高等数学教案docx.docx

1、高等数学教案docx课 题第一章第一节函数课 时2课时主要教材或参考资料顾静和主编经济数学基础上，髙等教育出版社2003年6月； 邱森主编高等数学上，高等教育出版社2004年5月；教学H标1知识目标：让学生掌握数列极限与函数极限的定义2情感目标：培养学生的逻辑思维能力3能力目标：让学生更加深刻地认识辩证唯物主义思想教学重点函数的性质教学难点复合函数与初等函数的概念教学方法讲授法教学用具多媒体教学过程教学基木内容教学方法及时间分配课程导入1、复习函数定义，基本知识5分钟知识讲解一、函数的概念1.函数的定义设有两个变量x和y,若当变量兀在非空数集D 内任取一数值时，变量y按照某一对应规则/总有唯

2、一确定的数值与之对应，则称变量y是变量兀的函 数，记作y = /（兀），xeD其中变量兀称为自变量，变量y也称因变量，数集讲解法、 问题发 现法、 复习法75分钟知识讲解称为函数的定义域，/是函数符号，表示y与x的对应规则。2.函数要素与表示法函数的对应规则和定义域称为函数的两个要索。 判断两个函数是否相同，要求这两个函数的定义域和 对应规则完全相同，否则就是不同的函数。函数般可以用三种方法农小：解析法（公式 法）、表格法和图象法。二、函数的特性1.函数的有界性设函数= /（X）在某区间/内有疋义，若存在一 个正数M,对于所有的x g I ,恒有1 /（x） l M，则 称函数/（兀）在/内是

3、有界的。若不存在这样的正数 M ,则称/（兀）在/内是无界的。2.函数的单调性设函数y = /（兀）在某区间/内有定义，若对于区 间/内任意两点兀|和兀2，当X X2时，有 /（x,） /（%2）,则称 在区间/内是单调减少的，区间/称为单调减区间。 单调增区间或单调减区间统称为单调区间。3.函数的奇偶性知识讲解设函数y = /(x) V.关于原点对称区间I内有定 义，若对于任意xe I, f萌/(-x) = /(x),贝1称/(x) 为偶函数;若f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数； 否则称几兀)为非奇非偶函数。4.函数的周期性设函数y = 在某区间/内有定义，若存在不为零的常数

4、八有x + TgZ,使f(x + T) = f(x)恒成 立，则称函数几兀)为周期函数，常数7称为函数的 周期；若存在使等式成立的最小止数7则称Z为 /(兀)的最小正周期。三、 反两数设y = f(x)是y关的函数，其定义域是D, 值域是M。若对于M屮的每一个y值，都有一个确 定的且满足y = f(x)的X值与之对应，则得到一个定 义在M上的以y为自变量，x为因变量的新函数， 称Z为y = f(x)的反函数，记作兀= /*()，并称 y = /(x)为直接函数。四、 基本初等函数常值函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角 函数和反三角函数六大类函数统称基本初等函数五、 复合函数与初等函数1.复

5、合函数设y是比的函数y = f(u) , u是兀的函数 U =(p(x) O若u =(p(x)的值域或其部分包含在 y = /(w)内，则y通过变量构成x的函数关系 y = f p(x)l是，=/()与w = A （n oo）。7：-XO若TOO时，兀无限趋近的常数A不存在，则称数 列的极限不存在，或称数列发散。二、函数的极限1.当XT GO时，函数/（兀）的极限设函数y = /（x）在1兀卜M（M为某一正数）时 有定义，若当兀的绝对值丨刃无限増大时，函数 y = /（x）无限接近于一个常数4,则称4为函数 /（尢）当兀Too时的极限，记为lim /（x） = A 或 /（x） = A （兀

6、t oo）此时，也称当XT oo时函数/（兀）的极限存在且等于 Ao2.当XTX（）时，函数/（X）的极限设函数y = f （x）在观的某一空心邻域N（x0,5）内有定义，当自变量兀在川(无0,5)内无限接近于兀0 时，相应的两数值无限接近于一个常数A,贝称A为 当xx0时函数门劝的极限，记为lim f(x) = A 或 /(x) A (x x0) XT%亦称当时，/(X)的极限存在。否则称当 X T兀0时，/(X)的极限不存在。3、单侧极限设函数y = f(X)在X()的左半邻域(Xo-5,兀)内 有定义，当兀在此半邻域内无限接近兀。时，对应的 两数值接近某一常数A ,贝1淋A为函数于(兀)

