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1、东北三省三校哈尔滨师大附中东北师大附中高三第一次联合模拟考试理科数学试题含评分细则2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .1.已知集合 Ax2 2x，B1 1 则 CR (A B) ( ) xA.( , 1) (3,B.( , 1 3,C.3, )D.( , 1 1,2.已知复数zabi(a,bR)，zi1是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为A.aB.a bC.a 2b 0D.a 2b 03.已知是两个不同的平面，直线 m，下列命题中正确的是（A.若，则 m

2、 B.若，则 mC.若 m ，则 D.若 m ，则4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是 1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 aln3,blog3 e,c log e(注：e为自

3、然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 ADAC =( )2A.6B.9C.12D. 67.如图，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD， FC 平面 ABCD，y 轴对称，则2nbn 为数阵从左至右的 n列，从上到下的 n行共 n2个数的和，则数列 的前 2020 项和为bn二、填空题：本题共第卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在

4、汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f（x） ex ae x在 0,1上不单调，则实数 a的取值范围为 .2*15.数列 an 满足 a1 1，an（2Sn 1） 2Sn2（n 2,n N*），则 an= .16.已知函数 f（x） （x2 a）2

5、3x2 1 b，当 时（从中选出一个作为条件），函数有 .（从中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17.（本小题满分 12 分）在 ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c（）求 B ；（）若 a 2， D为AC的中点，且 BD 3，求 c.18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A1B1C1 ABC 中， BB1 平面 ABC， AB BC， AB 2，BC 1，1（） F 是线段 CC1上一点，且直线 AF 与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 3 ，求二3 面角 F BA1 A 的余弦值 .19.（本小题满分

6、12 分）为了研究 55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中 随机抽取了 100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状， A 症 状：入睡困难； B 症状：醒的太早； C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据 1：出现 A症状人数为 8.5 万，出现 B症状人数为 9.3 万，出现 C 症状人数为 6.5万， 其中含 AB症状同时出现 1.8 万人， AC症状同时出现 1万人， BC症状同时出现 2万人， ABC症状同时出现 0.5 万人； 数据 2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为 5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的

7、人数为 73 万人 .（）依据上述数据试分析 55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（） 根据以上数据完成如下列联表， 并根据所填列联表判断能否有 95%的把握说明失眠 与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如下：P(K 2 k0)0.500.400.250.150.10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K 2 k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828参考公式： K 2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)20.(本小题满分 1

8、2 分)1 2 2 1已知以动点 P为圆心的 P与直线 l: x 相切，与定圆 F：(x 1)2 y2 相24 外切.()求动圆圆心 P的轨迹方程 C ；()过曲线 C上位于 x轴两侧的点 M、N (MN 不与 x轴垂直)分别作直线 l 的垂 线，垂足记为 M 1、 N1 ，直线 l 交x轴于点 A，记 AMM 1、 AMN、 ANN 1的面积分别 为S1、S2、S3 ，且 S22 4S1S3 ，证明：直线 MN过定点.21.(本小题满分 12 分)12已知函数 f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2()设 f (x)为函数 f(x) 的导函数，求函数 f ( x

9、)的单调区间；()若函数 f(x)在 (0, )上有最大值，求实数 a 的取值范围 .二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 .本题满分 10 分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 23.）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .24.选修 4-5：不等式选将 设函数 f（x） x 2 x 3（）求不等式 f （x） 9的解集；（）过关于 x的不等式 f（x） 3m 2 有解，求实数 m的取

10、值范围一模答案、选择题题号123456789101112答案BBDABABDCCDB、填空题1, n 113. 14. 15. an 2 16. 、,n 22n 1 2n 3、均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.解析：（）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，.2分又由 sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ， .4分 得 2cos B sin C sinC 0 ，因 为 0C ， 所 以 sinC0，所以cosB1因 为 0 B ， 所 以22B.6分3uuuruuuruuur

11、（）因为D 为 AC 的中点，所以BABC2BD ， .8分uuuruuur 2 uuur 2所以 （BABC)2 (2BD)2 ，即 a22 cac12，.10 分因为 a 2，解方程 c2 2c 8 0，得 c 4 .12 分18. 解析：(I )连结 AB1交 A1B于 O，连结 EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE /BB1, .1分21又 DC1 BB1 ， DC1/ BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形 DEOC 1为平行四边形，即 ED / /OC1.2分Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE / 平面 C1BA1 .5分 z

