答案：
C
2．已知f（x）＝，其中e为自然对数的底数，则（ ）
A．f
（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f
（2）
C．f（e）＞f
（2）＞f（3）D．f（e）＞f（3）＞f
（2）
解析：
f（x）＝，f′（x）＝，令f′（x）＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（e，＋∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，故f（x）在x＝e处取得最大值f（e），f
（2）－f（3）＝－＝＝＜0，∴f
（2）＜f（3），则f（e）＞f（3）＞f
（2），故选D.
答案：
D
3．（2018·山西八校联考）已知x＝－1是函数f（x）＝（ax2＋bx＋c）ex的一个极值点，四位同学分别给出下列结论，则一定不成立的结论是（ ）
A．a＝0B．b＝0
C．c≠0D．a＝c
解析：
令g（x）＝ax2＋bx＋c，则g′（x）＝2ax＋b，f′（x）＝ex[g（x）＋g′（x）]，因为x＝－1是函数f（x）＝g（x）ex的一个极值点，所以有g（－1）＋g′（－1）＝0，得c＝a.设h（x）＝g（x）＋g′（x）＝ax2＋（b＋2a）x＋a＋b，若b＝0，则a＝c≠0，h（x）＝a（x＋1）2，h′（x）在x＝－1两侧不变号，与x＝－1是函数f（x）＝（ax2＋bx＋c）ex的一个极值点矛盾，故b＝0一定不成立，选择B.
答案：
B
4．已知e为自然对数的底数，设函数f（x）＝（ex－1）（x－1）k（k＝1,2），则（ ）
A．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f（x）在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f（x）在x＝1处取到极大值
解析：
当k＝1时，f（x）＝（ex－1）（x－1），0,1是函数f（x）的零点．当0＜x＜1时，f（x）＝（ex－1）（x－1）＜0，当x＞1时，f（x）＝（ex－1）（x－1）＞0,1不会是极值点．当k＝2时，f（x）＝（ex－1）（x－1）2，零点还是0,1，但是当0＜x＜1，x＞1时，f（x）＞0，由极值的概念，知选C.
答案：
C
5．若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A．ex2－ex1＞lnx2－lnx1
B．ex1－ex2＜lnx2－lnx1
C．x2ex1＞x1ex2
D．x2ex1＜x1ex2
解析：
令f（x）＝，则f′（x）＝＝.当0＜x＜1时，f′（x）＜0，即f（x）在（0,1）上单调递减，∵0＜x1＜x2＜1，
∴f（x2）＜f（x1），即＜，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.
答案：
C
6．设函数f（x）＝（e是自然对数的底数），若f
（2）是函数f（x）的最小值，则a的取值范围是（ ）
A．[－1,6]B．[1,4]
C．[2,4]D．[2,6]
解析：
当x>2时，对函数f（x）＝＋a＋10的单调性进行研究，求导后发现f（x）在（2，e）上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增，即函数f（x）在x>2时的最小值为f（e）；当x≤2时，f（x）＝（x－a）2＋e是对称轴方程为x＝a的二次函数，欲使f
（2）是函数的最小值，则⇒⇒2≤a≤6，故选D.
答案：
D
7．（2018·昆明市检测）已知函数f（x）＝若不等式a≤f（x）≤b的解集恰好为[a，b]，则b－a＝________.
解析：
由函数f（x）的解析式知，函数f（x）在（－∞，2）上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增，f（x）min＝f
（2）＝1，若a＞1，则不等式a≤f（x）≤b的解集为[x1，x2]∪[x3，x4]，不合题意，所以a≤1，此时因为22－1＝2，所以b≥2，令m2－3m＋4＝m，解得m＝或m＝4，取b＝4.令22－x＝4得x＝0，所以a＝0，所以b－a＝4.
答案：
4
8．已知函数f（x）＝＋lnx在（e，＋∞）上有极值点，则实数m的取值范围为________．
解析：
f（x）＝＋lnx＝＋lnx＝＋lnx，定义域为{x|x＞0且x≠1}，f′（x）＝－＋＝，记g（x）＝x2－（m＋2）x＋1，要使函数f（x）在（e，＋∞）上有极值点，则方程x2－（m＋2）x＋1＝0有两个不同的实根x1，x2，Δ＝[－（m＋2）]2－4＞0，解得m＞0或m＜－4.又x1x2＝1，因为f（x）在（e，＋∞）上有极值点，不妨设x2＞e，所以0＜x1＜＜e＜x2，由于g（0）＝1＞0，所以只需即解得m＞e＋－2.
答案：
（e＋－2，＋∞）
9．设函数f（x）＝ex－ax－1.
（1）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证：
g（a）≤0.
解析：
（1）由题意知f′（x）＝ex－a≥0对x∈R均成立，且ex＞0，故a的取值范围为a≤0.
（2）证明：
当a＞0时，由f′（x）＝ex－a可得，
函数f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增，
故函数f（x）的最小值为g（a）＝f（lna）＝elna－alna－1＝a－alna－1，则g′（a）＝－lna，
故当a∈（0,1）时，g′（a）＞0，当a∈（1，＋∞）时，g′（a）＜0，从而可知g（a）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，且g
（1）＝0，故g（a）≤g
（1），即g（a）≤0.
