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1、rb必修4数学教案第一章基本初等函数()1.1.1角的概念的推广三维目标1.知识与技能(1)理解任意角(正角、负角、零角)的概念、象限角与区间角的概念.(2)掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角.2.过程与方法借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题.3.情感、态度与价值观(1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力.(2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值. 重点、难点重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写.难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写.课前自主导学：课标解读

2、1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置.(重点)角的概念【问题导思】如图将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向.(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.图111(2)角的表示：如图111AOB中，O表示顶点，OA表示始边，OB表示终边.(3)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：正角：按照逆时针方向旋转而成的角.负角：按照顺时针方向旋转而成的角.零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角.象限角【问题导

3、思】把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角.1.其终边(除端点外)可能落在什么位置？2.如果角的终边落在坐标轴上，旋转的角的大小与90有什么关系？【提示】1.终边可能落在坐标轴上或四个象限内.2.大小是90的整数倍.平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.特别地，终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限.终边相同的角【问题导思】30，390，750，30k360(kZ)的角的终边有什么关系？【提示】相同.设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合

4、可记为S|k360，kZ.课堂互动探究：角的基本概念例1：下列命题第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角.其中不正确的序号为_.【思路探究】解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断.【自主解答】330角是第一象限角，但它是负角，所以不正确.120角是第二象限角，390角是第一象限角，显然390120，所以不正确.480角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确.0角是小于180角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确.【答案】规律方法：1.解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之

5、间的联系与区别.2.判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可，如.变式训练：下列说法正确的是()A.锐角是第一象限角B.钝角比第三象限角小C.三角形的内角必为第一、二象限角D.小于90的角都是锐角【解析】100是第三象限角，但10090，故B错；90角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；30小于90，不是锐角，故D错.【答案】A终边相同的角例2：已知角2 010(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720.【思路探究】先求出，判断角所在的象限，用终边相

6、同的角表示满足的不等关系，求出k和.【自主解答】(1)由2 010除以360，得商为5，余数为210.取k5，210，5360210.又210是第三象限角，为第三象限角.(2)与2 010终边相同的角：k3602 010(kZ).令360k3602 010720(kZ)，解得6k3(kZ).所以k6，5，4.将k的值代入k3602 010中，得角的值为150，210，570.规律方法：1.把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法.2.(1)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构

7、建不等式求出k的值.(2)终边相同角常用的三个结论终边相同的角之间相差360的整数倍.终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍.终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.变式训练：图112如图112，写出终边在直线yx上的角的集合.【解】终边在yx(x0)上的角的集合是S1|60k360，kZ；终边在yx(x0)上的角的集合是S2|240k360，kZ.于是，终边在直线yx上的角的集合是SS1S2|60k360，kZ|240k360，kZ|602k180，kZ|60(2k1)180，kZ|60n180，nZ.象限角与区域角的表示例3：如图113，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集

8、合是()A.|k36030k36045，kZ B.|k180150k180225，kZC.|k360150k360225，kZ D.|k36030k18045，kZ图113【思路探究】找出0360内阴影部分的角的集合适合题意的角的集合【自主解答】在0360内落在阴影部分角的范围为大于150而小于225，所以在R上落在阴影部分角集合为|k360150k360225，kZ.【答案】C规律方法：1.先在360360范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360的整数倍即得.2.区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再

9、在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合.注意结果尽量表示为一个连续区间.变式训练：写出下图114中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.图114【解】在180180内落在阴影部分角集合为大于45小于45，所以在实数集R上落在阴影部分角集合为|45k36045k360，kZ.忽视象限角范围致误典例：(2014山东师大附中检测)若是第二象限角，试确定2、是第几象限角.【错解】由题意得90180，所以有1802360，4590.故2为第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角，为第一象限角.【错因分析】致错原因是把是第二象限角范围误认为是大于90小于180，实际上应是|90k3

