秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案332 简单的线性规划问题 1学生版+教师版.docx
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秋高中数学人教A版必修5自主学习导学案332简单的线性规划问题1学生版+教师版
3.3.2简单的线性规划问题
1.新课引入
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知条件可得二元一次不等式组:
(*)
思考:
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
2.简单的线性规划问题
不等组(*)是一组对变量的约束条件,这组约束条件都是关于
,
的一次不等式,所以又称为线性约束条件.
函数
称为目标函数,又因
是关于变量
,
的一次解析式,所以又称为线性目标函数.
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
满足线性约束条件的解
叫做可行解.
名称
意义
约束条件
由变量x,y组成的不等式组
线性约束条件
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数
关于x,y的函数,如z=2x+3y等
线性目标函数
关于x,y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的所有解
可行域
由所有可行解组成的平面区域
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题
※典型例题
考点1.求线性目标函数的最值
【例1】若变量x,y满足约束条件
且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是( )
A.48B.30C.24D.16
分析:
先将不等式2y-x≤4转化为x-2y≥-4,画出不等式组表示的平面区域,并找出目标函数y=+的最优解,进而求得a,b的值.
解析:
∵
,∴
,由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分,
由z=5y-x,得y=+.
由图知目标函数y=+,过点A(8,0)时,zmin=5y-x=5×0-8=-8,即b=-8.
目标函数y=+过点B(4,4)时,zmax=5y-x=5×4-4=16,即a=16.
∴a-b=16-(-8)=24,故选C.
答案:
C
点评:
解线性规划问题的步骤
变式1.设z=2x+y,式中变量x,y满足下列条件求z的最大值和最小值.
解:
作出可行域如下图.
∵z=2x+y,∴y=-2x+z表示斜率为-2,在y轴上的截距为z的平行直线系.
由图知当直线过点A时,在y轴上的截距z最大.
当直线过点B时,在y轴上的截距z最小.
由得∴A(5,2).由得∴B(1,1).
∴当x=5,y=2时,zmax=12;当x=1,y=1时,zmin=3.
考点2.求非线性目标函数的最值
【例2】实数x,y满足不等式组求z=的取值范围.
分析:
将理解成点(x,y)与点(-1,1)所在直线的斜率,再结合点所在的可行域进行求解.
解析:
作出不等式组表示的可行域,如下图中的阴影部分.z==,所以z的几何意义是动点(x,y)与定点A(-1,1)连线的斜率.结合图可知,z的最小值为直线l1的斜率,z的最大值无限接近于直线l2的斜率.
l1的斜率k1=kAB,l2与直线x-y=0平行.
由得B点坐标(1,0),k1=-.
∴z∈.
变式训练1.
(1)若x,y满足约束条件则的最大值为________.
(2)设x,y满足约束条件则目标函数z=x2+y2的取值范围为( )
A.[2,8]B.[4,13]
C.[2,13]D.
解:
(1)的几何意义为点(x,y)与坐标原点连线的斜率.
画出可行域,如图中阴影部分所示.
由得C(1,3),
由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大,且最大值为3.
(2)画出不等式组表示的平面区域,得可行域是三角形围成的区域,如图所示.
解方程组得即A(3,2),
∵的几何意义是可行域内的点P(x,y)与原点的距离|OP|,
当动点P位于点A时,|OP|最大,最大值为=,
而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点到直线x+y=2的距离,即为=,
∴目标函数z=x2+y2的最小值为2,最大值为13,故选C.
变式2.设x,y满足条件
(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;
(2)求v=的最大值与最小值.
[解] 画出满足条件的可行域如图所示,
(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点x2+y2的值都相等,由图可知:
当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大,过(0,0)时,u最小.又C(3,8),所以u最大值=73,u最小值=0.
(2)v=表示可行域内的点P(x,y)到定点D(5,0)的斜率,由图可知,kBD最大,kCD最小,又C(3,8),B(3,-3),
所以v最大值==,v最小值==-4.
考点3.线性规划中的参数问题
【例3】若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A.-1 B.1 C. D.2
解析:
可行域如图中阴影部分所示,由得交点A(1,2),当直线x=m经过点A(1,2)时,m取得最大值为1,应选B.
