小升初数学培优之不定方程含答案.docx
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小升初数学培优之不定方程含答案
不定方程
[同步巩固演练]
1、把118分成两个自然数A和B,使A为11的倍数,B为17的倍数,则
A=__________________,B=__________________。
2、求下列不定方程的自然数解。
(1)3x-2y=20
(2)4x+5y=98
3、有甲、乙两种卡车,甲车每次可装煤6吨,乙车每次可装煤8吨。
现在有煤130吨,要求一次运完,而且每一辆卡车都要满载,问需要甲、乙两种卡车各多少辆?
4、(北京市第三届小学生迎春杯数学竞赛决赛试题)
甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支,问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支?
5、(全国小奥赛决赛试题)
若干学生搬一堆砖,若每人搬K块,则剩下20块未搬完,若每人搬9块,则最后一名学生只搬6块,那么学生共有多少人?
6、(第九届《小学生数学报》数学竞赛初赛试题)
马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他薪金350元。
年终,马小富从两家公司共获薪金7620元。
问他甲公司找工多少个月?
在乙公司兼职多少个月?
[能力拓展平台]
1、不定方程2x+3y+7z=23的自然数是________。
2、(第五届《小学生数学报》数学竞赛决赛试题)
要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管,每锯一次都要损耗1毫米铜管,那么,只有当锯得38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时,所损耗的铜管才能最少?
3、小明用5天时间看完了一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一二两天看的页数之和,第四天看的页数是第二三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三四两天看的页数之和,那么,小明第五天至少看了______页。
4、两个自然数,一个除以11,一个除以1991,商的和正好等于1,问有多少种可能?
5、今有三部自动换币机,其中第一部总是将一枚硬币换成2枚其他硬币,第二部总是将一枚硬币换成4枚其他硬币,而第三部总是将一枚硬币换成10枚其他硬币,某人共进行了12次换币,便将一枚硬币换成了81枚,试问他在第一部换币机上换了几次,在第三部换币机上换了几次?
6、(2004年全国小奥赛决赛试题)
某商店甲、乙、丙三种商品的单价分别为2元、3元、5元,某人买走三种商品每种若干件,共付20元,此人发现其中有件商品买多了,退两件这种商品,但营业员只有10元一张的人民币,没有零钱退,此人只好将其它的两种商品购买的数量予以调整,使总价保持不变,这时,此人所购三种物品中,乙种商品的件数是多少?
[全讲综合训练]
1、M、N表示两个自然数,且有:
11M+17N=146,那么M=_________,N=____________。
2、大客车有42个座位,小客车有25个座位,现有310位乘客,要使每位乘客都有座位,而且没有空座位,需大、小客车各多少辆?
3、甲、乙两人搬砖,甲搬的砖数是16的倍数,乙搬的砖数是21的倍数,两人共搬砖270块,甲、乙两人搬的砖相差多少块?
4、现在有3米长和5米长的钢管各6根,安装31米长的管道,问:
怎样接用料最省?
5、全家每个人喝了一满杯咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干杯)的和全部咖啡(若全部咖啡)的,那么全家有几口人?
6、已知1999×△+4×□=9991,其中△,□是自然数,那么□代表的数是多少?
7、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品,那么,箱子里有乒乓球多少个?
8、某班同学分成若干小组去植树,若每组植树n棵,且n为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗,这个班的同学共分成了几组?
9、一个学生1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和,问这个学生2005年多少岁?
10、一个三位数除以19所得的商等于这个三位数各位数码的和,这种三位数有多少个?
11、一个三位数除以17所得的商等于这个三位数字之和,求这个三位数。
12、一个盒中有蟋蟀和蜘蛛各若干只,共有46只脚,求蜘蛛和蟋蟀各有几只?
13、已知一个四位数是一个完全平方数,并且前两位数字相同,后两位数字也相同,求这个四位数。
14、(江苏吴江市小学数学竞赛试题)
三车苹果,甲车比乙车多4箱,乙车比丙车多4箱,甲车比乙车每箱少3个苹果,乙车比丙车每箱少5个苹果,甲车比乙车总共多3个苹果,乙车比丙车共多5个苹果,这三车苹果共有多少个?