10．已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx.
（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（2）当a＝3，b＝－9时，若函数f（x）＋g（x）在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
解析：
（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b.
因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，
所以f
（1）＝g
（1）且f′
（1）＝g′
（1），即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
（2）记h（x）＝f（x）＋g（x），当a＝3，b＝－9时，
h（x）＝x3＋3x2－9x＋1，
所以h′（x）＝3x2＋6x－9.
令h′（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h′（x），h（x）在（－∞，2]上的变化情况如下表所示：
x
（－∞，－3）
－3
（－3,1）
1
（1,2）
2
h′（x）
＋
0
－
0
＋
＋
h（x）
28
－4
3
由表可知当k≤－3时，函数h（x）在区间[k,2]上的最大值为28；
当－3＜k＜2时，函数h（x）在区间[k,2]上的最大值小于28.
因此k的取值范围是（－∞，－3]．
B组——能力提升练
1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
解析：
若y＝f（x）有极小值点，则其导数y＝f′（x）必有2个零点，设为x1，x2（x1答案：
C
2．已知函数f（x）＝（x2＋2x＋1）ex，设t∈[－3，－1]，对任意x1，x2∈[t，t＋2]，则|f（x1）－f（x2）|的最大值为（ ）
A．4e－3B．4e
C．4e＋e－3D．4e＋1
解析：
依题意，f′（x）＝（x2＋4x＋3）ex，令f′（x）>0，可得x<－3或x>－1，令f′（x）<0，可得－3（1）＝4e，∴f（x）max＝f
（1）＝4e，f（x）min＝f（－1）＝0，∴|f（x1）－f（x2）|的最大值为4e，故选B.
答案：
B
3．若函数f（x）＝x3＋2ax2－3bx＋3b在（0,1）上存在极小值点，则实数b的取值范围是（ ）
A．（－1,0]B．（－1，＋∞）
C．[0，＋∞）D．（1，＋∞）
解析：
若函数f（x）＝x3＋2ax2－3bx＋3b在（0,1）上存在极小值点，则f′（x）＝3x2＋4ax－3b在（0,1）上有两个零点或一个零点在（0,1）上，一个零点在（－∞，0]上．
当导函数f′（x）的一个零点在（0,1）上，一个零点在（－∞，0]上时，需满足
∴必会存在a使得f′
（1）＞0，所以当b≥0时，函数f（x）＝x3＋2ax2－3bx＋3b在（0,1）上存在极小值点；当导函数f′（x）在（0,1）上有两个零点时，即
∴可得－1＜b＜0.综上，b∈（－1，＋∞）．故选B.
答案：
B
4．设函数f（x）＝ex（sinx－cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极小值之和为（ ）
A．－B．－
C．－D．－
解析：
∵f′（x）＝2exsinx，
∴x∈（2kπ＋π，2kπ＋2π）（k∈Z）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，x∈（2kπ＋2π，2kπ＋3π）（k∈Z）时，f′（x）>0，f（x）单调递增，故当x＝2kπ＋2π（k∈Z）时，f（x）取极小值，其极小值为f（2kπ＋2π）＝－e2kπ＋2π（k∈Z），又0≤x≤2016π，
∴f（x）的各极小值之和S＝－e2π－e4π－…－e2016π＝－，故选A.
答案：
A
5．（2018·云南五市联考）直线x＝a（a＞0）分别与曲线y＝2x＋1，y＝x＋lnx交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
解析：
设A（a，yA），B（a，yB），则yA＝2a＋1，yB＝a＋lna．所以|AB|＝|yA－yB|＝|a＋1－lna|.令f（a）＝a＋1－lna，则f′（a）＝1－，所以函数f（a）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，于是当a＝1时，f（a）取得最小值2，即|AB|min＝2.
答案：
2
6．（2018·长沙市模拟）在半径为R的圆内，作内接等腰△ABC，当底边上的高h∈（0，t]时，△ABC的面积取得最大值，则t的取值范围为________．
解析：
令等腰△ABC的底边为2x，则x2＝R2－（h－R）2＝2hR－h2，又S＝xh＝，令f（h）＝h2（2hR－h2），0＜h＜2R，求导得f′（h）＝2h2（3R－2h），令f′（h）＝0，得h＝，当0＜h＜时，f′（h）＞0，函数f（h）单调递增，当＜h＜2R时，f′（h）＜0，函数f（h）单调递减，∴f（h）max＝f（）＝R4，∴Smax＝，∴h＝∈（0，t]，故t的取值范围为[，2R）．
答案：
[，2R）
7．（2018·合肥市质检）已知函数f（x）＝xlnx＋x－k（x－1）在（1，＋∞）内有唯一零点x0，若k∈（n，n＋1），n∈Z，则n＝________.
解析：
依题意，函数定义域为（0，＋∞），f′（x）＝lnx＋x·＋1
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