平面空间向量的练习题.docx

1、平面空间向量的练习题 平面空间向量的练习题 平面向量的实际背景及基本概念： 了解向量的实际背景。 理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。 理解向量的几何表示. 向量的线性运算： 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 平面向量的基本定理及坐标表示： 了解平面向量的基本定理及其意义。 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 平面向量的数量积： 理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影

2、的关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 向量的应用： 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 、空间向量及其运算：了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 空间向量的应用：理解直线的方向向量与平面的法向量。能用向量 语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。能用向量方法证明有

3、关直线和平面位置关系的一些定理。能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 二、知识要点归纳： 、平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：.、 既有大小又有方向 的量叫做向量.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作AB；长度为零的向 量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定：零向量与 任意向量平行. 2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长

4、度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2 ? . 2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.、 三角形减法法则和 平行四边形减法法则. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数?与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：?， 它的长度和方向规定如下： ?当?0时, ?的方向与的方向相同；当?0时, ?的方向与的方向相反.、 平面向量共线定理：向量aa?0与 共线，当且仅当有唯一一个实数?，使 ?. ? 2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理

5、：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a?1e1?2e2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ?x?y?x,y?. 2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设?x1,y1?,?x2,y2?，则： x1?x2,y1?y2?， a?b?x1?x2,y1?y2?， x1,?y1?，/?x1y2?x2y1. 2、 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则： AB?x2?x1,y2?y1?. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，则 xy?y 线段AB中点坐标为x?，ABC

6、的重心坐标为x?x3?x,y?y3?y?.,2? 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 . 、 在 ?.、 ?. 、 ?.、 0.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设?x1,y1?,?x2,y2?，则： ?x1x2?y1y2 ?x12?y12 a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0a/b?a?b?x1y2?x2y1?0、 设A ?x1,y1?,B?x2,y2?x2?x12?y2?y12.、 两向量的夹角公式 a?bab ? 2 cos? 4、点的平移公式 平移前的点为P，平移后的对应点为P?，平移向量为PP?，则? ?x

7、?x?h ?y?y?k. 函数y?f的图像按向量a?平移后的图像的解析式为y?k?f.5.1、平面几何中的向量方法.5.2、向量在物理中的应用举例 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳. 高考试题 一、选择题 uuruur VABC中，1、点D在AB上，CD平方?ACB若CB?a，CA?ba?1，uuur b?2，则CD? a?b a?b a?b a?b答案：B设向量a，b，c满足a=b =1，ab=?，a?c,b?c=600，则c 2最大值等于 A B C D1 答案：A 3已知a与b均为单位向量，其夹角为?，有下列四个命题 ?

8、2? P:a?b?10,1?3 ?2? P:a?b?1,3? 1 1 323231335454535 P3:a?b?10 ,? P4:a?b?1,? ?3?3? 其中的真命题是 AP1,P4 BP1,PCP2,PDP2,P 答案：A 4、?ABC中，AB边的高为CD，若CB?a，CA?b，a?b?0，|a|?1， |b|?2，则AD? a?b a?ba?ba?b答案：D m?n?，则?=已知向量m1,1?,n2,2?，若?m?n 1 313232335354545 -1 答案：B.若向量a,b满足：|a|?1，?a，?b，则|b|? 1 空间向量在立体几何中的应用 v,v1、已知直线l1,l2

9、的方向向量分别为12，平面?,?的法向量分别为n1,n2，则 l1/l2?；l1?l2? ；若直线l1,l2的夹角为?，则cos? l1/?；l1；若直线l1与面?的成角为?，则sin?； 面?/面?；面?面? ；若面?与面?成二面角的平面角为?，则 。、三余弦定理：； 三垂线定理： ； 二面角的平面角定义： ； 1、A、B，则线段AB的长度是 A.1 B. C. D.2、向量a，b，则a与b A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对 3.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若A1B1=a， A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与B1M相等的向量是 A.

