平面空间向量的练习题.docx
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平面空间向量的练习题
平面空间向量的练习题
平面向量的实际背景及基本概念：
①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念，理解两个向量的相等含义。
③理解向量的几何表示.
向量的线性运算：
①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.
平面向量的基本定理及坐标表示：
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
平面向量的数量积：
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
向量的应用：
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
、空间向量及其运算：
①了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
空间向量的应用：
①理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量
语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。
③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理。
④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
二、知识要点归纳：
、平面向量
2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量：
.、既有大小又有方向
的量叫做向量..1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：
起点、方向、长度.、向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作AB；长度为零的向
量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定：
零向量与
任意向量平行.
2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量..2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2
?
.
2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.、三角形减法法则和
平行四边形减法法则.
2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定：
实数?
与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：
?
，
它的长度和方向规定如下：
⑴?
⑵当?
?
0时,?
的方向与的方向相同；当?
?
0时,?
的方向与的方向相反.、平面向量共线定理：
向量aa?
0与共线，当且仅当有唯一一个实数?
，使
?
?
.
?
2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理：
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这
一平面内任一向量a，有且只有一对实数?
1,?
2，使a?
?
1e1?
?
2e2..3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、?
x?
y?
?
x,y?
.
2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设?
?
x1,y1?
?
?
x2,y2?
，则：
⑴x1?
x2,y1?
y2?
，⑵
a?
b?
?
x1?
x2,y1?
y2?
，
⑶x1,?
y1?
，⑷//?
x1y2?
x2y1.
2、设A?
x1,y1?
B?
x2,y2?
，则：
AB?
?
x2?
x1,y2?
y1?
.
2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设A?
x1,y1?
B?
x2,y2?
C?
x3,y3?
，则
xy?
y
⑴线段AB中点坐标为x?
，⑵△ABC的重心坐标为x?
x3?
x,y?
y3?
y?
.,2?
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
.、在
?
.、
?
.、
?
.、0..4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设?
?
x1,y1?
?
?
x2,y2?
，则：
⑴?
?
x1x2?
y1y2
?
x12?
y12
⑶a?
b?
a?
b?
0?
x1x2?
y1y2?
0⑷a//b?
a?
?
b?
x1y2?
x2y1?
0、设A
?
x1,y1?
B?
x2,y2?
?
x2?
x12?
y2?
y12.、
两向量的夹角公式
a?
bab
?
2
cos?
?
4、点的平移公式
平移前的点为P，平移后的对应点为P?
，平移向量为PP?
?
，则?
?
x?
?
x?
h
?
y?
?
y?
k.
函数y?
f的图像按向量a?
平移后的图像的解析式为y?
k?
f..5.1、平面几何中的向量方法.5.2、向量在物理中的应用举例
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
高考试题一、选择题
uuruur
VABC中，1、点D在AB上，CD平方?
ACB．若CB?
a，CA?
ba?
1，uuur
b?
2，则CD?
a?
ba?
ba?
ba?
b答案：
B．设向量a，b，c满足a=b=1，ab=?
，a?
c,b?
c=600，则c
2最大值等于
A．B
C
D．1答案：
A
3．已知a与b均为单位向量，其夹角为?
，有下列四个命题
?
2?
P:
a?
b?
10,1?
?
3
?
?
2?
?
P:
a?
b?
1,3?
1
1
323231335454535
P3:
a?
b?
10
?
P4:
a?
b?
1,?
?
?
3?
?
3?
其中的真命题是A．P1,P4
B．P1,PC．P2,PD．P2,P答案：
A
4、?
ABC中，AB边的高为CD，若CB?
a，CA?
b，a?
b?
0，|a|?
1，
|b|?
2，则AD?
a?
ba?
ba?
ba?
b答案：
D
m?
n?
，则?
=．已知向量m1,1?
n2,2?
，若?
m?
n
1
313232335354545
-1答案：
B．.若向量a,b满足：
|a|?
1，?
a，?
b，则|b|?
1
空间向量在立体几何中的应用
v,v1、已知直线l1,l2的方向向量分别为12，平面?
?
的法向量分别为n1,n2，则
l1//l2?
；l1?
l2?
；若直线l1,l2的夹角为?
，则cos?
?
l1//?
?
；l1；若直线l1与面?
的成角为?
，则sin?
?
；
面?
//面?
?
；面?
?
面?
?
；若面?
与面?
成二面角的平面角为?
，则。
、三余弦定理：
；
三垂线定理：
；二面角的平面角定义：
；1、A、B，则线段AB的长度是A.1B.C.D.2、向量a＝，b＝，则a与b
A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对
3.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若A1B1=a，
A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与B1M相等的向量是
A.－
1111
a+b+cB.a+b+c222111
b+cD.－a－b+c22
111
OA?