答案:
B
点评:
由运动变化的观念让目标函数所表示的直线过可行域上的某点,求线性约束条件中的一不等式的参数值,此是逆向思维,需要数形结合解决问题.
变式3.设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=________.
解析:
作出可行域如图阴影部分所示:
由图可知当0≤-k<时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2(舍去);当-k≥时,直线y=-kx+z经过点(0,2)时z最大,此时z的最大值为2,不合题意;当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.综上可知,k=2.
答案:
2
若实数x,y满足不等式组目标函数t=x-2y的最大值为2,则实数a的值是________.
解:
如右图,由得代入x-2y=2中,解得a=2.
[答案] 2
变式4.已知x,y满足且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k=( )
A.2B.9
C.3D.0
[解析] 选D 由题意知,当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+k=0的交点(3,-3-k)时,z最小,所以-6=2×3+4×(-3-k),解得k=0.
考点4.线性规划在实际中的应用
【例4】某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A、B,要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如下表:
产品A(件)
产品B(件)
研制成本与搭载
费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资
金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重
量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问:
如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大收益是多少?
分析:
→
→→
解析:
设搭载A产品x件,B产品y件,预计总收益z=80x+60y.
则约束条件为,化简为
作出可行域,如图,作出直线l0:
4x+3y=0并平移,由图象得,
当直线经过M点时z取得最大值,
由,解得,即M(9,4).
∴zmax=80×9+60×4=960(万元).
答:
搭载A产品9件,B产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.
变式1.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:
亩)分别为( )
A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50
解:
设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩,y亩,总利润为z万元,
则目标函数为z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3×6y-0.9y)=x+0.9y.
线性约束条件为即
画出可行域,如下图.
作出直线l0:
x+0.9y=0,
向上平移至过点B时,z取得最大值,
由求得B(30,20),故选B.
例5. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?
解:
设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得
目标函数为z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图.
作直线l:
3000x+2000y=0,即3x+2y=0.
平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.
联立解得x=100,y=200.
∴点M的坐标为(100,200).
∴z最大值=3000x+2000y=700000(元).
因此,该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.
变式训练5.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示:
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
已知生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,若要该企业每天获得利润最大,则甲、乙两种产品每天应分别生产多少?
解:
设该企业每天生产甲种产品x吨、乙种产品y吨,则x,y需满足约束条件可获利润z=3x+4y.约束条件表示的平面区域是以(0,0),(4,0),(2,3),(0,4)为顶点的四边形及其内部,把各顶点坐标代入目标函数检验可知,目标函数在点(2,3)处取得最大值3×2+4×3=18,即该企业每天可获得最大利润为18万元.
故要使该企业每天获得利润最大,该企业应每天生产甲种产品2吨、乙种产品3吨.
※当堂检测
1.已知变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为( )
A.-3B.C.-5D.4
解析:
依据不等式组画出可行域,确定点(2,-1)使z=3x+2y得到最大值4.答案:
D
2.已知x、y满足约束条件则(x+3)2+y2的最小值为( )
A.B.2C.8D.10
解析:
画出可行域(如下图所示).
(x+3)2+y2即点A(-3,0)与可行域上点(x,y)间距离的平方.显然|AC|长度最小,
∴|AC|2=(0+3)2+(1-0)2=10.
答案:
D
3.点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内,则z=x+y的最大值为________.
解析:
不等式组所表示的可行域如右图,当平行直线系z=x+y过点A(2,4)时,目标函数z=x+y取得最大值,z最大值=2+4=6.
答案:
6
4.设D为不等式组表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________.
解析:
不等式组表示的区域D如图阴影部分所示.由图知点P(1,0)与平面区域D上的点的最短距离为点P(1,0)到直线y=2x的距离d==.
答案:
5.已知变量x,y满足求z=2x+y的最大值和最小值.
解:
作出不等式组所表示的可行域,如下图所示阴影部分.
设直线l0:
2x+y=0,直线l:
2x+y=z,则z的几何意义是直线y=-2x+z在y轴上的截距.
显然,当直线越往上移动时,对应在y轴上的截距越大,即z越大;当直线越往下移动时,对应在y轴上的截距越小,即z越小.