7、在兀。处 的左极限，记为lim /(x) = A 或 f(x) = A 或 XT%/(x)- A(x-Xq)o设函数y = /(x)在X。的右半邻域(x0, x0 + 5)内 有定义，当兀在此半邻域内无限接近兀。时，对应的 函数值接近某一常数4,贝4为函数/(Q在心处 的右极限，记为lim /(x) = A 或 f(x；) = A 或/(x)T A(兀 T 对)0左极限与右极限统称单侧极限，而将函数y = /(兀)在点X。处的极限称为双侧极限。显然，单 侧极限与双侧极限有如下重要关系：定理11 lim /(x) = A的充分必要条件是 Xf0lim /(x) = lim f (x) = A。三

8、、例题讲解：34课堂小结本节主要内容是要掌握数列的极限与函数的极 限探究法 5分钟课后作业P34 习题 11、125分钟板 书 设 计12极限的概念一、数列的极限 三、例题讲解二、函数的极限 四、课堂练习指导教师意见 教研室主任意见教 学 后记课 题第一章 第三节 无穷小量与无穷大量课 时2课时主要教材或参考资料顾静相主编经济数学基础上，高等教育出版社2003年6 月；邱森主编高等数学上，高等教育出版社2004年5月；教学目标1知识H标：让学生掌握无穷小量与无穷大量的概念、性质及 无穷小的比较2情感口标：培养学生的逻辑思维能力3能力冃标：培养学生的辩证唯物主义思想教学重点无穷小量的性质与无穷小

9、虽的比较教学难点无穷小量的性质与无穷大量的性质教学方法讲授法教学用具多媒体教学过程教学基本内容教学方法及时间分配课程导入3、无穷小量例了引入5分钟知识讲解一、无穷小量1.无穷小量的定义若函数= f(x)在兀的某个变化过程屮以零为 极限，则称/(兀)为该变化过程的无穷小量，简称无 穷小。无穷小量经常用小写希腊字母a, 0, 丫等来表/Ji O注意：无穷小表达的是量的一种变化状态，而不是讲解法、 问题发 现法、 复习法75分钟量本身的大小。一个常量无论多么小，都不能是无 穷小量，数零是唯一作为无穷小的常量。也不能笼 统地说某个量是无穷小量，无穷小量是与极限过程 相联系的，必须指明它的极限过程。在某

10、个变化过 程中的无穷小量，在其它过程中则不一定是无穷小 量。例如，当xtO时，tan兀是无穷小量；而当x 2 时，tan兀是无穷人量。定理1.2函数y = /(x)以A为极限的充分必要 条件是：/(兀)可以表示为A与一个无穷小量a之和。 即lim/(x) = A /(x) = A + a 其中 lima = 02.无穷小量的性质下面不加证明地介绍无穷小量的四个性质：性质11有限个无穷小量的代数和仍为无穷 小。性质1.2有界函数与无穷小的积为无穷小。 性质1.3常数与无穷小的乘积仍为无穷小。 性质1. 4有限个无穷小的乘积仍为无穷小。二、无穷大量1.无穷大量的定义若函数y二/(兀)在兀的某个变化

11、过程中，相应的 函数值的绝对值1 /(x)l无限增人，则称/(兀)为该变 化过程中的无穷大量，简称无穷大。记为lim f(x) = oo注意：无穷大中虽然用了极限符号，但并不意 味着/(兀)有极限，因为00表示的是一种状态，而不 是一个常数。-个无论多么人的数，都不能作为无 穷大量。无穷大量分为正无穷大量+00和负无穷大 量-00,函数在变化过程屮只有绝对值越来越大但 可以无限增大时，才是无穷大量。例如：当XT 00时， f(x) = xsinx的绝对值可以无限增大，但不是越来 越大，因而它不是无穷大量。同无穷小样，当我 们说某个函数是无穷大量时，也必须指明它的极限 过程。2.无穷大与无穷小的

12、关系定理 1 3 若 lim/(x) = oo ,则 lim = 0 ；磁， /Wr 若 lim /(x) = 0 且 /(x)工 0 ,则 lim = oo ,其中 C是不为零的常数。三、无穷小量的比较定义113设01、0是同一变化过程中的无穷小 里，若lim彳=0,贝淋ot是比B高阶的无穷小量，记 为 a = o(p)；若limj = oo,则称a是比卩低阶的无穷小量;若喘亠。（C为常量），则称a与卩是同阶的无穷小量，当C = 1时，则称（X与卩是等价的无穷小量，记为asp。四、例题讲解：14课堂小结无穷小量与无穷大量的概念、无穷小量的性质与比较探究法 5分钊|课外习题第一章极限与连续1.