15、(北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试题)
小明用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书,共10册,已知甲、乙、丙、丁四种书每本价格分别为3元,5元,7元,11元,而且每种书至少买了一本。
那么,共有几种不同的购买方法?
16、今年,祖父的年龄是小明的6倍。
几年后,祖父的年龄将是小明的5倍。
又过几年以后,祖父的年龄将是小明的4倍。
求:
祖父今年是多少岁?
17、有甲、乙、丙在种货物,若购甲3件,乙7件,丙1件共需315元。
若购甲4件,乙10件,丙1件共需420元。
现购甲、乙、丙各一件共需多少元?
18、在一个圆圈上有几十个孔(不到100个),如图,小明像玩跳棋那样从A出发,沿着逆时针方向每隔几个孔跳一步,希望一圈以后跳回到A孔,他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔;他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔;最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔,问:
这个圆圈上共有多少个孔?
19、(希望杯全国数学邀请赛试题)
一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球,红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?
20、(北京市第七届迎春杯数学竞赛试题)
某乡水电站发电了,电费规定是:
如果每月用电不超过24度,就按每度9分钱收费,如果超过24度,超出的部分按每度2角收费,已知在某月中,甲家比乙家多交了电费9角6分钱(用电按整度计算),问甲、乙两家各交了多少电费?
21、(韩国汉城国际小学数学奥林匹克竞赛试题)
哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片,他先到甲文具店去买了几张500元钱的卡片,剩下的卡片到乙文具店去买了。
乙文具店的一张卡片价格是以百元为单位,且小于2000元。
哲洙买了50张卡片共花了30400元。
请你写出他在乙文具店买的卡片数量的所有可能情况。
22、(全国小奥赛总决赛试题)
新世纪学校的学生总数是一个三位数,平均每个班36人,统计员提供的学生总数都比实际总人数少180人。
原来,他在纪录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。
这个学校学生总数最多有多少人?
23、(2000年福建福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)
地面上有18堆石子,每堆都是100个石子。
随意挑选17堆,从每堆中各取一个石子放到剩下的一堆里,称为一次操作。
下一次操作时,再随意挑选17堆,从每堆再各取一个石子,放到剩下的的一堆里。
经过不到40次操作后,发现有一堆石子数是70,另有一堆的石子数在170到190之间,那么这堆石子数的确切数字是多少?
请简要说出理由。
24、(第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题)
甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。
已知甲班1人捐6册,有2人各捐7册,其余人各捐11册;乙班有1人捐6册,3人各捐8册,其余人各捐10册;丙班有2人各捐4册,6人各捐7册,其余人各捐9册。
已知甲班捐书总数比乙班多28册,乙班比丙班多捐9册。
各班捐书总数在400册与550册之间,问甲、乙、丙三个班各有多少人?
25、(2000年全国小学数学奥林匹克竞赛预赛试题)
某区对用电的收费标准规定如下:
每月每户用电不超过10度的部分,按每度0.45元收费;超过10度而不超过20度的部分,按每度0.80元收费;超过20度的部分按每度1.50元收费。
某月甲用户比乙用户多交电费7.10元,乙用户比丙用户多交3.75元,那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元(用电按照度数收费)?
