平面向量中三点共线定理妙用.docx
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平面向量中三点共线定理妙用
平面向量中“三点共线定理”妙用
对平面内任意的两个向量a,b（bO）,a〃b的充要条件是：
存在唯一的实数，使ab
由该定理可以得到平面内三点共线定理：
点共线定理：
在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：
对于该平面内任意一点
uuvIVUJV
的0,存在唯一的一对实数x,y使得：
OPxOAyOB且xy
特别地有：
当点P在线段AB上时，x0,y0
当点P在线段AB之外时，xy0
笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！
本文将
通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用，供同行交流。
例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若
uujuuriuu
OBa,OAa200OC，且A、B、C三点共线，（设直线不过点0）,则S200=（）
A.100B.101C.200D.201
解：
由平面三点共线的向量式定理可知：
a1+a200=1,•••S200200⑻如0）100,故选A
2
点评：
本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的咼考题
———14
例2已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR，则-xy
的最小值是解：
Q点P落在VABC的边BC上B，P,C三点共线
uuuQAP
uuuujur
xAByAC
且x>0,y>0
14
（）（x
xy
4x
Qx>0,y>0
由基本不等式可知:
4x
4x
4，取等号时
y4x
xy
4x2
2xQx0,y0y2xQx
1
3，y
I，符合
1
所以丄
x
4的最小值为
y
点评：
本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地
结合在一起,
较综合考查了学生基本功.
例3（湖北省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中,
UULT1UULTuuu
AN3nc，点P是BC上的一点，若AP
UUU2UULT
mAB石AC，则实数
m
图2
的值为（
A.2
11
B.5
11
C.3
11
D.-
11
解：
QB,P,N
uuu
三点共线，又QAP
uuu2mAB
2UULTAC11
uuu
mAB
2UULT
4AN11
uuu8uuu"mABAN11
m§1
11
m-，故选C
11
例4（07年江西高考题理科）如图3，
在AABC中，点
O是BC的中点，过点O的
直线分别交直线AB、AC于不同的两点
uuu
M、N，若AB=
mAM,AC
=nAN，贝Um+n的值为
解：
Q因为O是BC的中点，故连接AO,如图4，由向量加法的平
行四边形法则可知:
UULTUUUUUULT
QAB=mAM，AC
UULT1uuuuuur
AO—（ABAC）2
UULT
nAN
图3
uur
1
uuLur
uur
AO
-（mAM
2
nAN）
uur
m
uuuu
nuur
AO
AM
-AN
2
2
又QM,O,N三点共线,
由平面内三点共线定理可得：
m21mn2
P、Q
例5（广东省
2010届高三六校第三次联）如图5所示:
点G是A0AB的重心,
设OP
xOA，OQyOB，证明：
11
疋疋值，
xy
证明：
Q因为G是VOAB的重心,
uur
21uuuuuu1uuu
uur
OG
（OAOB）（OA（
323
OB）
uur
uuruur1ujur
xOAOA—OP
uuur
uuu
unr
QOP
QOQ
yOB
OB
x
uur
1uuuuuu11uuu1
（OAOB）（OP—
33xy
uur
uuiu
1uuu
OP3x
OG
OQ）
OG
11
又QPGQ三点共线，3X3y
1
11
xy
3-
x
分别是边OA、
OB上的动点，且P、G、Q三点共线.
1uuir
OQy
1为定值
y
1imrOQ3y
图5
例6（汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,
占
八、、）
uuur记ABa，
uuir
AD
r
b，
uur则AG
2r1r
2r
3r
小3r
1r
4r
2r
A.
ab
B.
a
b
C.a
b
D.a
b
77
7
7
7
7
7
7
unr1mmuuur1uur
在平行四边形ABCD中，AE-AB,AF—AD,CE与BF相交于G34
D-
图6
分析：
本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联
想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面内三点共线定理求解
由平面内三点共线定理可得：
存在唯一的一对实数x使得
利用平面内三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：
如图7所示，在三角形ABC中,AM:
AB=1:
3,AN:
AC=1:
4,BN与CM相交于点P，且ABa，ACb，试用a、b表示AP
图7
解：
QN,P,B三点共线，由平面内三点共线定理可得：
存在唯一的一对实数x,y使
uuuuuruur
得APxAByAN,xy1
QAN:
AC=1:
4,ANAC
丄b
uuu
uuu
y
uuu
ry[r1xrxabxab…
AP
xAB
AC
…•①
4
4
4
44
又QC,P,M三点共线，由平面内三点共线定理可得：
存在唯一的一对实数,使得
uurAP
uuuuAM
uuu
AC,
1
•/AM:
AB=1:
3•••AM
1--AB3
1
3a，，
uur
r
r
1r
r
AP
a
b
a
b…
②
3
3
1
3
由①②两式可得：
x
3
x
11
8
Qxy1,y
uuu3rAP—a
1x
2
11
11
11
4
11
例6的变式二：
如图8所示：
直线I过YABCD的两条对角
线AC与BD的交点0,与AD边交于点N,与AB的延长线
uuu.uur一,
交于点M。
又知AB=mAM,AD=nAN，贝Um+n=_
解：
因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点
UULT1uuuuuruuuumr
AO（ABAD）QAB=mAM,AD=nAN
2
uuriuuiuruurmuuuunuur
AO（mAMnAN）AMAN又QM,0,N三点共线，
222
由平面内三点共线的向量式定理可得：
m-1mn2
22
定理的推广：
x,y使彳图：
io
点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：
存在唯一的一对实数
uuuiuuuuur
例7已知点P为VABC所在平面内一点，且AP丄ABtAC（t3
若点P落在VABC的内部，如图11,则实数t的取值范围是（）
1，所以A,D两
解：
由题目的条件知：
点O与点P在直线AB的同侧，所以x
选项不符合。
对于选项B、C,都有xy1,
QOPxOAyOBtx,t
例9（06年湖南高考题理科）如图13,OM//AB,点P在由射
线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边
uuuuuuuuu1
界）运动，且OPxOAyOB,当x?
时，y的取值范围
解：
当x
2时,
图13
①如果点
3
P在直线AB上，则由平面内三点共线的向量式定理可知：
y勺
②如果点
P在直线0M上,
uuuuuu
OM//AB可知：
OPPAB，由平面向理共线定理可知:
uuu
数t,使得OP
uuu
tAB
uuu
t（OB
uuu
OA）
tOA
uurtOB，
QOPxOA
yOBtx,t
t2，y
1
2，又因为点P在两平行直线AB、OM
之间,
所以
所以实数
13
y的取值范围是：
（厂L
1r
2r
2r
1r
C.-a
b
D.a
b
3
3
3
3
uur
OB，其中a氏R且a+3=1，则x,y所满足的关系式为（）
一—一14
2、已知P是ABC的边BC上的任一点，且满足APxAByAC,x.yR，贝U-xy
的最小值是
于点F。
已知AB=a,AD=b，则OF=（）
5、（2008
年广东卷）在平行四边形
ABCD中,
AC与BD交于点0,E是线段OD的中点，AE
uur
uuur
uuu
的延长线与
CD交于点
F.若
AC
a,BD
b，则
AF（
）
11,
2
1,
1
1,
1
2,
A.
abB.
a
b
C.—a
b
D.-a
b
42
3
3
2
4
3
3
8、如图所示：
A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若
uuiruuruuu
OCxOAyOB
则有：
（
A.0x
B.xy
A.xy
A.
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