小升初数学培优之不定方程含答案.docx

1、小升初数学培优之不定方程含答案不定方程同步巩固演练1、把118分成两个自然数A和B，使A为11的倍数，B为17的倍数，则A=_， B=_。2、求下列不定方程的自然数解。（1）3x2y=20 （2）4x+5y=983、有甲、乙两种卡车，甲车每次可装煤6吨，乙车每次可装煤8吨。现在有煤130吨，要求一次运完，而且每一辆卡车都要满载，问需要甲、乙两种卡车各多少辆？4、（北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题）甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？5、（全国小奥赛决赛试题）若干学生搬一堆砖，若每人搬K块，则剩下20块未搬完，若每人搬9块，则最后一名学生只搬6块

2、，那么学生共有多少人？6、（第九届小学生数学报数学竞赛初赛试题）马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。年终，马小富从两家公司共获薪金7620元。问他甲公司找工多少个月？在乙公司兼职多少个月？能力拓展平台1、不定方程2x+3y+7z=23的自然数是_。2、（第五届小学生数学报数学竞赛决赛试题）要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？3、小明用5天时间看完了一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一

3、天多，第三天看的页数是第一二两天看的页数之和，第四天看的页数是第二三两天看的页数之和，第五天看的页数是第三四两天看的页数之和，那么，小明第五天至少看了_页。4、两个自然数，一个除以11，一个除以1991，商的和正好等于1，问有多少种可能？5、今有三部自动换币机，其中第一部总是将一枚硬币换成2枚其他硬币，第二部总是将一枚硬币换成4枚其他硬币，而第三部总是将一枚硬币换成10枚其他硬币，某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚，试问他在第一部换币机上换了几次，在第三部换币机上换了几次？6、（2004年全国小奥赛 决赛试题）某商店甲、乙、丙三种商品的单价分别为2元、3元、5元，某人买走三种商品

4、每种若干件，共付20元，此人发现其中有件商品买多了，退两件这种商品，但营业员只有10元一张的人民币，没有零钱退，此人只好将其它的两种商品购买的数量予以调整，使总价保持不变，这时，此人所购三种物品中，乙 种商品的件数是多少？全讲综合训练1、M、N表示两个自然数，且有：11M+17N=146，那么M=_，N=_。2、大客车有42个座位，小客车有25个座位，现有310位乘客，要使每位乘客都有座位，而且没有空座位，需大、小客车各多少辆？3、甲、乙两人搬砖，甲搬的砖数是16的倍数，乙搬的砖数是21的倍数，两人共搬砖270块，甲、乙两人搬的砖相差多少块？4、现在有3米长和5米长的钢管各6根，安装31米长的

5、管道，问：怎样接用料最省？5、全家每个人喝了一满杯咖啡加牛奶，并且李明喝了全部牛奶（若干杯）的和全部咖啡（若全部咖啡）的，那么全家有几口人？6、已知1999+4=9991，其中，是自然数，那么代表的数是多少？7、箱子里有乒乓球若干个，其中25%是一级品，五分之几是二级品，其余91个是三级品，那么，箱子里有乒乓球多少个？8、某班同学分成若干小组去植树，若每组植树n棵，且n为质数，则剩下树苗20棵；若每组植树9棵，则还缺少2棵树苗，这个班的同学共分成了几组？9、一个学生1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和，问这个学生2005年多少岁？10、一个三位数除以19所得的商等于这个三位

6、数各位数码的和，这种三位数有多少个？11、一个三位数除以17所得的商等于这个三位数字之和，求这个三位数。12、一个盒中有蟋蟀和蜘蛛各若干只，共有46只脚，求蜘蛛和蟋蟀各有几只？13、已知一个四位数是一个完全平方数，并且前两位数字相同，后两位数字也相同，求这个四位数。14、（江苏吴江市小学数学竞赛试题）三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？15、（北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题）小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共10册，已知甲、乙、丙、丁四种书

7、每本价格分别为3元，5元，7元，11元，而且每种书至少买了一本。那么，共有几种不同的购买方法？16、今年，祖父的年龄是小明的6倍。几年后，祖父的年龄将是小明的5倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明的4倍。求：祖父今年是多少岁？17、有甲、乙、丙在种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。现购甲、乙、丙各一件共需多少元？18、在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图，小明像玩跳棋那样从A出发，沿着逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后跳回到A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔；最后他每隔6孔跳

