秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案332 简单的线性规划问题 1学生版+教师版.docx

1、秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案332 简单的线性规划问题 1学生版+教师版3.3.2 简单的线性规划问题1新课引入某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由己知条件可得二元一次不等式组：(*) 思考：若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?2简单的线性规划问题不等组(*)是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于，的一次不

2、等式，所以又称为线性约束条件.函数称为目标函数,又因是关于变量，的一次解析式,所以又称为线性目标函数.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解.名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的所有解可行域由所有可行解组成的平面区域最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题 典型例题考点1求线性目标函数的最值【例1】若变量x，y满

3、足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A48 B30 C24 D16分析：先将不等式2yx4转化为x2y4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y的最优解，进而求得a，b的值解析：，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z5yx，得y.由图知目标函数y，过点A(8,0)时，zmin5yx5088，即b8.目标函数y过点B(4,4)时，zmax5yx54416，即a16.ab16(8)24，故选C.答案：C点评：解线性规划问题的步骤变式1设z2xy，式中变量x，y满足下列条件求z的最大值和最小值解：作出可行域如下图z2xy，y2xz表示斜率为2，在y轴上的截

4、距为z的平行直线系由图知当直线过点A时，在y轴上的截距z最大当直线过点B时，在y轴上的截距z最小由得A(5,2) 由得B(1,1)当x5，y2时，zmax12；当x1，y1时，zmin3.考点2求非线性目标函数的最值【例2】实数x，y满足不等式组求z的取值范围分析：将理解成点(x，y)与点(1,1)所在直线的斜率，再结合点所在的可行域进行求解解析：作出不等式组表示的可行域，如下图中的阴影部分z，所以z的几何意义是动点(x，y)与定点A(1,1)连线的斜率结合图可知，z的最小值为直线l1的斜率，z的最大值无限接近于直线l2的斜率l1的斜率k1kAB，l2与直线xy0平行由得B点坐标(1,0)，k

5、1.z.变式训练1.(1)若x，y满足约束条件则的最大值为_(2)设x，y满足约束条件则目标函数zx2y2的取值范围为()A2，8 B4，13C2，13 D.解：(1)的几何意义为点(x，y)与坐标原点连线的斜率画出可行域，如图中阴影部分所示由得C(1，3)，由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.(2)画出不等式组表示的平面区域，得可行域是三角形围成的区域，如图所示解方程组得即A(3，2)，的几何意义是可行域内的点P(x，y)与原点的距离|OP|，当动点P位于点A时，|OP|最大，最大值为，而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点到直线xy2的距离，即为，目标函数zx

6、2y2的最小值为2，最大值为13，故选C.变式2设x，y满足条件(1)求ux2y2的最大值与最小值； (2)求v的最大值与最小值解画出满足条件的可行域如图所示，(1)x2y2u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小又C(3,8)，所以u最大值73，u最小值0.(2)v表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，3)，所以v最大值，v最小值4.考点3线性规划中的参数问题【例3】若直线y2x上存在点(x，y)满

7、足约束条件则实数m的最大值为()A1B1C.D2解析：可行域如图中阴影部分所示，由得交点A(1,2)，当直线xm经过点A(1,2)时，m取得最大值为1，应选B.答案：B点评：由运动变化的观念让目标函数所表示的直线过可行域上的某点，求线性约束条件中的一不等式的参数值，此是逆向思维，需要数形结合解决问题变式3设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.解析：作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0，于是目标函数等价于zx

8、2y4，即转化为一般的线性规划问题显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax21.1不等式2xy60表示的平面区域在直线2xy60的()A左上方 B右上方 C左下方 D右下方1.解析：选D将(0,0)代入2xy6，得60，(0,0)点在不等式2xy60表示的平面区域的异侧则所求区域在对应直线的右下方故选D项2已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是()Aa1或a24 B24a7 C7a24 Da24或a72.解析：选C要使点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，必须且只需(3321a)3(4)26a0即可，由此解得7a24.3设点P(x，y)，其

