平面空间向量的练习题.docx
《平面空间向量的练习题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《平面空间向量的练习题.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![平面空间向量的练习题.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-5/16/8c3622b3-3bb3-4c3f-a910-35a58187023b/8c3622b3-3bb3-4c3f-a910-35a58187023b1.gif)
平面空间向量的练习题
平面空间向量的练习题
平面向量的实际背景及基本概念:
①了解向量的实际背景。
②理解平面向量的概念,理解两个向量的相等含义。
③理解向量的几何表示.
向量的线性运算:
①掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.②掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.③了解向量线性运算的性质及其几何意义.
平面向量的基本定理及坐标表示:
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
平面向量的数量积:
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②了解平面向量的数量积与向量投影的关系.③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
向量的应用:
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
、空间向量及其运算:
①了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
空间向量的应用:
①理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量
语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系。
③能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理。
④能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
二、知识要点归纳:
、平面向量
2.1.1、向量的物理背景与概念
1、了解四种常见向量:
.、既有大小又有方向
的量叫做向量..1.2、向量的几何表示
1、带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:
起点、方向、长度.、向量AB的大小,也就是向量AB的长度,记作AB;长度为零的向
量叫做零向量;长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定:
零向量与
任意向量平行.
2.1.3、相等向量与共线向量
1、长度相等且方向相同的向量叫做相等向量..2.1、向量加法运算及其几何意义1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2
?
.
2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.、三角形减法法则和
平行四边形减法法则.
2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、规定:
实数?
与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:
?
,
它的长度和方向规定如下:
⑴?
⑵当?
?
0时,?
的方向与的方向相同;当?
?
0时,?
的方向与的方向相反.、平面向量共线定理:
向量aa?
0与共线,当且仅当有唯一一个实数?
,使
?
?
.
?
2.3.1、平面向量基本定理
1、平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这
一平面内任一向量a,有且只有一对实数?
1,?
2,使a?
?
1e1?
?
2e2..3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、?
x?
y?
?
x,y?
.
2.3.3、平面向量的坐标运算
1、设?
?
x1,y1?
?
?
x2,y2?
,则:
⑴x1?
x2,y1?
y2?
,⑵
a?
b?
?
x1?
x2,y1?
y2?
,
⑶x1,?
y1?
,⑷//?
x1y2?
x2y1.
2、设A?
x1,y1?
B?
x2,y2?
,则:
AB?
?
x2?
x1,y2?
y1?
.
2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设A?
x1,y1?
B?
x2,y2?
C?
x3,y3?
,则
xy?
y
⑴线段AB中点坐标为x?
,⑵△ABC的重心坐标为x?
x3?
x,y?
y3?
y?
.,2?
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、
.、在
?
.、
?
.、
?
.、0..4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、设?
?
x1,y1?
?
?
x2,y2?
,则:
⑴?
?
x1x2?
y1y2
?
x12?
y12
⑶a?
b?
a?
b?
0?
x1x2?
y1y2?
0⑷a//b?
a?
?
b?
x1y2?
x2y1?
0、设A
?
x1,y1?
B?
x2,y2?
?
x2?
x12?
y2?
y12.、
两向量的夹角公式
a?
bab
?
2
cos?
?
4、点的平移公式
平移前的点为P,平移后的对应点为P?
,平移向量为PP?
?
,则?
?
x?
?
x?
h
?
y?
?
y?
k.
函数y?
f的图像按向量a?
平移后的图像的解析式为y?
k?
f..5.1、平面几何中的向量方法.5.2、向量在物理中的应用举例
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结归纳.
高考试题一、选择题
uuruur
VABC中,1、点D在AB上,CD平方?
ACB.若CB?
a,CA?
ba?
1,uuur
b?
2,则CD?
a?
ba?
ba?
ba?
b答案:
B.设向量a,b,c满足a=b=1,ab=?
,a?
c,b?
c=600,则c
2最大值等于
A.B
C
D.1答案:
A
3.已知a与b均为单位向量,其夹角为?
,有下列四个命题
?
2?
P:
a?
b?
10,1?
?
3
?
?
2?
?
P:
a?
b?
1,3?
1
1
323231335454535
P3:
a?
b?
10
?
P4:
a?
b?
1,?
?
?
3?
?
3?
其中的真命题是A.P1,P4
B.P1,PC.P2,PD.P2,P答案:
A
4、?
ABC中,AB边的高为CD,若CB?
a,CA?
b,a?
b?
0,|a|?
1,
|b|?
2,则AD?
a?
ba?
ba?
ba?
b答案:
D
m?
n?
,则?
=.已知向量m1,1?
n2,2?
,若?
m?
n
1
313232335354545
-1答案:
B..若向量a,b满足:
|a|?
1,?
a,?
b,则|b|?
1
空间向量在立体几何中的应用
v,v1、已知直线l1,l2的方向向量分别为12,平面?
?
的法向量分别为n1,n2,则
l1//l2?
;l1?
l2?
;若直线l1,l2的夹角为?
,则cos?
?
l1//?
?
;l1;若直线l1与面?
的成角为?
,则sin?
?
;
面?
//面?
?
;面?
?
面?
?
;若面?
与面?
成二面角的平面角为?