10、60180k360，kZ才完整.【防范措施】正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键.已知角所在象限，应熟练掌握所在的象限.第一象限第二象限第三象限第四象限第一或第三象限第二或第四象限区域如果用1、2、3、4分别表示第一、二、三、四象限角，则、的分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略).熟记该图，解有关问题就会方便许多.【正解】(1)由题意得90k360180k360(kZ)，1802k36023602k360(kZ).故2是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角.(2)由(1)得45k18090k180(kZ)，当k为偶数时，令k2n(nZ)，得45n36090n

11、360(nZ)，故是第一象限角.当k为奇数时，令k2n1(nZ)得45180n36090180n360(nZ)，即225n360270n360(nZ)，故为第三象限角.综上可知为第一或第三象限角.课堂小结：1.理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向.2.象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k进行分类讨论，以确定角的终边的位置.3.熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据.当堂双基达标：1.(2014定西高一检测)510在第几象限()A.一B.二C.三D.四【解析】51072021072018030，510在第三象限.【答

12、案】C2.下列各角中，与角330的终边相同的角是()A.510 B.150 C.150 D.390【解析】与330终边相同的角的集合为S|330k360，kZ，当k2时，330720390，故选D.【答案】D3.将885化为k360(0360，kZ)的形式是_.【解析】8851080195(3)360195.【答案】195(3)3604.如果为小于360的正角，的4倍角的终边与的终边重合，求的值.【解】依题意4k360，且0360，k120. 取k1或k2，120或240.课后知能检测：一、选择题1.(2013福州高一月考)已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，下列四个命题：ABC；A

13、 C；CA；ACB.其中正确的命题个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】对于，第一象限角包含负角，错.对于，若400，是第一象限角，但40090，故AC，错.同理错.对于，三个集合都包含0到90之间的角，ACB，故选A.【答案】A2.把1 485转化为k360(0360，kZ)的形式是()A.454360 B.454360 C.455360 D.3155360【解析】B、C选项中不在0360范围内，A选项的结果不是1 485，只有D正确.【答案】D3.若是第二象限角，则180是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角【解析】可借助于取特殊值法，取120，则180

14、12060.【答案】A4.(2014青岛高一检测)若角的终边和函数yx的图象重合，则角 的集合S()A.|k36045，kZ B.|k9045，kZC.|k360225，kZ D.|k18045，kZ【解析】由于yx的图象是第一、三象限的角平分线，故要使角的终边与yx的图象重合，角在0360内所对应的两个角分别为45及225，从而角的集合S|k36045或k360225，kZ|k18045，kZ，故选D.【答案】D5.以下命题正确的是()A.若是第一象限角，则2是第二象限角B.A|k180，kZ，B|k90，kZ，则A BC.若k360k360180(kZ)，则为第一或第二象限角D.终边在x轴

15、上的角可表示为k360(kZ)【解析】A不正确，如30时，260为第一象限角.在B中，当k2n，kZ时，n180，nZ.A B，B正确. 又C中，为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，C不正确.显然D不正确.【答案】B二、填空题6.与2 002终边相同的最小正角是_.【解析】与2 002终边相同的角的集合为|2 002k360，kZ，与2 002终边相同的最小正角是当k6时，2 0026360158.【答案】1587.(2014临汾高一检测)已知角2的终边在x轴的上方，那么是第_象限角.【解析】由条件可知，k3602k360180，k180k18090，在第一、三象限.【答案】一、三8.在

16、四个角20，400，2 000，600中，第四象限的角的个数是_.【解析】20是第四象限的角；40036040，也是第四象限的角；2 000(6)360160，是第二象限的角；600360240，是第三象限的角.所以第四象限的角的个数是2个.【答案】2个三、解答题9.(2014兰州高一检测)若角的终边与168角的终边相同，求在0360上终边与角的终边相同的角.【解】由于k360168，kZ，故k12056，kZ.依题意得0k12056360，当k0,1,2时，k12056在0360)上，所以在0360上与角的终边相同的角有56，176，296.10.在与530终边相同的角中，求满足下列条件的角

17、.(1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)720到360的角.【解】与530终边相同的角为k360530，kZ.(1)由360k3605300，且kZ可得k2，故所求的最大负角为190.(2)由0k360530360且kZ可得k1，故所求的最小正角为170.(3)由720k360530360且kZ得k3，故所求的角为550.11.如图115所示.图115(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ.终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，k