8、一步，正好跳回到A孔，问：这个圆圈上共有多少个孔？19、（希望杯全国数学邀请赛试题）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸出的球中红球最多不超过多少个？20、（北京市第七届迎春杯数学竞赛试题）某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费，如果超过24度，超出的部分按每度2角收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱（用电按整度计算），问甲、乙两家各交了多少电费？21、（韩国汉城国际小学数学奥林匹克竞赛试题）哲洙替爸爸买了50张圣

9、诞节卡片，他先到甲文具店去买了几张500元钱的卡片，剩下的卡片到乙文具店去买了。乙文具店的一张卡片价格是以百元为单位，且小于2000元。哲洙买了50张卡片共花了30400元。请你写出他在乙文具店买的卡片数量的所有可能情况。22、（全国小奥赛总决赛试题）新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36人，统计员提供的学生总数都比实际总人数少180人。原来，他在纪录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。这个学校学生总数最多有多少人？23、（2000年福建福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题）地面上有18堆石子，每堆都是100个石子。随意挑选 17堆，从每堆中各取一个石子放到剩下的一堆里，称为

10、一次操作。下一次操作时，再随意挑选17堆，从每堆再各取一个石子，放到剩下的的一堆里。经过不到40次操作后，发现有一堆石子数是70，另有一堆的石子数在170到190之间，那么这堆石子数的确切数字是多少？请简要说出理由。24、（第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。已知甲班1人捐6册，有2人各捐7册，其余人各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余人各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多捐9册。各班捐书总数在400册与550册之间，问甲、乙、丙三个班各有多少人？25、（2000年全国

11、小学数学奥林匹克竞赛预赛试题）某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费。某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元（用电按照度数收费）？不定方程参考答案同步巩固演练1、 33，85 依题意可设A=11a， B=17b，则有：11a+17b=118a=经试验a=3，b=5，所以A=11a=33，B=17b=852、答案如下：（1） 等（2）5组， 3、有几种情况，如下：设甲、乙两种车分别需x辆、y辆，则有

12、6x+8y=130符合题意的解有： 4、16支或12支设张明买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支，根据题意，列方程7x+3y=60由于3、60均被3整除，因此7x一定能被3整除。当x=3时，y=13，此时3+13=16；当x=6时，y=6，此时6+6=12；当x大于等于9时不满足方程。即 张明用6角钱恰好买两种铅笔16支或12支。5、23人设共有学生x人，依题意可列如下方程：kx+20=9（x1）+6kx+20=9x3x（9k）=2323是一个质数，而9k9，所以x必然等于23，即共有23人搬砖。6、11个月，7个月。设马小富在甲公司打工x个月，在乙公司兼职y个月，这里xy，且x、y都是不大于12的自

13、然数，根据题意，列方程：470x+350y=762047x+35y=762由于35y的末位数字一定是5或0，因此47x的末位数字是7或2，x只能是1或11或6。当x=1或6时，y没有自然数解，不符合题意；当x=11时，y=7。即 马小富在甲公司打工11个月，在乙公司兼职7个月。能力拓展平台1、答案 解：显然z只能取1，2，3。当z=1时，2x+3y=16，其自然数解为x=2，y=4；x=5，y=2。当z=2时，2x+3y=9，其自然数解为x=3，y=1。当z=3时，2x+3y=2，显然无自然数解。所以原方程的自然数解为 2、7段，8段要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，但必须符合：（1

14、）两种铜管都有；（2）两种铜管长度之和加上损耗部分的长度应等于1米。设38毫米、90毫米的铜管分别锯x段、y段，根据题意，列方程： 38x+90y+（x+y1）=100039x+91y=1001由于39、91、1001有公因数13，方程两边同除以13得 3x+7y=77y=即 y=11要使损耗最少，应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说x尽可能小。又x、y均是自然数，可得 x=7，y=8。即 只有当锯得38毫米的铜管为7段，90毫米的铜管为8段时，所损耗的铜管才能最少。注：列出方程后，要选用简便算法，本题是先把1001、39、91分解质因数后约分，然后把y用x来表示，利用y是自然数，x必须能被

15、7整除来求解。3、 84页设小明第一天看了a页，第二天看了b页，则前五天看的页数依次为：a，b，a+b，a+2b，2a+3d。上面各个数的和是200，得到5a+7b=200因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数，因为ba，所以上式只有两组解：b=20，a=12；b=25，a=5将这两组解分别代入2a+3b，得到第五天至少看了84页。4、10种设两个正整数是a和b，由题意有：，化简得 181a+b=1991，b应是181的倍数，设b=181b1，则181a+181b1=1991，a+b1=11。a、b1都是正整数，有10组解，它们均满足题意。故有10种可能。5、8次设在第一部、第二部、第