,则。
、三余弦定理:
;
三垂线定理:
;二面角的平面角定义:
;1、A、B,则线段AB的长度是A.1B.C.D.2、向量a=,b=,则a与b
A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对
3.如图,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若A1B1=a,
A1D1=b,A1A=c,则下列向量中与B1M相等的向量是
A.-
1111
a+b+cB.a+b+c222111
b+cD.-a-b+c22
111
OA?
OB?
OC35
C.a-
1
2
4.下列等式中,使点M与点A、B、C一定共面的是A.OM?
3OA?
2OB?
OCB.OM?
C.0D.0
5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,点E、F分别是AB、AD的中点,则EF?
DC等于
2
A.
3311
B.?
C.D.?
4444
6.若a?
,b?
,a与b的夹角为600,则?
的值为A.17或-1B.-17或1C.-1D.1
7.设?
,?
,?
,则线段AB的中点P到点C的距离为A.
53
B.C.D.244
8.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是..A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A
.
B.C
.D
.555
10.⊿ABC的三个顶点分别是A,B,C,则AC边上的高BD长为
A.B.41C.D.11.设a?
,b?
,且a//b,则xy?
.
12.已知向量a?
,b?
,?
a?
b?
29且?
?
0,则?
=________.13.在直角坐标系xOy中,设A,B,沿x轴把直角坐标平面折成大小为?
的二面角后,这时AB?
2,则?
的大小为.14.如图,P—ABCD是正四棱锥,ABCD?
A1B1C1D1是正方体,
其中AB?
2,PA?
B1到平面PAD
的距离为.
15、已知a?
?
2,4,x?
b?
?
2,y,2?
,若a?
6且a?
b,求x?
y值.
3
16如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.求的长;
求cos的值求证:
A1B⊥C1M.
17.如图,在四面体ABCD中,CB?
CD,AD?
BD,点E,F分别是AB,BD的中点.求证:
直线EF//面ACD;平面EFC?
面BCD.18.如图,已知点P在正方体ABCD?
A’B’C’D’的对角线BD’上,∠PDA=60°.
D’C’求DP与CC’所成角的大小;
求DP与平面AA’D’D所成角的大小.
A’B’
P
DC
AB
19.已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点.
求四棱锥P-ABCD的体积;
是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?
证明你的结论;若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.P
E
D
C
正视图
俯视图
A
B
侧视图
参考答案1、C、C
1111
3.B1?
B1?
?
A1?
=c+=-a+b+c,故选A.
2222
4.
由于M、A、B、C四点共面?
?
x?
y?
z且x?
y?
z?
1
?
选项、、都不正确.由于MA?
MB?
MC?
0?
MA?
?
MB?
MC
所以存在x?
?
1,y?
1,使MA?
xMB?
yMC?
MA,MB,MC共面
故选D.由于M为公共点?
M、A、B、C四点共面,
5.∵E,F分别是AB,AD的中点,?
EF//BD且EF?
?
EF?
DC?
11
BD,?
?
22
111
BD?
DC?
?
BD,DC1?
1?
cos1200?
?
故选B.24
6.B7.B8.D9.D10.
?
?
cos?
?
?
11.12.3
13.作AC⊥x轴于C,BD⊥x轴于D,则
?
3?
5?
2,?
?
0,?
?
0,?
1800?
?
)?
?
6cos?
21
?
2?
32?
52?
22?
2,?
cos.由于001800,1200
2
2
?
4?
?
5,故选A
14.以A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴建立空间直角坐标系设平面PAD的法向量是
m?
,?
AD?
AP?
,∴y?
0,x?
y?
2z?
0,?
?
取z?
1得m?
,
B1A?
m
?
B1A?
,∴B1到平面PAD
的距离d?
?
.
m
222
15、解:
由a?
6?
2?
4?
x?
36,又a?
b?
a?
b?
0即4?
4y?
2x?
0
由①②有:
x?
4,y?
?
3或x?
?
4,y?
1?
x?
y?
1或?
16、如图,建立空间直角坐标系O—xyz.
依题意得B、N∴||=
2?
2?
2?
3.
依题意得A1、B、C、B1
CB1=3,|1|=∴1={-1,-1,2},CB1={0,1,2,},1·
|CB1|=
6,
5
11?
1
.10
∴cos2222
C1M=-0}.∴1·
11
?
+0=0,∴1⊥C1M,∴A1B⊥C1M.2
17.证明:
∵E,F分别是AB,BD的中点,
∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD,
∵AD?
面ACD,EF?
面ACD,∴直线EF∥面ACD;
∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD,
∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC,∵BD?
面BCD,∴面EFC?
面BCD.
18.解:
如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D?
xyz.
0,0),CC?
?
.连结BD,B?
D?
.则DA?
,由已知?
DH,DA?
?
60?
,设DH?
.
平面AA?
D?
D的一个法向量是DC?
C1
A11
AE
考点五存在性问题
4问题5:
如图,在三棱柱ABC?
A1B1C1中,AAC11C是边长为的正方形,
ABC平面ABC?
平面AAC;11C,AB?
3,BC?
5.?
1?
求证:
AA1平面
;?
3?
证明:
在线段BC1存在点D,使?
2?
求二面角A1?
BC1?
B1的余弦值得AD?
ABD
1B,并求BC的值.1
A1B1
C1AB
C