平面向量中三点共线定理妙用.docx

1、平面向量中三点共线定理妙用平面向量中“三点共线定理”妙用对平面内任意的两个向量a,b（b O）,ab的充要条件是：存在唯一的实数 ，使a b由该定理可以得到平面内三点共线定理：点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点uuv IV UJV的0,存在唯一的一对实数x,y使得：OP xOA yOB且x y特别地有：当点P在线段AB上时，x 0,y 0当点P在线段AB之外时，xy 0笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两 个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向

2、量中三点共线定理与它的两 个推广形式的妙用，供同行交流。例1 （ 06年江西高考题理科第 7题）已知等差数列an的前n项和为Sn，若uuj uur iuuOB a,OA a200 OC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点 0）,则S200 =（ ）A. 100 B . 101 C. 200 D . 201解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1, S200 200 如0） 100,故选A2点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经 典的咼考题 1 4例2已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足AP xAB yAC,x.y R，则 - x y的最小

3、值是 解：Q点P落在VABC的边BC上 B，P,C三点共线uuu Q APuuu ujurxAB yAC且 x0,y01 4( )(xx y4xQ x0,y0由基本不等式可知:4x4x4，取等号时y 4xx y4x22xQ x 0, y 0 y 2x Q x13，yI，符合1所以丄x4的最小值为y点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功.例3 （湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在ABC中,UULT 1 UULT uuuAN 3nc，点 P是BC上的一点，若APUUU 2 UULTmAB石AC，则实数m图2的值为（A. 21

4、1B. 511C. 311D.-11解：Q B, P,Nuuu三点共线，又Q APuuu 2 mAB2 UULT AC 11uuumAB2 UULT4AN 11uuu 8 uuu mAB AN 11m 111m -，故选C11例4 （07年江西高考题理科）如图3，在AABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点uuuM、N，若 AB =m AM , AC=n AN，贝U m + n的值为解：Q因为O是BC的中点，故连接AO,如图4，由向量加法的平行四边形法则可知:UULT UUUU UULTQ AB= m AM ， ACUULT 1 uuu uuurAO (AB A

5、C) 2UULTnAN图3uur1uuLuruurAO-(mAM2nAN )uurmuuuun uurAOAM-AN22又Q M ,O, N三点共线,由平面内三点共线定理可得：m 2 1 m n 2P、Q例5 （广东省2010届高三六校第三次联）如图5所示:点G是A0AB的重心,设OPxOA，OQ yOB，证明：1 1疋疋值，x y证明：Q因为G是VOAB的重心,uur2 1 uuu uuu 1 uuuuurOG(OA OB) (OA (3 2 3OB)uuruur uur 1 ujurxOA OA OPuuuruuuunrQOPQOQyOBOBxuur1 uuu uuu 1 1 uuu 1(

6、OA OB) ( OP 3 3 x yuuruuiu1 uuuOP 3xOGOQ)OG1 1又QPGQ三点共线，3X 3y11 1x y3 -x分别是边OA、OB上的动点，且 P、G、Q三点共线.1 uuirOQ y1为定值y1 imr OQ 3y图5例6 （汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,占八、）uuu r 记 AB a，uuirADrb，uur 则AG2 r 1 r2r3r小3r1 r4r2rA.a bB.abC. abD. ab7 7777777unr 1 mm uuur 1 uur在平行四边形ABCD中，AE - AB , AF AD ,CE与BF相交于G 3

7、4D-图6分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得利用平面内三点共线定理构造方程组求解， 避免了用的向量的加 法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂， 达到了简化解题过 程的效果。例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM : AB=1 : 3,AN : AC=1 : 4,BN 与CM相交于点P，且AB a，AC b，试用a、b表示AP图7解：QN,P,B三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 x,y使uuu uur u

8、ur得 AP xAB yAN,x y 1Q AN : AC=1 : 4, AN AC丄buuuuuuyuuur y r 1 xr xa b xa b APxABAC4444 4又QC,P,M三点共线， 由平面内三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 ,使得uur APuuuu AMuuuAC,1/AM : AB=1 : 3 AM1 - -AB 313a，uurrr1 rrAPabab 3313由两式可得：x3x118Q x y 1, yuuu 3 r AP a1 x2111111411例6的变式二：如图8所示：直线I过YABCD的两条对角线AC与BD的交点0 ,与AD边交于点N,与AB的延长线u

9、uu . uur 一,交于点 M。又知 AB = m AM , AD = n AN，贝U m + n= _解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点UULT 1 uuu uur uuu umrAO (AB AD) Q AB = m AM , AD = n AN2uur i uuiur uur m uuuu n uurAO (mAM nAN ) AM AN 又Q M ,0, N 三点共线，2 2 2由平面内三点共线的向量式定理可得： m - 1 m n 22 2定理的推广：x,y使彳图：io点O,P位于直线 AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数uuu i uuu uur例7

10、已知点P为VABC所在平面内一点，且 AP丄AB tAC （t 3若点P落在VABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（ ）1，所以A,D两解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以x选项不符合。对于选项B、C,都有x y 1,Q OP xOA yOB t x,t例9 （06年湖南高考题理科）如图13,OM /AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边uuu uuu uuu 1界）运动，且OP xOA yOB ,当x ?时，y的取值范围解：当x2时,图13如果点3P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：y勺如果点P在直线0M上,uuu uu

11、uOM /AB可知：OPPAB，由平面向理共线定理可知:uuu数 t,使得 OPuuutABuuut(OBuuuOA)tOAuur tOB ，Q OP xOAyOB t x,tt 2，y12，又因为点P在两平行直线AB、OM之间,所以所以实数1 3y的取值范围是：（厂L1 r2r2 r1 rC. -abD. ab3333uurOB，其中a氏R且a+ 3=1，则x, y所满足的关系式为（ ）一 一 1 42、已知P是 ABC的边BC上的任一点，且满足 AP xAB yAC,x.y R，贝U - x y的最小值是 于点 F。已知 AB = a, AD = b，则 OF =（ ）5、 (2008年广东卷）在平行四边形ABCD 中,AC与BD交于点0, E是线段OD的中点，AEuuruuuruuu的延长线与CD交于点F .若ACa, BDb，则AF ()1 1 ,21,11 ,12,A.a b B.abC. abD. - ab4 23324338、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段 AB交于圆内一点 D，若uuir uur uuuOC xOA yOB则有：（A.0 xB.x yA.x yA.