18、Z.(2)由题图可知，终边落在阴影部分(包括边界)角的集合是由大于或等于30而小于或等于135范围内的所有与之终边相同的角组成的集合，故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为|30k360135k360，kZ.备选例题：已知是第一象限角，求2，所在的象限.【思路探究】先写出终边落在第一象限的角，再表示出2，根据k的取值得到结论.【自主解答】是第一象限角，k360k36090，kZ.2k36022k360180，kZ，则2是第一或第二象限角，或是终边在y轴非负半轴上的角.k180k18045，kZ. 当k为偶数时，为第一象限角，当k为奇数时，为第三象限角，为第一或第三象限角.k120k1203

19、0，kZ.当k3n(nZ)时，n360n36030，nZ，是第一象限角；当k3n1(nZ)时，n360120n360150，nZ，是第二象限角；当k3n2(nZ)时，n360240n360270，nZ，是第三象限角；为第一或第二或第三象限角.规律方法：1.解决此类问题，要先确定的范围，进一步确定出n或的范围，再根据k与n的关系进行讨论.2.一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是为第几象限时，的终边也可能落的区域.备选变式：若是第三象限角，则

20、180是第几象限角？【解】是第三象限角，180k360270k360，kZ，270k360180k360，kZ，90k360180k360，kZ.180是第四象限角.1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算三维目标1.知识与技能(1)理解弧度的意义.(2)了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系.(3)熟记特殊角的弧度数.2.过程与方法能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题.3.情感、态度与价值观(1)通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神.(2)通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，

21、让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.重点、难点重点：弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.难点：“角度制”与“弧度制”的区别与联系.课前自主导学：课标解读1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算.2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.(重点)度量角的两种单位制【问题导思】1.在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？【提示】1度.2.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？【提示】确定.(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定周角的为1度的角.(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1

22、rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.角度制与弧度制的换算【问题导思】角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？【提示】利用1弧度角的定义进行换算.(1)角度制与弧度制的换算(2)特殊角的弧度数角度0153045607590120135150弧度0角度180210225240270300315330360弧度2弧度制下的扇形的弧长及面积公式(1)弧度数公式：；(2)弧长公式：lr；(3)扇形面积公式：Slrr2.课堂互动探究：角度制与弧度制的互化例1：将下列各角度与弧度互化.(1) 67.5 (2) 11230 (3) (4) 3【思路探究】依据换算关系 rad180，

23、逐个角进行转化.【自主解答】(1)67.5rad67.5rad. (2)11230112.5rad112.5rad.(3) rad180405. (4)3 rad357.303171.90.规律方法：角度制与弧度制换算时应注意的三个问题(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度()为单位表示角的大小时，度()不能省略.(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.(3)有些角的弧度数是的整数倍时，如无特别要求，不必把化成小数.变式训练：将下列各角度与弧度互化：(1) (2) (3) 15730【解】(1) rad18075；(2) rad180210；(3

24、)15730157.5157.5 rad rad.用弧度表示终边相同的角例2：已知角2 010.(1)将改写成2k(kZ,02)的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间5，0)上找出与终边相同的角.【思路探究】(1)可将改写成2k(kZ,02)的形式，根据与终边相同判断.(2)关键在于由52k0求出k的取值.【自主解答】(1)2 0102 01052，又，所以与终边相同，是第三象限的角.(2)与终边相同的角可以写为2k(kZ)，又50，当k3时，；当k2时，；当k1时，.规律方法：用弧度来表示终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的集合用弧度可表示为|2k，kZ，这里应为弧度数.变式训练：(1)(2014长沙高一检测)把1 125化为2k(kZ,02)的形式是()A.6 B.6 C.8 D.8【解析】1 1258.【答案】D(2)已知1 690.把写成2k(kZ，0,2)的形式；求，使与终边相同，且(4，4).【解】(2)1 6901 440250436025042.与终边相同，2k(kZ). 又(4，4)，42k4，k(kZ).k2，1,0,1. 的值是，.扇形的弧长、面积公式的应用例3：已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什