高中数学 函数的极值与最值.docx

1、高中数学 函数的极值与最值课时作业A组基础对点练1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()解析：f(x)在x2处取得极小值，在x2附近的左侧f(x)0，当x0.在x2附近的右侧f(x)0，当2x0时，xf(x)2时，对函数f(x)a10的单调性进行研究，求导后发现f(x)在(2，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，即函数f(x)在x2时的最小值为f(e)；当x2时，f(x)(xa)2e是对称轴方程为xa的二次函数，欲使f(2)是函数的最小值，则2a6，故选D.答案：D7(2018昆明市检测)已知函数f(x)若不等式af

2、(x)b的解集恰好为a，b，则ba_.解析：由函数f(x)的解析式知，函数f(x)在(，2)上单调递减，在2，)上单调递增，f(x)minf(2)1，若a1，则不等式af(x)b的解集为x1，x2x3，x4，不合题意，所以a1，此时因为2212，所以b2，令m23m4m，解得m或m4，取b4.令22x4得x0，所以a0，所以ba4.答案：48已知函数f(x)ln x在(e，)上有极值点，则实数m的取值范围为_解析：f(x)ln xln xln x，定义域为x|x0且x1，f(x)，记g(x)x2(m2)x1，要使函数f(x)在(e，)上有极值点，则方程x2(m2)x10有两个不同的实根x1，x

3、2，(m2)240，解得m0或m4.又x1x21，因为f(x)在(e，)上有极值点，不妨设x2e，所以0x1ex2，由于g(0)10，所以只需即解得me2.答案：(e2，)9设函数f(x)exax1.(1)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)当a0时，设函数f(x)的最小值为g(a)，求证：g(a)0.解析：(1)由题意知f(x)exa0对xR均成立，且ex0，故a的取值范围为a0.(2)证明：当a0时，由f(x)exa可得，函数f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)f(ln a)eln aaln a1aaln a1，则

4、g(a)ln a，故当a(0,1)时，g(a)0，当a(1，)时，g(a)0，从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，且g(1)0，故g(a)g(1)，即g(a)0.10已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围解析：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b

5、，解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)，h(x)在(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x) 28 4 3由表可知当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此k的取值范围是(，3B组能力提升练1已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单

6、调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0解析：若yf(x)有极小值点，则其导数yf(x)必有2个零点，设为x1，x2(x10，可得x1，令f(x)0，可得3x1，函数f(x)的单调递增区间为(，3)，(1，)，单调递减区间为(3，1)t3，1，x1，x2t，t2，f(3)4e3，f(1)0，f(1)4e，f(x)maxf(1)4e，f(x)minf(1)0，|f(x1)f(x2)|的最大值为4e，故选B.答案：B3若函数f(x)x32ax23bx3b在(0,1)上存在极小值点，则实数b的取值范围是()A(1,0 B(1，)C0，) D(1，)解析：若函数f(x)x32ax23bx3b在

7、(0,1)上存在极小值点，则f(x)3x24ax3b在(0,1)上有两个零点或一个零点在(0,1)上，一个零点在(，0上当导函数f(x)的一个零点在(0,1)上，一个零点在(，0上时，需满足必会存在a使得f(1)0，所以当b0时，函数f(x)x32ax23bx3b在(0,1)上存在极小值点；当导函数f(x)在(0,1)上有两个零点时，即可得1b0.综上，b(1，)故选B.答案：B4设函数f(x)ex(sin xcos x)(0x2 016)，则函数f(x)的各极小值之和为()A BC D解析：f(x)2exsin x，x(2k，2k2)(kZ)时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x2k2(k

8、Z)时，f(x)取极小值，其极小值为f(2k2)e2k2(kZ)，又0x2 016，f(x)的各极小值之和Se2e4e2 016，故选A.答案：A5(2018云南五市联考)直线xa(a0)分别与曲线y2x1，yxln x交于A，B两点，则|AB|的最小值为_解析：设A(a，yA)，B(a，yB)，则yA2a1，yBaln a所以|AB|yAyB|a1ln a|.令f(a)a1ln a，则f(a)1，所以函数f(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，于是当a1时，f(a)取得最小值2，即|AB|min2.答案：26(2018长沙市模拟)在半径为R的圆内，作内接等腰ABC，当底边上的高h(0，t时，ABC的面积取得最大值，则t的取值范围为_解析：令等腰ABC的底边为2x，则x2R2(hR)22hRh2，又Sxh，令f(h)h2(2hRh2)，0h2R，求导得f(h)2h2(3R2h)，令f(h)0，得h，当0h时，f(h)0，函数f(h)单调递增，当h2R时，f(h)0，函数f(h)单调递减，f(h)maxf()R4，Smax，h(0，t，故t的取值范围为，2R)答案：，2R)7(2018合肥市质检)已知函数f(x)xln xxk(x1)在(1，)内有唯一零点x0，若k(n，n1)，nZ，则n_.解析：依题意，函数定义域为(0，)，f(x)ln xx1