OB?
OC35
C.a－
1
2
4.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是A.OM?
3OA?
2OB?
OCB.OM?
C.0D.0
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF?
DC等于
2
A.
3311
B.?
C.D.?
4444
6.若a?
，b?
，a与b的夹角为600，则?
的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.1
7.设?
，?
，?
，则线段AB的中点P到点C的距离为A.
53
B.C.D.244
8.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是．．A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A
.
B.C
.D
.555
10.⊿ABC的三个顶点分别是A，B，C，则AC边上的高BD长为
A.B.41C.D.11.设a?
，b?
，且a//b，则xy?
.
12.已知向量a?
，b?
，?
a?
b?
29且?
?
0，则?
=________.13.在直角坐标系xOy中，设A，B，沿x轴把直角坐标平面折成大小为?
的二面角后，这时AB?
2，则?
的大小为．14.如图，P—ABCD是正四棱锥，ABCD?
A1B1C1D1是正方体，
其中AB?
2,PA?
B1到平面PAD
的距离为.
15、已知a?
?
2,4,x?
b?
?
2,y,2?
，若a?
6且a?
b，求x?
y值.
3
16如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.求的长；
求cos的值求证：
A1B⊥C1M.
17.如图，在四面体ABCD中，CB?
CD，AD?
BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
直线EF//面ACD；平面EFC?
面BCD．18.如图，已知点P在正方体ABCD?
A’B’C’D’的对角线BD’上，∠PDA=60°.
D’C’求DP与CC’所成角的大小；
求DP与平面AA’D’D所成角的大小.
A’B’
P
DC
AB
19.已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点．
求四棱锥P－ABCD的体积；
是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？
证明你的结论;若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小．P
E
D
C
正视图
俯视图
A
B
侧视图
参考答案1、C、C
1111
3.B1?
B1?
?
A1?
=c+=－a+b+c，故选A.
2222
4.
由于M、A、B、C四点共面?
?
x?
y?
z且x?
y?
z?
1
?
选项、、都不正确.由于MA?
MB?
MC?
0?
MA?
?
MB?
MC
所以存在x?
?
1,y?
1,使MA?
xMB?
yMC?
MA,MB,MC共面
故选D.由于M为公共点?
M、A、B、C四点共面，
5.∵E,F分别是AB,AD的中点,?
EF//BD且EF?
?
EF?
DC?
11
BD,?
?
22
111
BD?
DC?
?
BD,DC1?
1?
cos1200?
?
故选B.24
6.B7.B8.D9.D10.
?
?
cos?
?
?
11.12.3
13.作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则
?
3?
5?
2,?
?
0,?
?
0,?
1800?
?
）?
?
6cos?
21
?
2?
32?
52?
22?
2,?
cos.由于001800,1200
2
2
?
4?
?
5,故选A
14.以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是
m?
，?
AD?
AP?
，∴y?
0,x?
y?
2z?
0，?
?
取z?
1得m?
，
B1A?
m
?
B1A?
，∴B1到平面PAD
的距离d?
?
.
m
222
15、解：
由a?
6?
2?
4?
x?
36，又a?
b?
a?
b?
0即4?
4y?
2x?
0
由①②有：
x?
4,y?
?
3或x?
?
4,y?
1?
x?
y?
1或?
16、如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
依题意得B、N∴||=
2?
2?
2?
3.
依题意得A1、B、C、B1
CB1=3，|1|=∴1={－1，－1，2}，CB1={0，1，2，}，1·
|CB1|=
6，
5
11?
1
.10
∴cos2222
C1M=－0}.∴1·
11
?
+0=0，∴1⊥C1M，∴A1B⊥C1M.2
17.证明：
∵E,F分别是AB，BD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，
∵AD?
面ACD，EF?
面ACD，∴直线EF∥面ACD；
∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD?
面BCD，∴面EFC?
面BCD.
18.解：
如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D?
xyz．
0，0），CC?
?
．连结BD，B?
D?
．则DA?
，由已知?
DH，DA?
?
60?
，设DH?
．
平面AA?
D?
D的一个法向量是DC?
C1
A11
AE
考点五存在性问题
4问题5：
如图，在三棱柱ABC?
A1B1C1中，AAC11C是边长为的正方形，
ABC平面ABC?
平面AAC；11C，AB?
3，BC?
5.?
1?
求证：
AA1平面
；?
3?
证明：
在线段BC1存在点D，使?
2?
求二面角A1?
BC1?
B1的余弦值得AD?
ABD
1B，并求BC的值.1
A1B1
C1AB
C
升级会员 