作一组与直线l0平行的直线系l,上下平移,可得:
当直线l移动到直线l2时,即过点A(5,2)时,zmax=2×5+2=12;当直线l移动到直线l1时,即过点B(1,1)时,zmin=2×1+1=3.
6.有一根钢管,长度是4000mm,要截成长为500mm和600mm的两种毛坯钢管,且所截得的500mm毛坯钢管数量与所截得的600mm毛坯钢管数量之比大于1∶3,怎样截合理?
解析:
设截得500mm的毛坯钢管x根,600mm的毛坯钢管y根,所截得的毛坯钢管总数为z根,则有
即
作出可行域如图所示(不包括落在x轴上的边界)
目标函数为z=x+y,作一组平行直线x+y=t,经过可行域中的点且和原点距离最远的直线为过B(8,0)点的直线,这时x+y=8.由x,y∈N*知(8,0)不是最优解,因此,在可行域内找整点,得到点(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)均为最优解,此时x+y=7.
【练习2】 若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值是( )
A.-6 B.-2 C.0 D.2
解析:
作出函数y=|x|=和y=2围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示),则可得过交点A(-2,2)时,2x-y取得最小值-6,选A.
答案:
A
【练习3】 实数x,y满足不等式组求z=|x+2y-4|的最大值.
解析:
方法一:
作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分.z=|x+2y-4|=·,即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,此时zmax=21.
方法二:
由图可知,阴影区域内的点都在直线x+2y-4=0的上方,显然此时有x+2y-4>0,于是目标函数等价于z=x+2y-4,即转化为一般的线性规划问题.显然当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax=21.
1.不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的( )
A.左上方B.右上方C.左下方D.右下方
1.解析:
选D 将(0,0)代入2x-y-6,得-6<0,(0,0)点在不等式2x-y-6>0表示的平面区域的异侧.则所求区域在对应直线的右下方.故选D项.
2.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )
A.a<-1或a>24B.-24<a<7C.-7<a<24D.a<-24或a>7
2.解析:
选C 要使点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,必须且只需(3×3-2×1+a)[3×(-4)-2×6+a]<0即可,由此解得-7<a<24.
3.设点P(x,y),其中x,y∈N,满足x+y≤3的点P的个数为( )
A.10B.9C.3D.无数个
解析:
选A 作的平面区域,如图所示,
符合要求的点P的个数为10,故选A.
4.不等式组表示的平面区域是一个( )
A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形
解析:
选C 不等式组等价于或
分别画出其平面区域,可知选C.
5.完成一项装修工程,木工和瓦工的比例为2∶3,请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工资预算2000元,设木工x人,瓦工y人,请工人数的限制条件是( )
A.B.C.D.
解析:
选C 排除法:
∵x,y∈N*,排除B、D又∵x与y的比例为2∶3,∴排除A,故选C.
6.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是( )
A.该直线的截距 B.该直线的纵截距
C.该直线的纵截距的相反数D.该直线的横截距
解析:
选C 由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.
7.现有5辆载重6吨的汽车,4辆载重4吨的汽车,设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y
解析:
选A 由题意,要运送最多的货物,先找到两类型汽车运送的总货物量,即z=6x+4y.
8.z=x-y在的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )
A.(0,1) B.(-1,-1)C.(1,0)D.
解析:
选C 可以验证这四个点均是可行解,当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=,y=时,z=0.排除选项A,B,D,故选C.
9.已知变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为( )
A.3B.1C.-5D.-6
解析:
选C 由约束条件作出可行域如图:
由z=x+2y得y=-x+,的几何意义为直线在y轴上的截距,当直线y=-x+过直线x=-1和x-y=1的交点A(-1,-2)时,z最小,最小值为-5,故选C.
10.实数x,y满足不等式组则z=的取值范围是( )
A.B.C.D.
10.解析:
选D 利用数形结合思想,把所求问题转化为动点P(x,y)与定点A(-1,1)连线的斜率问题.画出题中不等式组所表示的可行域如图所示,目标函数z=表示阴影部分的点与定点A(-1,1)的连线的斜率,由图可知点A(-1,1)与点(1,0)连线的斜率为最小值,最大值趋近于1,但永远达不到1,故-≤z<1.