13、 3 无穷小量与无穷大量三、无穷小量的比校指导教师意见教研室主任意见教 学 后 记课 题第一章第四节 极限的性质与运算法则课 时2课时主要教材顾静相主编经济数学基础上，高等教育出版社2003年6或参考资月；料邱森主编高等数学上，高等教育出版社2004年5月；1知识目标：让学生掌握函数极限的运算法则教学目标2情感H标：培养学生逻辑思维能力3能力口标：培养学生的思维及运算能力教学重点函数的极限运算法则教学难点函数的极限运算教学方法讲授法教学用具多媒体教学方教学过程教学基本内容法及时间分配课程导入4、复习函数的极限定义，基本性质5分钟一、函数极限的性质讲解法、以下性质只对的情形加以叙述，其它形问题发

14、式的极限也有类似的结果。现法、性质1. 5 （唯一性）若lim f（x） = A ,且XT%复习法75分钟知识讲解lim = 则 A = B o性质16(有界性)若lim f(x) = A，则函数于(x)Af 0在x0的某空心邻域/V(x0,6)内有界。性质1. 6 （保号性）若lim /（x） = A ,且A 0 （或XTAvO ),则在兀的某空心邻域N(x0,5)内恒有/(x)0 (或/(x) 0 (或 /(x)0 (或 A0)o二、 函数极限的运算定理 1. 4 若 limw(x) = A , limv(x) = B ,贝U(1)limw(x) v(x) = limu(x)limv(x)

15、 = AB ；(2)limw(x)-v(x) = limw(x) - lim v(x) = A - B ；(3)当 limv(x) = B 0 时 ,w(x) limw(x) Alim = =v(x) limv(x) B推论设limw(x)存在，c为常数，为正整数， 则(1)limc w(x) = c-limw(x)；(2)limw(x)w =limw(x)Mo注意：在使用极限法则时，要求每个参与运算的 函数的极限必须存在。三、 例题讲解:17课堂小结函数极限的运算法则探究法 5分钟课后作业P34 习题 13、145分钟板 书 设计第一章极限与连续14极限的性质与运算法则一、 函数极限的性质

16、三、例题讲解：17二、 函数极限的运算指导教师意见教研室主任意见教学 后 记课 题第一章 第五节 两个重要极限课 时2课时主要教材或参考资料顾静相主编经济数学基础上，高等教育出版社2003年6 月；邱森主编高等数学上，高等教育出版社2004年5月；教学目标1知识目标：让学生掌握两个重要极限2情感冃标：培养学生的严密思维能力3能力目标：培养学生证明及运算能力教学重点两个重要极限教学难点两个重要极限应用教学方法讲授法教学用具多媒体教学过程教学基本内容教学方法及时间分配课程导入、极限存在准则定理1.6 (极限夹逼准则)若函数/(兀)、g(x)、/i(x)在点x0的某个空心邻域内满足条件： g(x)

17、/(x) 0,公式还可以写 X成1lim(l + y)y - e)t0注意：此重要极限的底数为“1 +无穷小”的形 式，指数为无穷人，且恰为底数中无穷小的倒数， 记为“1型”不定式，其一般形式可写为 1 1lim 1+ =0 或 lim l + /(x)/u) =三、 例题讲解：1 -8讲解法、 问题发 现法、 复习法70分钟课堂小结主要要掌握两个重要极限及其应用探究法 5分钟课后作业P34 习题 13、145分钟第一章极限与连续书设一、极限存在准则计二、两个垂要极限指导教师意见1.5两个重要极限教研室主任意见教 学 后 记课 题第一章第六节函数的连续性课 时4课时主要教材或参考资料顾静相主编

18、经济数学基础上，高等教育出版社2003年6 月；邱森主编高等数学上，高等教育出版社2004年5月；教学目标1知识目标：使学生掌握函数连续的概念、间断点的分类、闭 区间上连续函数的性质2情感H标：培养学生的逻辑思维能力3能力口标：培养学生的辩证唯物主义思想教学重点函数连续的概念、间断点的分类、闭区间上连续函数的性质教学难点间断点的类型判断教学方法讲授法教学用具多媒体教学过程教学基本内容教学方法及时间分配课程导入5、复习极限定义，基本性质5分钟知识讲解一、连续函数的概念设函数y = /(x)在点x0的某一邻域N(x(), 5)内 有定义，任取x w N(x(), 6),有Ax二x -兀()，若 l