不定方程参考答案
[同步巩固演练]
1、33,85
依题意可设A=11a,B=17b,则有:
11a+17b=118
a=
经试验a=3,b=5,所以A=11a=33,B=17b=85
2、答案如下:
(1)等
(2)5组,
3、有几种情况,如下:
设甲、乙两种车分别需x辆、y辆,则有
6x+8y=130
符合题意的解有:
4、16支或12支
设张明买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支,根据题意,列方程
7x+3y=60
由于3、60均被3整除,因此7x一定能被3整除。
当x=3时,y=13,此时3+13=16;
当x=6时,y=6,此时6+6=12;
当x大于等于9时不满足方程。
即张明用6角钱恰好买两种铅笔16支或12支。
5、23人
设共有学生x人,依题意可列如下方程:
kx+20=9×(x-1)+6
kx+20=9x-3
x×(9-k)=23
23是一个质数,而9-k≤9,所以x必然等于23,即共有23人搬砖。
6、11个月,7个月。
设马小富在甲公司打工x个月,在乙公司兼职y个月,这里x>y,且x、y都是不大于12的自然数,根据题意,列方程:
470x+350y=7620
47x+35y=762
由于35y的末位数字一定是5或0,因此47x的末位数字是7或2,x只能是1或11或6。
当x=1或6时,y没有自然数解,不符合题意;
当x=11时,y=7。
即马小富在甲公司打工11个月,在乙公司兼职7个月。
[能力拓展平台]
1、答案
解:
显然z只能取1,2,3。
当z=1时,2x+3y=16,其自然数解为x=2,y=4;x=5,y=2。
当z=2时,2x+3y=9,其自然数解为x=3,y=1。
当z=3时,2x+3y=2,显然无自然数解。
所以原方程的自然数解为
2、7段,8段.
要使损耗最少,应尽可能多锯90毫米长的铜管,但必须符合:
(1)两种铜管都有;
(2)两种铜管长度之和加上损耗部分的长度应等于1米。
设38毫米、90毫米的铜管分别锯x段、y段,根据题意,列方程:
38x+90y+(x+y-1)=1000
39x+91y=1001
由于39、91、1001有公因数13,方程两边同除以13得
3x+7y=77
y=
即y=11-
要使损耗最少,应尽可能多锯90毫米长的铜管,也就是说x尽可能小。
又x、y均是自然数,可得
x=7,y=8。
即只有当锯得38毫米的铜管为7段,90毫米的铜管为8段时,所损耗的铜管才能最少。
注:
列出方程后,要选用简便算法,本题是先把1001、39、91分解质因数后约分,然后把y用x来表示,利用y是自然数,x必须能被7整除来求解。
3、84页
设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为:
a,b,a+b,a+2b,2a+3d。
上面各个数的和是200,得到
5a+7b=200
因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数,因为b>a,所以上式只有两组解:
b=20,a=12;b=25,a=5
将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页。
4、10种
设两个正整数是a和b,由题意有:
,化简得181a+b=1991,b应是181的倍数,设b=181b1,则181a+181b1=1991,a+b1=11。
a、b1都是正整数,有10组解,它们均满足题意。
故有10种可能。
5、8次
设在第一部、第二部、第三部换币机上分别换了x、y、Z次硬币,则有x+y+Z=12。
另一方面,每当在第一部机器上换一次可使硬币增加一枚,相应地,每当在另外两部机器一换一次,可使硬币分别增加3枚和9枚,因此有:
x+3y+9Z=80,解得:
x=y=2,Z=8。
6、1件
设此人购买甲、乙、丙三种商品的件数分别为a件、b件、c件,依题意有:
2a+3b+5c=20
由于此人退的两件商品的价钱不是10元,所以退回的商品单价不为5,退回的是甲种或乙种商品,故有C<3(若c=3,则a=b=1,退回的必须是丙种商品)。
经试验,满足2a+3b+5c=20的正整数解有三组:
结合题意,可知原来三种商品分别买3件,3件,1件,而现在购买三种商品的件数分别为:
6件,1件,1件。
[全讲综合训练]
1、44,102
设一个数为11x,另一个数为17y,由题意得:
