东北三省三校哈尔滨师大附中东北师大附中高三第一次联合模拟考试理科数学试题含评分细则.docx
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东北三省三校哈尔滨师大附中东北师大附中高三第一次联合模拟考试理科数学试题含评分细则
2020年高三第一次联合模拟考试
理科数学
第Ⅰ卷（选择题共60分）
、选择题：
本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A
x22x
，B
11则CR（AB）（）x
A.（,1）（3,
B.（,1][3,
C.[3,）
D.（,1][1,
2.已知复数
za
bi（a,b
R），
z
i1
是实数，那么复数
z的实部与虚部满足的关系式为
A.a
B.ab
C.a2b0
D.a2b0
3.已知
是两个不同的平面，直线m
，下列命题中正确的是（
A.若
，则m∥
B.若
，则m
C.若m∥
，则∥
D.若m，则
4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：
任取一个正整数n，如
果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）
A.9
B.10
C.11
D.12
5.已知a
ln3,b
log3e,cloge（注
：
e为自然对数的底数）
，则下列关系正确的是（）
A.ba
c
B.cba
C.bca
D.abc
6.已知在边长为3的等边ABC的中，
1
BDDC，则AD
AC=（）
2
A.6
B.9
C.12
D.6
7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED平面ABCD，FC平面ABCD，
y轴对称，则
2n
bn为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为
bn
二、填空题：
本题共
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上
13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的
主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为.
14.已知函数f（x）exaex在［0,1］上不单调，则实数a的取值范围为.
2*
15.数列an满足a11，an（2Sn1）2Sn2（n2,nN*），则an=.
16.已知函数f（x）（x2a）23x21b，当时（从①②③④中选出一个作
为条件），函数有.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）
一）必考题：
共60分.
17.（本小题满分12分）
在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2bcosC2ac
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若a2，D为AC的中点，且BD3，求c.
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱A1B1C1ABC中，BB1平面ABC，ABBC，AB2，BC1，
1
（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二
3面角FBA1A的余弦值.
19.（本小题满分12分）
为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A症状：
入睡困难；B症状：
醒的太早；C症状：
不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：
数据1：
出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：
同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的
人数为73万人.
（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？
（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？
失眠
不失眠
合计
患心脑血管疾病
不患心脑血管疾病
合计
参考数据如下：
P（K2k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P（K2k0）
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：
K2
n（adbc）2
（ab）（cd）（ac）（bd）
20.（本小题满分12分）
1221
已知以动点P为圆心的⊙P与直线l:
x相切，与定圆⊙F：
（x1）2y2相
24外切.
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；
（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记AMM1、AMN、ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S224S1S3，证明：
直线MN过定点.
21.（本小题满分12分）
12
已知函数f（x）（x1）ln（x1）-ax2x（aR）.
2
（Ⅰ）设f（x）为函数f（x）的导函数，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0,）上有最大值，求实数a的取值范围.
二）选考题：
共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.
22.
[选修4-4：
坐标系与参数方程]
23.
Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；
Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求MN的最小值.
24.[选修4-5：
不等式选将]
设函数f（x）x2x3
（Ⅰ）求不等式f（x）9的解集；
（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）3m2有解，求实数m的取值范围
一模答案
、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
D
A
B
A
B
D
C
C
D
B
、填空题
1,n1
13.14.15.an216.①⑥、②
n2
2n12n3
⑤、③⑦、④⑧均可
三、解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析：
（Ⅰ）由正弦定理得2sinBcosC2sinAsinC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯
又由sinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cosBsinCsinC0，
因为0
C，所以sinC
0，
所以
cosB
1．
因为0B，所以
2．
2
B．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯
3
uuur
uuur
uuur
（Ⅱ）因为
D为AC的中点，所以
BA
BC
2BD，⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯
uuur
uuur2uuur2
所以（BA
BC）2（2BD）2，即a2
2c
ac
12，⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0⋯分
因为a2，解方程c22c80，得c4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分
18.解析：
（I）连结AB1交A1B于O，连结EO,OC1
1
QOAOB,AEEB,OEBB1,OE//BB1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯
2
1
又DC1BB1，DC1//BB1,
2
OE//DC1，因此，四边形DEOC1为平行四边形，即ED//OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯
QOC1面C1AB,ED面C1AB,DE//平面C1BA1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z
（II）建立空间直角坐标系Bxyz，如图
过F作FHBB1，连结AH
QBB1面ABC,AB面ABC,ABBB1
QABBC,BCIBB1,AB面CBB1C1
QAB面BAA1B1,面BAA1B1面CBB1C1,
QFH面CBB1C1,FHBB1,面BAA1B1I面CBB1C1BB1,FH面BAA1B1，
即FAH为直线AF与平面ABB1A1所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯
11
记为，sin,AF3,
AF3
在RtACF中，5AC2CF2AF2CF29,CF2,
uuuruuur
F（0,2,1）,A1（2,3,0）,BF（0,2,1）,BA1（2,3,0）,
ur
设平面BAC1的法向量m（x,y,z），
urmurm
uuur
BF2yuuur
BA12x
3y
0ur
，取y2,m（3,2,4）
0
平面BAA1的法向量n
（0,0,1），⋯⋯
urr
|cosm,n
|4
⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
291
因此，二面角
FBA1
A的余弦值
429.⋯
29
19.解析：
设A｛出现A症状的人｝、B示有限集合元素个数）根据数
.1⋯0⋯分
.1⋯2分⋯
出现B症状的人｝、C｛出现C症状的人｝（card表
1可知
cardAIB1.8,cardAIC
1,cardBIC
2,cardAIBIC0.5，所以
card
AUBUCcard
AcardB
card
cardAI
BcardAI
CcardBICcard
=8.5+9.3+6.51.81
0.5
20
1.3
6.2
0.5
4
0.5
1.5
失眠人数（万）
不失眠人数（万）
患病人数（万）
5
7
12
不患病人数（万）
15
73
88
20
80
100
得患病总人数为20万人，比例大约为20%.