19、im Ay = lim/(x0 + Ax)-/(x0) = 0 ,则 称函数 y = /(兀)处连续。函数在点X。处连续也可定义如K：设函数，=f (x)在点x0的某一邻域N(兀。,8)内讲解法、 问题发 现法、 复习法75分钟有定义，若当兀TJC。时，函数/(尢)的极限存在，且*于于(X)在点处的函数值/(x0),即lim/(x) = /(x0)XT%则称函数/(力在点心处连续。若lim /(x) = /(x0),贝！J称函数/(兀)在点兀处左连续；若lim/(x) = /(x0),则称函数/在点处 XT%右连续。显然，函数y = /(对在点心处连续的充要条件是/(X)在兀。处既左连续且右连

20、续。(1)若函数y =于(兀)在点兀连续，则f(x)在点x0 处的极限一定存在；反Z,若/(X)在点X。处的极限 存在，则函数/(兀)在点兀o处不一定连续。若函数在点处连续，要求时/(X)的极限，只需求出产(兀)在点兀0处函数值/(x0)即可。(3)当函数/(兀)在点心处连续时，有lim /(x) = /(x0) = /(lim x)x-.r0 xf 巾这个等式的成立意味着在函数连续的前提卜极 限运算和函数运算可以互相交换顺序。为一结论给 我们求极限带来相当大的方便。函数在区间上连续的概念。若函数y = /(x)在区间S)内任何一点都连续,则称/(兀)在区间(,b)内连续。若函数y = /(x

21、)在区间(a,b)内连续，且Hm /(x) = f(a), lim /(x) = f(b),则称于(兀)在区X-b间d,b内连续。二、连续函数的运算1、 若函数兀力和g(对都在点兀。处连续,则/(x)g(x), f(x)-g(x)9 2(g(x)H0)都在兀0处 g连续。2、 若函数y = f(x)在某区间人上单调增(单调减)且连续，则它的反函数尢=fy)在相应的区间/、上也单调增(单调减)且连续。3、 若函数u =(p(x)在点兀。处连续，且知=(pOo)，而y = /(W)在对应点知处连续，则复合函数y = /q)W在点兀。处连续。由连续性定理，容易得出如下两个重要结论：(1)基本初等函数

22、在其定义域内都是连续函数；(2)一切初等函数在其定义区间内都是连续函 数。由函数的连续性，若/(X)在点兀。处连续，则lim /（x） = /Oo），于是，我们可以用“代入法”求 两数的极限。三、函数的间断点：1、若函数y = f（x）在点心处不满足连续条件， 则称函数/（兀）在点心处不连续或间断，点兀0称为函 数/（X）的不连续点或间断点。由此可见，若函数y = f（x）有下列三种情况Z * 1函数/（兀）在点兀。处无定义；2lim /*（兀）不存在;3lim/（兀）虽然存在，但lim f（x） /（x0）;XT% XT%则可判断函数/（兀）在点兀（）处间断，点X（）即为函数的 间断点。2、

23、间断点的分类设兀。为两数y = f（x）的一个间断点，若当 x x0时，/（兀）的左、右极限都存在，则称点兀。为 /（兀）的第一类间断点；否则，称点兀0为/（兀）的第一 类间断点。对第一类间断点有（1）当lim /（x）与lim f （兀）均存在，但不相等时，X勺 X称点x0为/W的跳跃间断点；（2）当lim/存在，但不等于/（兀）在兀。处的函 欠TXo数值门兀0）时，称点兀。为/（X）的可去（可补）间断 点。对第二类间断点有（1） 当lim /（x） = 00时，则称x0为/（x）的无穷间 断点；（2） 当2兀。时,函数于（兀）的值是无限多次变动且不能确定的，则称心为/（力的振荡间断点。四、闭区间上连续函数的性质设函数y = /（x）在闭区间上连续，则函数至少存在一点wa,b,使得/（） = M；至少存 在一点g a,b,使得/（S,2） = m o且对任意 x e a,h,有 m /（x） M 注意 最值存在定理及其推论屮的条件“闭区间” 和“连续”是结论成立的充分条件，两者缺不可。(介值定理)若函数丿=/(兀)在闭区间a,b 连续，则在开区间(d,b)内至少存在一点g ,使得 /(Q = |1,其中 m ji M , a b o(零点定理)若函数y = /(x)在闭区间a,b.上 连续,且/()/(/?