可变为
4(1+x)2+4(1+x)﹣15=0
[2(1+x)﹣3][2(1+x)+5]=0
x1=
,x2=﹣
.
点评:
此题主要是把1+x当成一个整体来进行因式分解,难易程度适中.
283.(2013•长汀县一模)阅读下面材料:
解答问题
为解方程(x2﹣1)2﹣5(x2﹣1)+4=0,我们可以将(x2﹣1)看作一个整体,然后设x2﹣1=y,那么原方程可化为y2﹣5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2﹣1=1,∴x2=2,∴x=±
;当y=4时,x2﹣1=4,∴x2=5,∴x=±
,故原方程的解为x1=
,x2=﹣
,x3=
,x4=﹣
.
上述解题方法叫做换元法;请利用换元法解方程.(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12=0.
考点:
换元法解一元二次方程;解一元二次方程-因式分解法.菁优网版权所有
专题:
阅读型.
分析:
先把x2﹣x看作一个整体,设x2﹣x=y,代入得到新方程y2﹣4y﹣12=0,利用求根公式可以求解.
解答:
解:
设x2﹣x=y,那么原方程可化为y2﹣4y﹣12=0(2分)
解得y1=6,y2=﹣2(4分)
当y=6时,x2﹣x=6即x2﹣x﹣6=0
∴x1=3,x2=﹣2(6分)
当y=﹣2时,x2﹣x=﹣2即x2﹣x+2=0
∵△=(﹣1)2﹣4×1×2<0
∴方程无实数解(8分)
∴原方程的解为:
x1=3,x2=﹣2.(9分)
点评:
此题考查了学生学以致用的能力,解题的关键是掌握换元思想.
284.(2008•孝感)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x12﹣x22=0时,求m的值.
考点:
根的判别式;根与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
分类讨论.
分析:
(1)若一元二次方程有两实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围;
(2)由x12﹣x22=0得x1+x2=0或x1﹣x2=0;当x1+x2=0时,运用两根关系可以得到﹣2m﹣1=0或方程有两个相等的实根,据此即可求得m的值.
解答:
解:
(1)由题意有△=(2m﹣1)2﹣4m2≥0,
解得
,
∴实数m的取值范围是
;
(2)由两根关系,得根x1+x2=﹣(2m﹣1),x1•x2=m2,
由x12﹣x22=0得(x1+x2)(x1﹣x2)=0,
若x1+x2=0,即﹣(2m﹣1)=0,解得
,
∵
>
,
∴
不合题意,舍去,
若x1﹣x2=0,即x1=x2
∴△=0,由
(1)知
,
故当x12﹣x22=0时,
.
点评:
本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系,利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件.
285.(2009•资阳)已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0.
(1)求证:
不论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当k=2时,用配方法解此一元二次方程.
考点:
根的判别式;解一元二次方程-配方法.菁优网版权所有
专题:
配方法.
分析:
(1)要证明方程总有两个不相等的实数根,只要说明△>0即可.
(2)当k=2时,原方程即x2+2x﹣3=0,首先移项,把常数项移到等号的右边,然后在方程的两边同时加上一次项系数的一半,则方程左边就是完全平方式,右边是0,即可利用开平方法求解.
解答:
(1)证明:
∵a=1,b=k,c=﹣3,
∴△=k2﹣4×1×(﹣3)=k2+12,
∵不论k为何实数,k2≥0,
∴k2+12>0,即△>0,
因此,不论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:
当k=2时,原一元二次方程即x2+2x﹣3=0,
∴x2+2x+1=4,
∴(x+1)2=4,
∴x+1=2或x+1=﹣2,
∴此时方程的根为x1=1,x2=﹣3.
点评:
本题是对根的判别式和配方法的综合试题,考查了对根的判别式与配方法的应用,同时也考查了非负数的性质.
286.(2009•中山)已知:
关于x的方程2x2+kx﹣1=0
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是﹣1,求另一个根及k值.
考点:
解一元二次方程-因式分解法;根与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
计算题;证明题.
分析:
若方程有两个不相等的实数根,则应有△=b2﹣4ac>0,故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况,第二小题可以直接代入x=﹣1,求得k的值后,解方程即可求得另一个根.
解答:
证明:
(1)∵a=2,b=k,c=﹣1
∴△=k2﹣4×2×(﹣1)=k2+8,
∵无论k取何值,k2≥0,
∴k2+8>0,即△>0,
∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根.
解:
(2)把x=﹣1代入原方程得,2﹣k﹣1=0
∴k=1
∴原方程化为2x2+x﹣1=0,
解得:
x1=﹣1,x2=
,即另一个根为
.
点评:
本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
并且本题考查了一元二次方程的解的定义,已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型.
287.(2009•绵阳)已知关于x的一元二次方程x2+2(k﹣1)x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)0可能是方程的一个根吗?
若是,请求出它的另一个根;若不是,请说明理由.
考点:
根的判别式.菁优网版权所有
分析:
(1)方程有两个不相等的实数根,必须满足△=b2﹣4ac>0,由此可以得到关于k的不等式,然后解不等式即可求出实数k的取值范围;
(2)利用假设的方法,求出它的另一个根.
解答:
解:
(1)∵△=[2(k﹣1)]2﹣4(k2﹣1)
=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8,
又∵原方程有两个不相等的实数根,
∴﹣8k+8>0,
解得k<1,
即实数k的取值范围是k<1;
(2)假设0是方程的一个根,
则代入原方程得02+2(k﹣1)•0+k2﹣1=0,
解得k=﹣1或k=1(舍去),
即当k=﹣1时,0就为原方程的一个根,
此时原方程变为x2﹣4x=0,
解得x1=0,x2=4,
所以它的另一个根是4.
点评:
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
288.(2008•中山)已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m﹣1=0(m为实数),
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数并求出此时方程的解.
考点:
根的判别式;根与系数的关系.菁优网版权所有
专题:
计算题;证明题.
分析:
(1)只要证得△=b2﹣4ac>0,就说明方程有两个不相等的实数根.
(2)方程的两根互为相反数,说明m+2=0,从而求得m的值,再代入原方程求出此时方程的解.
解答:
(1)证明:
∵a=1,b=m+2,c=2m﹣1,
∴△=b2﹣4ac=(m+2)2﹣4(2m﹣1)=(m﹣2)2+4
∵(m﹣2)2≥0,
∴(m﹣2)2+4>0
即△>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)解:
∵方程两根互为相反数,
∴两根之和=﹣(m+2)=0,
解得m=﹣2
即当m=﹣2时,方程两根互为相反数.
当m=﹣2时,原方程化为:
x2﹣5=0,
解得:
x1=
,x2=﹣
.
点评:
(1)一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
①△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
②△=0⇔方程有两个相等的实数根;
③△<0⇔方程没有实数根.
(2)解题时注意方程两根互为相反数,说明b=0.
289.(2008•兰州)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a=0.
(1)如果此方程有两个不相等的实数根,求a的取值范围;
(2)如果此方程的