11.在△ABC中,三个顶点分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC的内部及其边界上运动,则y-x的取值范围为( )
A.[1,3]B.[-3,1]C.[-1,3]D.[-3,-1]
11.解析:
选C 先画出三角形区域(如图),然后转化为一个线性规划问题,求线性目标函数z=y-x的取值范围.由图求出其取值范围是[-1,3].
12.已知实数x,y满足不等式组若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.[1,+∞)
C.(0,1)
D.(-∞,-1)
12.A [解析]作出不等式组表示的平面区域(如图所示),
解方程组得即A(1,3).要使目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则直线y=ax+z的斜率a>1,故实数a的取值范围为(1,+∞).
13.已知变量x,y满足约束条件则的最大值是________,最小值是________.
解析:
由约束条件作出可行域(如图所示),目标函数z=表示坐标(x,y)与原点(0,0)连线的斜率.由图可知,点C与O连线斜率最大;B与O连线斜率最小,又B点坐标为(,),C点坐标为(1,6),所以kOB=,kOC=6.故的最大值为6,最小值为.
[答案] 6
14.如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中,使目标函数z=6x+8y取得最大值的点的坐标是________.
.解析:
首先作出直线6x+8y=0,然后平移直线,当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大,此时z最大.
答案:
(0,5)
15.设z=x+2y,其中实数x,y满足则z的取值范围是________.
解析:
画出可行域如图,
由z=x+2y,得y=-x+,
则的几何意义是直线y=-x+在y轴上的截距,当直线过点O及直线x-y+1=0和x+y-2=0的交点A时,z分别取得最小值0和最大值,故z的取值范围是.
答案:
16.已知点P(x,y)满足条件(k为常数),若z=x+3y的最大值为8,则k=________.
-6 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图所示.
解方程组得即A,易知直线y=-+经过可行域上的点A时,其在y轴上的截距最大,z取得最大值,则有-+3×=8,解得k=-6.
17.已知关于x,y的二元一次不等式组
(1)求函数u=3x-y的最大值和最小值;
(2)求函数z=x+2y+2的最大值和最小值.
19.解:
(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示.
由u=3x-y,得y=3x-u,得到斜率为3,在y轴上的截距为-u,随u变化的一组平行线,
由图可知,当直线经过可行域上的C点时,截距-u最大,即u最小.
解方程组得C(-2,3),∴u最小值=3×(-2)-3=-9.
当直线经过可行域上的B点时,截距-u最小,即u最大,解方程组得B(2,1),∴u最大值=3×2-1=5.
∴u=3x-y的最大值是5,最小值是-9.
(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域,如图所示.
由z=x+2y+2,得y=-x+z-1,得到斜率为-,在y轴上的截距为z-1,且随z变化的一组平行线.由图可知,当直线经过可行域上的A点时,截距z-1最小,即z最小,
解方程组得A(-2,-3),
∴z最小值=-2+2×(-3)+2=-6.
当直线y=-x+z-1与直线x+2y=4重合时,截距z-1最大,即z最大,
∴z最大值=x+2y+2=4+2=6.
∴z=x+2y+2的最大值是6,最小值是-6.
18.已知变量x,y满足约束条件
(1)设目标函数为z=,求z的最小值;
(2)设目标函数为z=x2+y2,求z的取值范围.
解:
作出不等式组表示的平面区域,即可行域(如图所示).
(1)解方程组得即B(5,2),
由z==,知z的几何意义是可行域中的点与原点O的连线的斜率.
观察图形可知zmin=kOB=,即z的最小值是.
(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.解方程组得即C(1,1).
结合图形可知,可行域上的点到原点的距离d中,
dmin=|OC|=,dmax=|OB|=,
故所求z的取值范围为[2,29].
19.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表:
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为多少(百万元)?
解析:
可设需购买A矿石x万吨,B矿石y万吨,则根据题意得到约束条件为:
目标函数为z=3x+6y,当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值,最小值为:
z最小值=3×1+6×2=15.
§3.3.2简单的线性规划问题
1.新课引入
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知条件可得二元一次不等式组:
(*)
思考:
若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
2.简单的线性规划问题
不等组(*)是一组对变量的约束条件,这组约束条件都是关于
,
的一次不等式,所以又称为线性约束条件.
函数
称为目标函数,又因
是关于变量
,
的一次解析式,所以又称为线性目标函数.
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题.
满足线性