【答案】 一、三
8.在四个角－20°，－400°，－2000°，600°中，第四象限的角的个数是________.
【解析】 －20°是第四象限的角；－400°＝－360°－40°，也是第四象限的角；－2000°＝（－6）×360°＋160°，是第二象限的角；600°＝360°＋240°，是第三象限的角.所以第四象限的角的个数是2个.
【答案】 2个
三、解答题
9.（2014·兰州高一检测）若角θ的终边与168°角的终边相同，求在0°～360°上终边与角的终边相同的角.
【解】 由于θ＝k·360°＋168°，k∈Z，故＝k·120°＋56°，k∈Z.
依题意得0°≤k·120°＋56°＜360°，当k＝0,1,2时，k·120°＋56°在[0°～360°）上，
所以在0°～360°上与角的终边相同的角有56°，176°，296°.
10.在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；（3）－720°到－360°的角.
【解】 与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
（1）由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
（2）由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
（3）由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
11.如图1－1－5所示.
图1－1－5
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
【解】
（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}.
终边落在OB位置上的角的集合为
{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
（2）由题图可知，终边落在阴影部分（包括边界）角的集合是由大于或等于－30°而小于或等于135°范围内的所有与之终边相同的角组成的集合，故终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}.
备选例题：
已知α是第一象限角，求2α，，所在的象限.
【思路探究】 先写出终边落在第一象限的角，再表示出2α，，，根据k的取值得到结论.
【自主解答】 ∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z.
①2k·360°＜2α＜2k·360°＋180°，k∈Z，则2α是第一或第二象限角，或是终边在y轴非负半轴上的角.
②k·180°＜＜k·180°＋45°，k∈Z.当k为偶数时，为第一象限角，当k为奇数时，为第三象限角，
∴为第一或第三象限角.
③k·120°＜＜k·120°＋30°，k∈Z.
当k＝3n（n∈Z）时，n·360°＜＜n·360°＋30°，n∈Z，∴是第一象限角；
当k＝3n＋1（n∈Z）时，n·360°＋120°＜＜n·360°＋150°，n∈Z，∴是第二象限角；
当k＝3n＋2（n∈Z）时，n·360°＋240°＜＜n·360°＋270°，n∈Z，∴是第三象限角；
∴为第一或第二或第三象限角.
规律方法：
1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论.
2.一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是α为第几象限时，的终边也可能落的区域.
备选变式：
若α是第三象限角，则180°－α是第几象限角？
【解】 ∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z，
－270°－k·360°＜－α＜－180°－k·360°，k∈Z，
－90°－k·360°＜180°－α＜－k·360°，k∈Z.
∴180°－α是第四象限角.
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
●三维目标
1.知识与技能
（1）理解弧度的意义.
（2）了解角的集合与实数集R之间可建立起一一对应的关系.（3）熟记特殊角的弧度数.
2.过程与方法
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题.
3.情感、态度与价值观
（1）通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培养学生求异创新的精神.
（2）通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美.
●重点、难点
重点：
弧度的概念.弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.
难点：
“角度制”与“弧度制”的区别与联系.
课前自主导学：
课标解读
1.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算.
2.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.（重点）
度量角的两种单位制
【问题导思】
1.在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？
【提示】 1度.
2.在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？
【提示】 确定.
（1）角度制：
用度作单位来度量角的制度叫做角度制，规定周角的为1度的角.
（2）弧度制：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
角度制与弧度制的换算
【问题导思】
角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？
【提示】 利用1弧度角的定义进行换算.
（1）角度制与弧度制的换算
（2）特殊角的弧度数
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
π
π
π
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
π
π
π
2π
弧度制下的扇形的弧长及面积公式
（1）弧度数公式：
α＝；
（2）弧长公式：
l＝αr；
（3）扇形面积公式：
S＝lr＝αr2.
课堂互动探究：
角度制与弧度制的互化
例1：
将下列各角度与弧度互化.
（1）67.5°
（2）112°30′（3）π（4）3
【思路探究】 依据换算关系πrad＝180°，逐个角进行转化.
【自主解答】
（1）67.5°＝rad×67.5＝rad.
（2）112°30′＝112.5°＝rad×112.5＝rad.
（3）πrad＝×180°＝405°.（4）3rad＝3×°＝57.30°×3＝171.90°.
规律方法：
角度制与弧度制换算时应注意的三个问题
（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度（rad）”可以省略不写；如果以度（°）为单位表示角的大小时，度（°）不能省略.
（2）度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.
（3）有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数.
变式训练：
将下列各角度与弧度互化：
（1）π
（2）－π（3）－157°30′
【解】
（1）πrad＝×180°＝75°；
（2）－πrad＝－×180°＝－210°；
（3）－157°30′＝－157.5°＝－157.5×rad＝－πrad.
用弧度表示终边相同的角
例2：
已知角α＝2010°.
（1）将α改写成β＋2kπ（k∈Z,0≤β＜2π）的形式，并指出α是第几象限的角；
（2）在区间[－5π，0）上找出与α终边相同的角.
【思路探究】
（1）可将α改写成β＋2kπ（k∈Z,0≤β＜2π）的形式，根据β与α终边相同判断.
（2）关键在于由－5π≤β＋2kπ＜0求出k的取值.
【自主解答】
（1）2010°＝2010×＝＝5×2π＋，
又π＜＜，所以α与终边相同，是第三象限的角.
（2）与α终边相同的角可以写为γ＝＋2kπ（k∈Z），
又－5π≤γ＜0，∴当k＝－3时，γ＝－π；当k＝－2时，γ＝－π；当k＝－1时，γ＝－π.
规律方法：
用弧度来表示终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数.
变式训练：
（1）（2014·长沙高一检测）把－1125°化为2kπ＋α（k∈Z,0≤α＜2π）的形式是（ ）
A.－6π－ B.－6π＋C.－8π－D.－8π＋
【解析】 －1125°＝－π＝－8π＋.
【答案】 D
（2）已知α＝1690°.
①把α写成2kπ＋β（k∈Z，β∈[0,2π））的形式；
②求θ，使θ与α终边相同，且θ∈（－4π，4π）.
【解】
（2）①1690°＝1440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π.
②∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π（k∈Z）.又θ∈（－4π，4π），
∴－4π＜2kπ＋π＜4π，∴－＜k＜（k∈Z）.
∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－π，－π，π，π.
扇形的弧长、面积公式的应用
例3：
已知扇形的周长为20cm，当它的半径和圆心角各取什
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