9、中x，yN，满足xy3的点P 的个数为()A10 B9 C3 D无数个解析：选A作的平面区域，如图所示，符合要求的点P的个数为10，故选A.4不等式组表示的平面区域是一个()A三角形 B直角梯形 C梯形 D矩形解析：选C不等式组等价于或分别画出其平面区域，可知选C.5完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为23，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是()A. B C. D解析：选C排除法：x，yN*，排除B、D 又x与y的比例为23，排除A，故选C.6目标函数z3xy，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线的截距

10、 B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数 D该直线的横截距解析：选C由z3xy得y3xz，在该方程中z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数7现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()Az6x4y Bz5x4y Czxy Dz4x5y解析：选A由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z6x4y.8zxy在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A(0,1)B(1，1) C(1,0) D解析：选C可以验证这四个点均是可行解，当x0，y1时，z1；当x1，y1时，z0

11、；当x1，y0时，z1；当x，y时，z0.排除选项A，B，D，故选C.9已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值为()A3 B1 C5 D6解析：选C由约束条件作出可行域如图：由zx2y得yx，的几何意义为直线在y轴上的截距，当直线yx过直线x1和xy1的交点A(1，2)时，z最小，最小值为5，故选C.10实数x，y满足不等式组则z的取值范围是()A. B C. D10.解析：选D利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(1,1)连线的斜率问题画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数z表示阴影部分的点与定点A(1,1)的连线的斜率，由图可知点A(1,1)与点(1,

12、0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故z1.11在ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在ABC的内部及其边界上运动，则yx的取值范围为()A1,3 B3,1 C1,3 D3，111.解析：选C先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数zyx的取值范围由图求出其取值范围是1,312已知实数x，y满足不等式组若目标函数zyax取得最大值时的唯一最优解为(1，3)，则实数a的取值范围为()A(1，)B1，)C(0，1)D(，1)12A解析 作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，解方程组得即A(1, 3)要使目

13、标函数zyax取得最大值时的唯一最优解为(1，3)，则直线yaxz的斜率a1，故实数a的取值范围为(1，)13已知变量x，y满足约束条件则的最大值是_，最小值是_解析：由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z表示坐标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率由图可知，点C与O连线斜率最大；B与O连线斜率最小，又B点坐标为(，)，C点坐标为(1,6)，所以kOB，kOC6. 故的最大值为6，最小值为.答案614.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z6x8y取得最大值的点的坐标是_.解析：首先作出直线6x8y0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大

14、答案：(0,5)15设zx2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是_解析：画出可行域如图，由zx2y，得yx，则的几何意义是直线yx在y轴上的截距，当直线过点O及直线xy10和xy20的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.答案：16已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若zx3y的最大值为8，则k_6解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示解方程组得即A， 易知直线y经过可行域上的点A时，其在y轴上的截距最大，z取得最大值，则有38，解得k6.17已知关于x，y的二元一次不等式组(1)求函数u3xy的最大值和最小值；(2)求函数zx2y2的最大值和最小值19.解：(1)作

15、出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由u3xy，得y3xu，得到斜率为3，在y轴上的截距为u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距u最大，即u最小解方程组得C(2,3)，u最小值3(2)39.当直线经过可行域上的B点时，截距u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)，u最大值3215.u3xy的最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率为，在y轴上的截距为z1，且随z变化的一组平行线由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z1最小，即z最小，解方程组得A(2，3)，z最小值22(3)26.当直线

16、yxz1与直线x2y4重合时，截距z1最大，即z最大，z最大值x2y2426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.18已知变量x，y满足约束条件(1)设目标函数为z，求z的最小值；(2)设目标函数为zx2y2，求z的取值范围解：作出不等式组表示的平面区域，即可行域(如图所示)(1)解方程组得即B(5，2)，由z，知z的几何意义是可行域中的点与原点O的连线的斜率观察图形可知zminkOB，即z的最小值是.(2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方解方程组得即C(1，1)结合图形可知，可行域上的点到原点的距离d中，dmin|OC|，dmax|OB|，故所求z的取值范围为2，291

17、9铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少(百万元)？解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：目标函数为z3x6y，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z最小值316215.3.3.2 简单的线性规划问题1新课引入某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由己知条件可得二元一次不等式组：(*)思考：若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?2简单的线性规划问题不等组(*)是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于，的一次不等式，所以又称为线性约束条件.函数称为目标函数,又因是关于变量，的一次解析式,所以又称为线性目标函数.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.满足线性