16、三部换币机上分别换了x、y、Z次硬币，则有x+y+Z=12。另一方面，每当在第一部机器上换一次可使硬币增加一枚，相应地，每当在另外两部机器一换一次，可使硬币分别增加3枚和9枚，因此有：x+3y+9Z=80，解得：x=y=2，Z=8。6、 1件设此人购买甲、乙、丙三种商品的件数分别为a件、b件、c件，依题意有：2a+3b+5c=20由于此人退的两件商品的价钱不是10元，所以退回的商品单价不为5，退回的是甲种或乙种商品，故有C3（若c=3，则a=b=1，退回的必须是丙种商品）。经试验，满足 2a+3b+5c=20的正整数解有三组： 结合题意，可知原来三种商品分别买3件，3件，1件，而现在购买三种商

17、品的件数分别为：6件，1件，1件。全讲综合训练1、44，102设一个数为11x，另一个数为17y，由题意得：11x+17y=146，x= 因为x、y必须是自然数，解得x=4，y=6，符合题意，所以这两个整数为44和102。2、5辆、4辆设需大客车x辆，小客车y辆。则有：42x+25y=310，整理得：y= ，解得x=5，y=4。3、18块设甲搬砖16x块，乙搬砖21y块，则：16x+21y=270，解得自然数解：x=9，y=6。即甲搬砖169=144（块），乙搬砖216=126（块），甲比乙多搬144126=18（块）。4、2米，5米设3米长用x根，5米长的用y根。根据题意有：3x+5y=31

18、，x=，当y=2时，x=76，不符合题意，舍去。当y=5时，x=2，符合题意。5、 5人设全家共喝x杯牛奶和y杯咖啡，得，所以共喝了2+3=5（杯），因此，全家有5口人。6、1998是小于4的奇数，只需检验=1或3两种情况即可。7、260设 箱子里共有n个乒乓球，二级品占，依题意得，n25%+n+91=n整理得 n（154a）=2091 易知 154a0，所以a3。将a=1，2，3，代入知，只有a=2符合要求，此时 n=260（个）8、119、33岁设他出生于年，则有：1991=9+x+y，91（10x+y）=10+x+y，11x+2y=81。解得：x=7，y=2。即这个同学出生于1972年，

19、他2005年的年龄是20051972=33（岁）。10、有11个设这个三位数为，a、b、c均为09的整数，且a0，于是：19（a+b+c）=100a+10b+c，即：81a=9b+18c，9a=b+2c，把b=0、1、2、39分10种情况讨论，可得此方程的11个解。这11个解组成以下11个三位数：114，133，152，171，190，209，228，247，266，285，399。11、153设这个三位数为，a、b、c均为09的整数，且a0，于是17（a+b+c）=100a+10b+c，化简得：83a=7b+16c，当a=1，b=5，c=3是本题的唯一解。所求三位数是153。12、如下：设蟋

20、蟀有x只，蜘蛛有y只，则：6x+8y=46 即3x+4y=23。解得： 13、7744设这个四位数前两个相同的数字为x，后两个相同的数字为y，且这个四位数为一个自然数n的平方，从而得1000x+100x+10y+y= n2 所以11（100x+y）= n2，由此可知n中有11这个因数，此四位数则应有两个因数11，因此100x+y中还应有一个因数11。由100x+y=99x+（x+y）可知x+y应是11的倍数，（即x+y=11），那么所求的数就是：=11（99x+11）=121（9x+1），因为是一个完全平方数，所以（9x+1）也应是一个完全平方数，只有当x=7时，9x+1=64是完全平方数，由

21、x=7，x+y=11得y=4，所以所求的数为7744。14、如下：设乙车有x箱苹果，则甲车有（x+4）箱，丙车有（x4）箱苹果；乙车每箱有y个苹果，则甲车每箱有（y3）个，丙车每箱（y+5）个苹果。化简，得+，得2x=30，x=15将x=15代入，得y=15 x+4=19，y3=12； x4=11，y+5=20答：甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个。15、如下：设买甲种书a本，乙种书b，丙种书c本，丁种书d本。则1 3，得2b+4c+8d=40即 b+2c+4d=20 从看出d当d=4时，c=1，b=2，a=3当d=3时，c=2，b=4，a=1或c=3

