历届高考中的圆锥曲线与方程解答题选讲.docx

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历届高考中的圆锥曲线与方程解答题选讲

历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲

1．（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：

“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出

（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

2.（2006北京文）椭圆C:

的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

3．（2007北京文、理）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

（）求边所在直线的方程；

（）求矩形外接圆的方程；

（）若动圆过点，且与矩形的

外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

4.（2007福建理）如图，已知点F（1，0），直线l：

x＝－1，P为平面

上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，

已知，，求的值。

5．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

（其中O为原点）.求k的取值范围.

6.（2007全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：

相切

（1）求圆O的方程

（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。

7.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为

坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

8.（2007安徽文）设F是抛物线G:

x2=4y的焦点.（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:

（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点

C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

9.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N（1,2）是线段AB的中点

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

10．（2006全国Ⅰ卷理）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B,且向量.求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。

11、（2007江苏）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

（1）若，求的值；

（2）若为线段的中点,求证：

为此抛物线的切线；

（3）试问

（2）的逆命题是否成立？

说明理由。

12．（2007山东文、理）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标．

历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲

参考答案

1．（2006上海理）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

（1）求证：

“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（2）写出

（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

1.[解]

（1）设过点T（3,0）的直线交抛物线y2=2x于点A（x1,y1）、B（x2,y2）.

当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A（3,）、B（3,－）.

∴=3；

当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

由得

又∵，∴，

综上所述，命题“如果直线过点T（3,0），那么=3”是真命题；

（2）逆命题是：

设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T（3,0）.

该命题是假命题.

例如：

取抛物线上的点A（2,2），B（,1），此时=3,

直线AB的方程为：

，而T（3,0）不在直线AB上；

说明：

由抛物线y2=2x上的点A（x1,y1）、B（x2,y2）满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点（3,0）；如果y1y2=2，可证得直线AB过点（－1,0）,而不过点（3,0）.

2.（2006北京文）椭圆C:

的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.

2..解：

（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以，a=3.

在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,

从而b2=a2－c2=4,

所以椭圆C的方程为＝1.

（Ⅱ）解法一：

设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）.

已知圆的方程为（x+2）2+（y－1）2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1,

代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k－27=0.

因为A，B关于点M对称.，所以

解得，所以直线l的方程为

即8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意）

（Ⅱ）解法二：

已知圆的方程为（x+2）2+（y－1）2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.

设A，B的坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）.由题意x1x2且

①②

由①－②得③

因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=－4,y1+y2=2,

代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），

即8x－9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意.）

3．（2007北京文、理）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．

（）求边所在直线的方程；

（）求矩形外接圆的方程；

（）若动圆过点，且与矩形的

外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．

3．解：

（）因为边所在直线的方程为，

且与垂直，所以直线的斜率为．

又因为点在直线上，

所以边所在直线的方程为．即．

（）由解得点的坐标为，

因为矩形两条对角线的交点为．

所以为矩形外接圆的圆心．

又．

从而矩形外接圆的方程为．

（）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，

所以，即．

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

4.（2007福建理）如图，已知点F（1，0），直线l：

x＝－1，P为平面

上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，

已知，，求的值。

4．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．

（Ⅰ）解法一：

设点，则，由＝得：

，化简得．

（Ⅰ）解法二：

由＝得：

，

y

，，．

所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：

．

（Ⅱ）设直线的方程为：

．

设，，又，

联立方程组，消去得：

，，故

由，得：

，，

整理得：

，，

．

5．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

（其中O为原点）.求k的取值范围.

5.解：

（Ⅰ）设双曲线方程为

由已知得

故双曲线C的方程为

（Ⅱ）将

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即①

设，则，

而

于是②

由①、②得

故k的取值范围为

6.（2007全国Ⅱ文、理）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：

相切

（1）求圆O的方程

（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围。

6．解：

（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，即．

得圆的方程为．

（2）不妨设．由即得．

设，由成等比数列，得

，即．

由于点在圆内，故

由此得．所以的取值范围为．

7.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为

坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

7.本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。

解：

（Ⅰ）解法一：

易知所以，设，

则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，

联立，消去，整理得：

∴

由得：

或①

又

∴

又

∵，即

∴②

故由①、②得或

8.（2007安徽文）设F是抛物线G:

x2=4y的焦点.（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:

（Ⅱ）设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足,延长AF、BF分别交抛物线G于点

C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

8.本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点和焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力，

解：

（Ⅰ）设切点知抛物线在Q点处的切线斜率为，故所求切线方程为即

因为点P（0，-4）在切线上，所以

所以切线方程为y=±2x-4.

（Ⅱ）设

由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.

因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.

点A，C的坐标满足方程组消去y，得

由根与系数的关系知

同理可求得

当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.

9.（2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x2－＝1上的两点，点N（1,2）是线段AB的中点

（1）求直线AB的方程；

（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？

为什么？

9.解：

（1）依题意，可设直线方程为y＝k（x－1）＋2

代入x2－＝1，整理得（2－k）x2－2k（2－k）x－（2－k）2－2＝0①

记A（x1,y1）,B（x2,y2），则x1、x2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k2≠0,且x1＋x2＝

由N（1,2）是AB中点得（x1＋x2）＝1

∴k（2－k）＝2－k2

解得k＝1，所易知霰AB的方程为y＝x＋1.

（2）将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0

解出x1＝－1,x2＝3

由y＝x＋1得y1＝0,y2＝4

即A、B的坐标分别为（－1,0）和（3，4）

由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－（x－1）＋2

即y＝3－x代入双曲线方程，整理得x2＋6x－11＝0②

记C（x3,y3）,D（x4,y4），以及CD中点为M（x0,y0），则x3、x4是方程②的两个的实数根，所以

x3＋x4＝－6,x3x4＝－11

从而x0＝（x3＋x4）＝－3,y0＝3－x0＝6

|CD|＝＝

∴|MC|＝|MD|＝|CD|＝2

又|MA|＝|MB|＝

即A、