11x+17y=146,x=因为x、y必须是自然数,解得x=4,y=6,符合题意,所以这两个整数为44和102。
2、5辆、4辆
设需大客车x辆,小客车y辆。
则有:
42x+25y=310,整理得:
y=,解得x=5,y=4。
3、18块
设甲搬砖16x块,乙搬砖21y块,则:
16x+21y=270,解得自然数解:
x=9,y=6。
即甲搬砖16×9=144(块),乙搬砖21×6=126(块),甲比乙多搬144-126=18(块)。
4、2米,5米
设3米长用x根,5米长的用y根。
根据题意有:
3x+5y=31,x=,当y=2时,x=7>6,不符合题意,舍去。
当y=5时,x=2,符合题意。
5、5人
设全家共喝x杯牛奶和y杯咖啡,得,所以共喝了2+3=5(杯),因此,全家有5口人。
6、1998
△是小于4的奇数,只需检验△=1或3两种情况即可。
7、260
设箱子里共有n个乒乓球,二级品占,依题意得,
n×25%+n+91=n
整理得n(15-4a)=20×91①
易知15-4a>0,所以a≤3。
将a=1,2,3,代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个)
8、11
9、33岁
设他出生于年,则有:
1991-=9+x+y,91-(10x+y)=10+x+y,11x+2y=81。
解得:
x=7,y=2。
即这个同学出生于1972年,他2005年的年龄是2005-1972=33(岁)。
10、有11个
设这个三位数为,a、b、c均为0~9的整数,且a≠0,于是:
19(a+b+c)=100a+10b+c,即:
81a=9b+18c,9a=b+2c,把b=0、1、2、3……9分10种情况讨论,可得此方程的11个解。
这11个解组成以下11个三位数:
114,133,152,171,190,209,228,247,266,285,399。
11、153
设这个三位数为,a、b、c均为0~9的整数,且a≠0,于是17(a+b+c)=100a+10b+c,化简得:
83a=7b+16c,当a=1,b=5,c=3是本题的唯一解。
所求三位数是153。
12、如下:
设蟋蟀有x只,蜘蛛有y只,则:
6x+8y=46即3x+4y=23。
解得:
13、7744
设这个四位数前两个相同的数字为x,后两个相同的数字为y,且这个四位数为一个自然数n的平方,从而得1000x+100x+10y+y=n2所以11×(100x+y)=n2,由此可知n中有11这个因数,此四位数则应有两个因数11,因此100x+y中还应有一个因数11。
由100x+y=99x+(x+y)可知x+y应是11的倍数,(即x+y=11),那么所求的数就是:
=11×(99x+11)=121×(9x+1),因为是一个完全平方数,所以(9x+1)也应是一个完全平方数,只有当x=7时,9x+1=64是完全平方数,由x=7,x+y=11得y=4,所以所求的数为7744。
14、如下:
设乙车有x箱苹果,则甲车有(x+4)箱,丙车有(x-4)箱苹果;乙车每箱有y个苹果,则甲车每箱有(y-3)个,丙车每箱(y+5)个苹果。
化简,得
①+②,得2x=30,x=15
将x=15代入①,得y=15
x+4=19,y-3=12;
x-4=11,y+5=20
答:
甲车运19箱,每箱12个;乙车运15箱,每箱15个;丙车运11箱,每箱20个。
15、如下:
设买甲种书a本,乙种书b,丙种书c本,丁种书d本。
则
1-②×3,得
2b+4c+8d=40
即b+2c+4d=20③
从③看出d<
当d=4时,c=1,b=2,a=3
当d=3时,c=2,b=4,a=1或c=3,b=2,a=2
当d=2时,c=5,b=2,a=1
当d=1时,无解。
因此,有以下四种不同的购买方法:
甲
乙
丙
丁
3
2
1
4
1
4
2
3
2
2
3
3
1
2
5
2
即共有4种不同的购买方法。
16、72岁
设今年小明x岁,那么今年祖父6x岁。
y年以后,祖父的年龄是小明的5倍,于是有:
5(x+y)=6x+y
设又过z年以后,祖父的年龄是小明的4倍,于是有:
4(x+y+z)=6x+y+z
所以得方程组:
化简得:
由(3)得y=,代入(4)得
2x=3×+3z
即z=
因为经过的年数只能取自然数,所以x可取12,24,36……;
因为今年祖父的年龄为6x岁,当x=12时,6x=72;当x=24时,6x=144,这不可能,以后更大,更无可能。
所以只有当x=12时,6x=72是可能的。
17、105元
设购甲、乙、丙一件各需x元,y元,z元。
