函数与方程.docx

1、函数与方程函数与方程适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点函数的零点；零点存在定理；二分法教学目标理解函数的零点的概念，掌握函数零点的求解步骤.学会用二分法求零点.教学重点函数的零点；零点存在定理.教学难点函数零点的求解步骤.教学过程一、课堂导入问题：函数零点的求解步骤有哪些？二、复习预习1 函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标2 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象三、知识讲解考点1 函数的零点(1)定义：如果函数yf(x)

2、在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点(2)变号零点：如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点(3)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点考点2 零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.考点3 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)0，则

3、c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)0，则令bc1(此时零点x0(a，c1)；(3)若f(b)f(c1)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2个1个0个四、例题精析考点一 函数零点的判断和求解例1 函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是 ()A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)【规范解答】(1)f(x)2xln 230，f(x)2x3x在R上是增函数而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0，即f(x)0有两个不相等的实数根，若实数a满足条件，则

4、只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x. 令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x. 令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有两个实数根，不合题意，故a. 综上所述，a1.【总结与反思】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组考点三 函数零点的应用例3 若关于x的方

5、程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围【规范解答】设t2x (t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a1；当a1时，t1，x0符合题意 综上，a的取值范围是(，22【总结与反思】方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解五、课堂运用【基础】1、已知三个函数f(x)2xx

6、，g(x)x2，h(x)log2xx的零点依次为a，b，c，则 ()Aabc Bacb Cbac Dcab【规范解答】由于f(1)10，且f(x)为单调递增函数故f(x)2xx的零点a(1,0)g(2)0，g(x)的零点b2；h10，且h(x)为单调递增函数，h(x)的零点c，因此ac0时，f(x)2 015xlog2 015x，则在R上，求函数f(x)零点的个数【规范解答】函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)0，当x0时，f(x)2 015xlog2 015x在区间(0，)内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，)内有且仅有一个零点根据对称性可知函数在(，0)内有且仅有一解，从而

7、函数f(x)在R上的零点的个数为3.【巩固】1、若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，求不等式af(2x)0的解集【规范解答】f(x)x2axb的两个零点是2,3.2,3是方程x2axb0的两根，由根与系数的关系知，f(x)x2x6.不等式af(2x)0，即(4x22x6)02x2x30，解集为x|x12、已知函数f(x)x3x2. 证明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.【规范解答】令g(x)f(x)x. g(0)，g()f()， g(0)g()0)，则t2mt10.当0，即m240， m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0，即m2或m0)(1)若yg

8、(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根【规范解答】解(1)方法一g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g(x)的值域是2e，)， 因而只需m2e，则yg(x)m就有零点 方法二作出g(x)x (x0)的大致图象如图 可知若使yg(x)m有零点，则只需m2e. (2)若g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x (x0)的大致图象如图 f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2. 故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交

9、点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，) 课程小结1 函数的零点(1)定义：如果函数yf(x)在实数处的值等于零，即f()0，则叫做这个函数的零点(2)变号零点：如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点(3)几个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2 零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0(a，b)，使f(x0)0.3 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0；第二步，求区间(a，b)的中点c1；第三步，计算f(c1)：(1)若f(c1)0，则c1就是函数的零点；(2)若f(a)f(c1)0，则令bc1(此时零点x0(a，c1)；(3)若f(b)f(c1)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2个1个0个