历届高考中的圆锥曲线与方程解答题选讲.docx

1、历届高考中的圆锥曲线与方程解答题选讲历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲1（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由2.（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （）求椭圆C的方程； （）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.3（2007北京文、理)如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上（）求边所在直线的方程；（）求矩形

2、外接圆的方程；（）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程4.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且。 （1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。5（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.6.（2007全国文、理）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切（1）求圆O的方程 （2）圆O与x轴相交于A、B

3、两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。7.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.8.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.()过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:（）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.9.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x21上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB

4、的方程；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？10（2006全国卷理）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量.求：()点M的轨迹方程；()的最小值。11、（2007江苏）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，（1）若，求的值； (2)若为线段的中点,求证：为此抛物线的切线；(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。12（2007山东文、理）已知椭圆的中

5、心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1 （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲参考答案1（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线2相交于A、B两点（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由1.解（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与

6、抛物线相交于点A(3,)、B(3,).=3；当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由得又 ， ，综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(1,0),而不过点(3,

7、0).2.（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （）求椭圆C的方程； （）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.2.解：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4, 所以椭圆C的方程为1.()解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36

8、k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称.， 所以 解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) () 解法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)3（2007北京文、理)如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上（）求边所在直线

9、的方程；（）求矩形外接圆的方程；（）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程3解：（）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为即（）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以， 即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距 所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为4.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且。 （1）求动点P的轨迹C的

10、方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，求的值。4本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力（）解法一：设点，则，由得：，化简得（）解法二：由得：，y，所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：（）设直线的方程为：设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，5（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（1）求双曲线C的方程； （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.5.解：（）设双曲线方程为 由已知得故双

11、曲线C的方程为（）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则， 而于是 由、得 故k的取值范围为6.（2007全国文、理）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：相切（1）求圆O的方程 （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。6解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即得圆的方程为（2）不妨设由即得设，由成等比数列，得，即由于点在圆内，故由此得所以的取值范围为7.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标

12、原点），求直线的斜率的取值范围.7.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得： 由得：或又又，即 故由、得或8.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.()过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:（）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.8.本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的

13、切点和焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力，解：（）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为 即因为点P（0，-4）在切线上，所以所以切线方程为y=2x-4.()设由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k0.因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.点A，C的坐标满足方程组 消去y，得由根与系数的关系知同理可求得当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.9. （2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x21上的两点，点N(1,2)是线段AB的中点(1)求直线AB的方程；

14、(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？9.解：(1)依题意，可设直线方程为yk(x1)2代入x21，整理得 (2k)x22k(2k)x(2k)220 记A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是方程的两个不同的实数根，所以2k20,且x1x2由N(1,2)是AB中点得(x1x2)1 k(2k)2k2解得k1，所易知霰AB的方程为yx1.(2)将k1代入方程得x22x30解出 x11,x23由yx1得y10,y24即A、B的坐标分别为(1,0)和(3，4)由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y(x1)2即 y3x 代入双曲线方程，整理得 x26x110 记C(x3,y3),D(x4,y4)，以及CD中点为M(x0,y0)，则x3、x4是方程的两个的实数根，所以 x3x46, x3x411从而 x0(x3x4)3,y03x06 |CD| |MC|MD|CD|2又|MA|MB|即A、