12、(II )建立空间直角坐标系 B xyz ，如图过 F 作 FH BB1 ，连结 AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面 BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即 FAH 为直线 AF 与平面 ABB1 A1 所成角， .7分11记为 ， sin , AF 3,AF 3在 Rt ACF 中， 5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1)

13、, A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),ur设平面 BAC1的法向量 m （x, y,z），ur m ur muuurBF 2y uuurBA1 2x3y0 ur，取 y 2,m ( 3,2, 4)0平面 BAA1 的法向量 n(0,0,1) ，ur r|cos m,n|4.11 分29 1因此，二面角F BA1A的余弦值4 29 .2919. 解析：设 A 出现 A症状的人 、 B 示有限集合元素个数） 根据数.10 分.12 分出现 B症状的人、 C 出现 C症状的人（ card 表1 可 知card AI B 1.8,card AI C1,card BI

14、 C2,card AI BI C 0.5，所以cardAUBUC cardA card Bcardcard AIB card AIC card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 10.5201.36.20.540.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万）5712不患病人数（万）1573882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.4分.6分.9分22 100 5 73 15 7k2 4.001 3.841.11 分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . .12 分）设P x,y ，e P半径为 R，

15、则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x21的距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P的轨迹方程 C为 y2 4x.4分）设 M x1, y1N x2, y2 ，则 M12,y11N 12,y2设直线 MN : x ty n t220 代入 y2 4x 中得 y2 4ty 4n 0y1 y2 4t, y1y2 4n 0.6分Q S12 x1y1 、 S3x24S1S31ty1 n 2ty2n12y1y221t y1y2 n2t y1y2n222114nt2 4t 2nn22x12x1 2 y1y24n214n222t 2 n 1 4n2又 S2 11 ny1 y2 11 n

16、y12222222 1 1 2 1 S22 n 16t 2 16n 4 n2 4 2 22S22 4S1S3 8nt2 4 n 1 t 2 2n2y2 4y1y22t 2 n . .10 分211 nn.11 分22 .8分直线 MN 恒过1,0 .12 分221解析：（） f x ln x 1 ax令 h xln x1 ax ，1fxhxa ； .1分x11o 当 a0时，hx 0 ，fx在 1, 上 递 增 ，无减区间hx0.3分2o当a0时，令hx011 x1，a令 h x0x11a所以， fx在1,11 上单调递增， 在11, 上单调递减； .5aa分（）由（）可知，当a 0 时，f

17、x在0, 上递增， f xf 00在 0,上递增，无最大值，不合题意；x所以，当x0时，hx 2 x 1 ax2 x 1 a x1 x 12ax1取t4211，则 t1 ，且 h t t1 2 a t 10aa又因为 h 11h0 0， 所以由零点存在性定理，存在 x01 1,t ，使得aah x00；.11 分当x0, x0时， h x0 ，即 f x 0；当 x x0 ,时， h x0 ，即 f x0；所以，f x 在 0, x0上单调递增， 在 x0 ,上单调递减，在 0,上有最大值 fx0 综上，0a1.12 分在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答

18、时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分 10 分选修 4-4：坐标系与参数方程x 2cos22（）曲线 C 的参数方程为 （其中 为参数）， .2分y sin2因此，曲线 C 的普通方程为 x y2 1， .3分4曲线 D 的极坐标方程为 2 （ sin cos ） 3 10 ，22因此，曲线 D 的直角坐标方程为 x y 3 5 0 .5分）设 M （2cos ,sin ） ，则|MN |的最小值为 M到直线 x y 3 5 0的距离为 d，.7分d |2cos sin 3 5 | | 5sin( ) 3 5 | d 2 2当 sin( ) 1 时， .8分| MN | 最小值为 10 .10 分 选修 4-5：不等式选讲2x 1, x223.解：（） f x5, 2 x3 ， .22x 1, x3当 x 2 时， 2 x1 9 ，解得 x4 ，所以 x 4；当 2 x 3 时， 59 ，解得 x；当 x 3时， 2x 1 9 ，解得 x 5，所以 x 5，.5分综上所述，不等式 f x 9的解集为 x|x 5或 x 4) Q x 2 x 3 x 2 x 3 5.7分当且仅当 x 2 x 30 即 2 x 3时取等）.8分.10 分3m 2 5 m