根据题意列方程组,得
即
(1)×3-
(2)×2,得
x+y+z=315×3-420×2=105
即现购甲、乙、丙各一件共需105元。
18、91个
每隔2、4、6孔跳一步,实际分别跳3、5、7孔;每步跳3、5孔跳到B孔,即总孔数除以3和5分别余1,因为3和5的最小公倍数为15,所以就是总孔数除以15余1。
每步跳7孔,正好回到A孔,即总孔数能被7整除。
设所求总孔数为15x+1,总孔数除以7的商为y,于是得方程
15x+1=7y
即y=
因为步数为自然数,而y<100,所以,只有当x=6时,y=2×6,总孔数为15×6+1=91(或7×13=91),才满足题意。
即这个圆圈上共有91个孔。
19、4个
设有蓝球x个,黄球y个,则红球有(10-x-y)个,根据题意,列方程:
3x+2y+(10-x-y)=21
2x+y=11
则x可取1、2、3、4、5,y分别取9、7、5、3、1,对应(10-x-y)的值为0、1、2、3、4。
因此红球的个数最多不超过4个。
20、2.76元,1.8元
若两家都没超过24度或都超过24度,则甲家多交的电费应该分别是9和20的倍数。
但96不是9和20的倍数,设甲家用电x度,乙家用电y度,这里x大于24,y小于24,且大于0,根据题意,列方程:
24×9+20(x-24)=9y+96
20x=360+9y
由于20x、360都能被20整除,因此y是20的倍数,y只能取20或0。
可求得x=27或18。
又18<24,不符合题意,舍去。
因此,乙家交电费:
20×9=180(分)=1.8(元)
甲家交电费:
180+96=276(分)=2.76(元)
21、设哲洙在乙文具店买了x张卡片,每张价格为y×100元。
由花钱总数可列方程,为
500×(50-x)+100y×x=30400
25000-500x+100xy=30400
100xy-500x=5400
x(y-5)=54
从上式可看出x与(y-5)都是54的约数,且x<50,那么x与y的关系如下表:
X
1
2
3
6
9
18
27
y-5
54
27
18
9
6
3
2
因为乙文具店一张卡片价格小于2000元,推知y小于2000÷100=20,那么y-5<15。
这时x的取值是6、9、18、27。
即哲洙在乙文具店买卡片的数量有买6、9、18、27张的可能。
22、972人
设这个学校的学生总数为,则。
100a+10b+c-(100b+10a+c)=180,得a-b=2。
这个学校人数总数可能是20□,31□,42□,53□,64□,75□,86□,97□。
又知学生总数是36的倍数,直接除以36,或想这些数是4、9的倍数,得出648,756,864,972。
最多有972人。
23、178个
有一堆石子数70,共减少了100-70=30个石子,如果有从其它17堆拿石子放入这堆的操作,那么至少操作了100+17-70=47次,与不到40次矛盾。
所以这堆石子每次都要拿出1个石子,共操作了30次。
另一堆石子数在170~190之间,设这30次操作中有n次是从17堆石子放入这堆中,有(30-n)次是从这堆拿出石子。
拿出(30-n)个石子。
这堆石子数为100-(30-n)+17n=70+18n,170≤70+18n≤190,当n=6时,70+18n=178,这堆石子178个。
24、51人,53人,49人。
设甲班a人,乙班b人,丙班c人,则甲班捐书6+7×2+11(a-3)=11a-13。
乙班捐书6+8×3+10(b-4)=10b-10,
丙班捐书4×2+7×6+9(c-8)=9c-22。
由甲班比乙班多28本,乙班比丙班多101本,得
10b-10=101+9c-22代入
(1)得11a-13-(101+9c-22)=28。
化简,得10b-9c=120。
因为400<11a-13<550,
400<10b-10<550,400<9c-22<550
解得a=51,b=53,c=49。
25、24.05元
设乙用电x度,丙用电y度。
其中x>10,y<10,则有
0.45×(10-y)+0.8×(x-10)=3.75
4.5-0.45y+0.8x-8=3.75
0.8x-0.45y=7.25
80x-45y=725
16x-9y=145
解得x=13,y=7
乙用户用电13度,丙用户用电7度.
丙交电费:
0.45×7=3.15(元)
乙交电费:
3.15+3.75=6.90(元)
甲交电费:
6.90+7.10=14.00(元)
三户共交电费:
3.15+6.90+14.00=24.05(元)