22、，b=2，a=2当d=2时，c=5，b=2，a=1当d=1时，无解。因此，有以下四种不同的购买方法：甲乙丙丁3214142322331252即共有4种不同的购买方法。16、72岁设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。y年以后，祖父的年龄是小明的5倍，于是有：5（x+y）=6x+y设又过z年以后，祖父的年龄是小明的4倍，于是有：4（x+y+z）=6x+y+z所以得方程组：化简得：由（3）得y=，代入（4）得 2x=3+3z即 z=因为经过的年数只能取自然数，所以x可取12，24，36；因为今年祖父的年龄为6x岁，当x=12时，6x=72；当x=24时，6x=144，这不可能，以后更大，更无可能。所

23、以只有当x=12时，6x=72是可能的。17、105元设购甲、乙、丙一件各需x 元，y元，z元。根据题意列方程组，得即 （1）3（2）2，得x+y+z=31534202=105即 现购甲、乙、丙各一件共需105元。18、91个每隔2、4、6孔跳一步，实际分别跳3、5、7孔；每步跳3、5孔跳到B孔，即总孔数除以3和5分别余1，因为3和5的最小公倍数为15，所以就是 总孔 数除以15余1。每步跳7孔，正好回到A孔，即总孔数能被7整除。设所求总孔数为15x+1，总孔数除以7的商为y，于是得方程15x+1=7y即 y=因为步数为自然数，而 y100，所以，只有当x=6时，y=26，总孔数为156+1=

24、91（或713=91），才满足题意。即 这个圆圈上共有91个孔。19、4个设有蓝球x个，黄球y个，则红球有（10xy）个，根据题意，列方程：3x+2y+（10xy）=212x+y=11则x可取1、2、3、4、5，y分别取9、7、5、3、1，对应（10xy）的值为0、1、2、3、4。因此红球的个数最多不超过4个。20、2.76元，1.8元若两家都没超过24度或都超过24度，则甲家多交的电费应该分别是9和20的倍数。但96不是9和20的倍数，设甲家用电x度，乙家用电y度，这里x大于24，y小于24，且大于0，根据题意，列方程：249+20（x24）=9y+96 20x=360+9y由于20x、36

25、0都能被20整除，因此y是20的倍数，y只能取20或0。可求得x=27或18。又1824，不符合题意，舍去。因此，乙家交电费：209=180（分）=1.8(元)甲家交电费：180+96=276（分）=2.76(元)21、设哲洙在乙文具店买了x张卡片，每张价格为y100元。由花钱总数可列方程，为500（50x）+100yx=3040025000500x+100xy=30400100xy500x=5400x（y5）=54从上式可看出x与（y5）都是54的约数，且x50，那么x与y的关系如下表：X123691827y55427189632因为乙文具店一张卡片价格小于2000元，推知y小于200010

26、0=20，那么y515。这时x的取值是6、9、18、27。即 哲洙在乙文具店买卡片的数量有买6、9、18、27张的可能。22、972人设这个学校的学生总数为，则。100a+10b+c（100b+10a+c）=180，得ab=2。这个学校人数总数可能是20，31，42，53，64，75，86，97。又知学生总数是36的倍数，直接除以36，或想这些数是4、9的倍数，得出648，756，864，972。最多有972人。23、178个有一堆石子数70，共减少了10070=30个石子，如果有从其它17堆拿石子放入这堆的操作，那么至少操作了100+1770=47次，与不到40次矛盾。所以这堆石子每次都要拿

27、出1个石子，共操作了30次。另一堆石子数在170190之间，设这30次操作中有n 次是从17堆石子放入这堆中，有（30n）次是从这堆拿出石子。拿出（30n）个石子。这堆石子数为100（30n）+17n=70+18n，17070+18n190，当n=6时，70+18n=178，这堆石子178个。24、51人，53人，49人。设甲班a人，乙班b人，丙班c人，则甲班捐书6+72+11（a3）=11a13。乙班捐书6+83+10（b4）=10b10，丙班捐书42+76+9（c8）=9c22。由甲班比乙班多28本，乙班比丙班多101本，得10b10=101+9c22代入（1）得11a13（101+9c2

28、2）=28。化简，得10b9c=120。因为40011a13550，40010b10550，4009c22550解得 a=51，b=53，c=49。25、24.05元设乙用电x度，丙用电y度。其中x10，y10，则有0.45(10y)+0.8(x10)=3.75 4.50.45y+0.8x8=3.750.8x0.45y=7.2580x45y=72516x9y=145解得 x=13,y=7乙用户用电13度,丙用户用电7度.丙交电费：0.457=3.15(元)乙交电费：3.15+3.75=6.90(元)甲交电费：6.90+7.10=14.00(元)三户共交电费：3.15+6.90+14.00=24.05(元)