1、平面向量中三点共线定理妙用平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量a,b(b O),ab的充要条件是:存在唯一的实数 ,使a b由该定理可以得到平面内三点共线定理:点共线定理:在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点uuv IV UJV的0,存在唯一的一对实数x,y使得:OP xOA yOB且x y特别地有:当点P在线段AB上时,x 0,y 0当点P在线段AB之外时,xy 0笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点共线定理与它的两 个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单!本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向
2、量中三点共线定理与它的两 个推广形式的妙用,供同行交流。例1 ( 06年江西高考题理科第 7题)已知等差数列an的前n项和为Sn,若uuj uur iuuOB a,OA a200 OC,且A、B、C三点共线,(设直线不过点 0),则S200 =( )A. 100 B . 101 C. 200 D . 201解:由平面三点共线的向量式定理可知:a1+a200=1, S200 200 如0) 100,故选A2点评:本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经 典的咼考题 1 4例2已知P是 ABC的边BC上的任一点,且满足AP xAB yAC,x.y R,则 - x y的最小
3、值是 解:Q点P落在VABC的边BC上 B,P,C三点共线uuu Q APuuu ujurxAB yAC且 x0,y01 4( )(xx y4xQ x0,y0由基本不等式可知:4x4x4,取等号时y 4xx y4x22xQ x 0, y 0 y 2x Q x13,yI,符合1所以丄x4的最小值为y点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功.例3 (湖北省2011届高三八校第一次联考理科)如图2,在ABC中,UULT 1 UULT uuuAN 3nc,点 P是BC上的一点,若APUUU 2 UULTmAB石AC,则实数m图2的值为(A. 21
4、1B. 511C. 311D.-11解:Q B, P,Nuuu三点共线,又Q APuuu 2 mAB2 UULT AC 11uuumAB2 UULT4AN 11uuu 8 uuu mAB AN 11m 111m -,故选C11例4 (07年江西高考题理科)如图3,在AABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点uuuM、N,若 AB =m AM , AC=n AN,贝U m + n的值为解:Q因为O是BC的中点,故连接AO,如图4,由向量加法的平行四边形法则可知:UULT UUUU UULTQ AB= m AM , ACUULT 1 uuu uuurAO (AB A
5、C) 2UULTnAN图3uur1uuLuruurAO-(mAM2nAN )uurmuuuun uurAOAM-AN22又Q M ,O, N三点共线,由平面内三点共线定理可得:m 2 1 m n 2P、Q例5 (广东省2010届高三六校第三次联)如图5所示:点G是A0AB的重心,设OPxOA,OQ yOB,证明:1 1疋疋值,x y证明:Q因为G是VOAB的重心,uur2 1 uuu uuu 1 uuuuurOG(OA OB) (OA (3 2 3OB)uuruur uur 1 ujurxOA OA OPuuuruuuunrQOPQOQyOBOBxuur1 uuu uuu 1 1 uuu 1(
6、OA OB) ( OP 3 3 x yuuruuiu1 uuuOP 3xOGOQ)OG1 1又QPGQ三点共线,3X 3y11 1x y3 -x分别是边OA、OB上的动点,且 P、G、Q三点共线.1 uuirOQ y1为定值y1 imr OQ 3y图5例6 (汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试)如图6所示,占八、)uuu r 记 AB a,uuirADrb,uur 则AG2 r 1 r2r3r小3r1 r4r2rA.a bB.abC. abD. ab7 7777777unr 1 mm uuur 1 uur在平行四边形ABCD中,AE - AB , AF AD ,CE与BF相交于G 3
7、4D-图6分析:本题是以平面几何为背景,为载体,求向量的问题,所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上,可用平面内三点共线定理求解由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数x使得利用平面内三点共线定理构造方程组求解, 避免了用的向量的加 法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂, 达到了简化解题过 程的效果。例6的变式一:如图7所示,在三角形ABC中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,BN 与CM相交于点P,且AB a,AC b,试用a、b表示AP图7解:QN,P,B三点共线, 由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数 x,y使uuu uur u
8、ur得 AP xAB yAN,x y 1Q AN : AC=1 : 4, AN AC丄buuuuuuyuuur y r 1 xr xa b xa b APxABAC4444 4又QC,P,M三点共线, 由平面内三点共线定理可得:存在唯一的一对实数 ,使得uur APuuuu AMuuuAC,1/AM : AB=1 : 3 AM1 - -AB 313a,uurrr1 rrAPabab 3313由两式可得:x3x118Q x y 1, yuuu 3 r AP a1 x2111111411例6的变式二:如图8所示:直线I过YABCD的两条对角线AC与BD的交点0 ,与AD边交于点N,与AB的延长线u
9、uu . uur 一,交于点 M。又知 AB = m AM , AD = n AN,贝U m + n= _解:因为点O两条对角线AC与BD的交点,所以点O为AC的中点UULT 1 uuu uur uuu umrAO (AB AD) Q AB = m AM , AD = n AN2uur i uuiur uur m uuuu n uurAO (mAM nAN ) AM AN 又Q M ,0, N 三点共线,2 2 2由平面内三点共线的向量式定理可得: m - 1 m n 22 2定理的推广:x,y使彳图:io点O,P位于直线 AB同侧的充要条件是:存在唯一的一对实数uuu i uuu uur例7
10、已知点P为VABC所在平面内一点,且 AP丄AB tAC (t 3若点P落在VABC的内部,如图11,则实数t的取值范围是( )1,所以A,D两解:由题目的条件知:点O与点P在直线AB的同侧,所以x选项不符合。对于选项B、C,都有x y 1,Q OP xOA yOB t x,t例9 (06年湖南高考题理科)如图13,OM /AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边uuu uuu uuu 1界)运动,且OP xOA yOB ,当x ?时,y的取值范围解:当x2时,图13如果点3P在直线AB上,则由平面内三点共线的向量式定理可知:y勺如果点P在直线0M上,uuu uu
11、uOM /AB可知:OPPAB,由平面向理共线定理可知:uuu数 t,使得 OPuuutABuuut(OBuuuOA)tOAuur tOB ,Q OP xOAyOB t x,tt 2,y12,又因为点P在两平行直线AB、OM之间,所以所以实数1 3y的取值范围是:(厂L1 r2r2 r1 rC. -abD. ab3333uurOB,其中a氏R且a+ 3=1,则x, y所满足的关系式为( )一 一 1 42、已知P是 ABC的边BC上的任一点,且满足 AP xAB yAC,x.y R,贝U - x y的最小值是 于点 F。已知 AB = a, AD = b,则 OF =( )5、 (2008年广东卷)在平行四边形ABCD 中,AC与BD交于点0, E是线段OD的中点,AEuuruuuruuu的延长线与CD交于点F .若ACa, BDb,则AF ()1 1 ,21,11 ,12,A.a b B.abC. abD. - ab4 23324338、如图所示:A,B,C是圆O上的三个点,CO的延长线与线段 AB交于圆内一点 D,若uuir uur uuuOC xOA yOB则有:(A.0 xB.x yA.x yA.
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