⋯⋯.4⋯分⋯
.6⋯分⋯
.9⋯
分
2
2100573157
k24.0013.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
12888020
有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联”.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分
Ⅰ）设Px,y，eP半径为R，则Rx1,PF2
1
R1，所以点P到直线x
2
1的
距离与到F1,0的距离相等，故点P的轨迹方程C为y24x.
.4⋯分⋯
Ⅱ）设Mx1,y1
Nx2,y2，则M1
2,y1
1
N12,y2
设直线MN:
xtynt
22
0代入y24x中得y24ty4n0
y1y24t,y1y24n0.
.6⋯分⋯
QS1
2x1
y1、S3
x2
4S1S3
1
ty1n2
ty2
n
1
2
y1y2
2
1
ty1y2n
2
ty1
y2
n
2
22
1
1
4nt24t2
n
n
2
2
x1
2
x12y1y2
4n
2
1
4n
2
2
2t2n14n
2
又S21
1n
y1y21
1n
y1
22
2
2
2
2
21121S22n16t216n4n
2422
2
S224S1S38nt24n1t22n
2
y24y1y2
2
t2n.⋯⋯⋯
⋯⋯⋯.1⋯0⋯分
2
1
1⋯⋯
nn
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
2
2.⋯⋯
.8⋯分⋯
直线MN恒过
1,0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分
2
21．解析：
（Ⅰ）fxlnx1ax
令hx
lnx
1ax，
1
fx
hx
a；.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯.1⋯分⋯
x
1
1o当a
0时
，h
x0，
f'
x
在1,上递增，
无减
区间
hx
0.⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯.3⋯分⋯
2o当a
0时，令
hx
01
1x
1，
a
令hx
0x
11
a
所以，f
'x在
1,1
1上单调递增，在
1
1,上单调递减；.⋯⋯⋯
⋯⋯⋯.5⋯
a
a
分
（Ⅱ）由
（Ⅰ）可知，当
a0时，
f'x
在
0,上递增，f'x
f'0
0
在0,
上递增，无最大值，
不合题意；
x
所以，
当x
0时，h
x2x1ax
2x1ax
1x1
2ax1
．
取t
4
21
1
，则t
1，且htt
12at1
0．
a
a
又因
为h1
1h
00，所以由零
点存在性定理
，存在x0
11,t，
使得
a
a
hx0
0；
⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1⋯分
当x
0,x0
时，hx
0，即fx0
；当xx0,
时，hx
0，即fx
0；
所以，
fx在0,x0
上单调递增，在x0,
上单调递减，
在0,
上有最大值f
x0．
综上，
0a
1.⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2⋯分
在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在
答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
本题满分10分
选修4-4：
坐标系与参数方程
x2cos
22．（Ⅰ）曲线C的参数方程为（其中为参数），.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯
ysin
2
因此，曲线C的普通方程为xy21，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯
4
曲线D的极坐标方程为2（sincos）310，
22
因此，曲线D的直角坐标方程为xy350．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯
Ⅱ）设M（2cos,sin），则|MN|的最小值为M到直线xy350的距离为d，
.7⋯分⋯
d|2cossin35||5sin（）35|d22
当sin（）1时，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯
|MN|最小值为10．.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0⋯分选修4-5：
不等式选讲
2x1,x
2
23.解：
（Ⅰ）fx
5,2x
3，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯.2⋯
2x1,x
3
当x2时，2x
19，解得x
4，所以x4；
当2x3时，5
9，解得x
；
当x3时，2x19，解得x5，所以x5，
.5⋯分⋯
综上所述，不等式fx9的解集为{x|x5或x4}．
Ⅱ）Qx2x3x2x35
.7⋯分⋯
当且仅当x2x3
0即2x3时取等）
.8⋯分⋯
.1⋯0⋯分
3m25m
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