10、1111 a+b+c B.a+b+c222111 b+cD.ab+c22 111 OA?OB?OC35 C.a 1 2 4.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是 A.OM?3OA?2OB?OCB.OM? C.0 D.0 5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF?DC等于 2 A. 3311 B.? C.D.? 4444 6.若a?，b?，a与b的夹角为600，则?的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.1 7.设?，?，?，则线段AB的中点P到点C的距离为 A. 53 B.C. D.244 8.如图，ABCD-A1B1

11、C1D1为正方体，下面结论错误的是 A.BD平面CB1D1 B.AC1BD C.AC1平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1, 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A . B. C . D .555 10.ABC的三个顶点分别是A，B，C，则AC边上的高BD长为 A.B.41 C.D.11.设a?，b?，且a/b，则xy?. 12.已知向量a?，b?，?a?b?29且?0，则?=_. 13.在直角坐标系xOy中，设A，B，沿x轴把直角坐标平面折成大小为?的二面角后，这时AB?2，则?的大小为 1

12、4.如图，PABCD是正四棱锥，ABCD?A1B1C1D1是正方体， 其中AB?2,PA?B1到平面PAD 的距离为 . 15、已知a?2,4,x?,b?2,y,2?，若a?6且a?b，求x?y值. 3 16如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. 求的长； 求cos的值 求证：A1BC1M. 17.如图，在四面体ABCD中，CB?CD，AD?BD，点E，F分别是AB，BD的中点求证： 直线EF/面ACD； 平面EFC?面BCD18.如图，已知点P在正方体ABCD?ABCD的对角线BD上，PDA=60. DC求DP

13、与CC所成角的大小； 求DP与平面AADD所成角的大小. AB P D C A B 19.已知一四棱锥PABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点 求四棱锥PABCD的体积； 是否不论点E在何位置，都有BDAE？证明你的结论; 若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小 P E D C 正视图 俯视图 A B 侧视图 参考答案1、C、C 1111 3.B1?B1?A1?=c+=a+b+c，故选A. 2222 4. 由于M、A、B、C四点共面?x?y?z且x?y?z?1 ?选项、都不正确.由于MA?MB?MC?0?MA?MB?MC 所以存在x?1,y?1,使MA?xMB?yMC?MA,MB,MC

14、共面 故选D. 由于M为公共点?M、A、B、C四点共面， 5.E,F分别是AB,AD的中点,?EF/BD且EF? ?EF?DC? 11 BD,?, 22 111 BD?DC?BD,DC1?1?cos1200?故选B.24 6.B7.B8.D9.D 10. ?cos?,?11.12.3 13.作ACx轴于C，BDx轴于D，则 ?3?5?2,?0,?0,?1800?)?6cos? 21 ?2?32?52?22?2,?cos.由于 001800,1200 2 2 ?4? ?5,故选A 14.以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是 m?，?AD?,AP?

15、，y?0,x?y?2z?0， ? 取z?1得m?， B1A?m ?B1A?，B1到平面PAD 的距离d?. m 222 15、解：由a?6?2?4?x?36，又a?b?a?b?0即4?4y?2x?0 由有：x?4,y?3或x?4,y?1?x?y?1或?16、如图，建立空间直角坐标系Oxyz. 依题意得B、N | |= 2?2?2?3. 依题意得A1、B、C、B1 CB1=3，|1|=1=1，1，2，CB1=0，1，2，1 |CB1|= 6， 5 11?1 . 10 cos 2222 C1M=0.1 11 ?+0=0，1C1M，A1BC1M.2 17.证明：E,F分别是AB，BD的中点， EF是

16、ABD的中位线，EFAD， AD?面ACD，EF?面ACD，直线EF面ACD； ADBD，EFAD，EFBD， CB=CD，F是的中点，CFBD 又EFCF=F,BD面EFC， BD?面BCD，面EFC?面BCD. 18.解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?xyz 0，0)，CC?连结BD，B?D? 则DA?，由已知?DH，DA?60?， 设DH? 平面AA?D?D的一个法向量是DC? C1 A11 AE 考点五存在性问题 4问题5：如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AAC11C是边长为的正方形， ABC平面ABC?平面AAC；11C，AB?3，BC?5.?1?求证：AA1平面 ；?3?证明：在线段BC1存在点D，使?2?求二面角A1?BC1?B1的余弦值得AD?ABD 1B，并求BC的值. 1 A1B1 C1 AB C