函数与方程.docx

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函数与方程

函数与方程

适用学科

高中数学

适用年级

高中一年级

适用区域

通用

课时时长（分钟）

60

知识点

函数的零点；零点存在定理；二分法

教学目标

理解函数的零点的概念，掌握函数零点的求解步骤.

学会用二分法求零点.

教学重点

函数的零点；零点存在定理.

教学难点

函数零点的求解步骤.

教学过程

一、课堂导入

问题：

函数零点的求解步骤有哪些？

二、复习预习

1．函数f（x）的零点是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标．

2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．

三、知识讲解

考点1函数的零点

（1）定义：

如果函数y＝f（x）在实数α处的值等于零，即f（α）＝0，则α叫做这个函数的零点．

（2）变号零点：

如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．

（3）几个等价关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

考点2零点存在性定理

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f（a）f（b）<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈（a，b），使f（x0）＝0.

考点3用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤

第一步，确定区间[a，b]，验证f（a）f（b）<0；

第二步，求区间（a，b）的中点c1；

第三步，计算f（c1）：

（1）若f（c1）＝0，则c1就是函数的零点；

（2）若f（a）f（c1）<0，则令b＝c1（此时零点x0∈（a，c1））；

（3）若f（b）f（c1）<0，则令a＝c1（此时零点x0∈（c1，b））；

第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．

考点4二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象

与x轴的交点

（x1,0），（x2,0）

（x1,0）

无交点

零点个数

2个

1个

0个

四、例题精析

考点一函数零点的判断和求解

例1函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（　　）

A．（－2，－1）B．（－1,0）C．（0,1）D．（1,2）

【规范解答】

（1）∵f′（x）＝2xln2＋3>0，∴f（x）＝2x＋3x在R上是增函数．

而f（－2）＝2－2－6<0，f（－1）＝2－1－3<0，

f（0）＝20＝1>0，f

（1）＝2＋3＝5>0，f

（2）＝22＋6＝10>0，

∴f（－1）·f（0）<0.故函数f（x）在区间（－1,0）上有零点．

【总结与反思】函数零点的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在性定理或数形结合法．

考点二二次函数的零点问题

例2是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？

若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

【规范解答】令f（x）＝0，则Δ＝（3a－2）2－4（a－1）＝9a2－16a＋8＝9（a－

）2＋

>0，

即f（x）＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a满足条件，则只需f（－1）·f（3）≤0即可．

f（－1）·f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0，∴a≤－

或a≥1.

检验：

（1）当f（－1）＝0时，a＝1，所以f（x）＝x2＋x.令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.

（2）当f（3）＝0时，a＝－

，此时f（x）＝x2－

x－

.令f（x）＝0，即x2－

x－

＝0，解得x＝－

或x＝3.

方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－

.综上所述，a<－

或a>1.

【总结与反思】解决二次函数的零点问题：

（1）可利用一元二次方程的求根公式；

（2）可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；

（3）利用二次函数的图象列不等式组．

考点三函数零点的应用

例3若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．

【规范解答】设t＝2x（t>0），则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，（*）

原方程有实根，即方程（*）有正根．令f（t）＝t2＋at＋a＋1.

①若方程（*）有两个正实根t1，t2，则

解得－1

；

②若方程（*）有一个正实根和一个负实根（负实根，不合题意，舍去），则f（0）＝a＋1<0，解得a<－1；

③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．综上，a的取值范围是（－∞，2－2

]．

【总结与反思】方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解．

五、课堂运用

【基础】

1、已知三个函数f（x）＝2x＋x，g（x）＝x－2，h（x）＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则（　　）

A．a

【规范解答】由于f（－1）＝

－1＝－

<0，f（0）＝1>0，且f（x）为单调递增函数．故f（x）＝2x＋x的零点a∈（－1,0）．

∵g

（2）＝0，∴g（x）的零点b＝2；∵h

＝－1＋

＝－

<0，h

（1）＝1>0，且h（x）为单调递增函数，

∴h（x）的零点c∈

，因此a

2、定义在R上的奇函数f（x）满足：

当x>0时，f（x）＝2015x＋log2015x，则在R上，求函数f（x）零点的个数．

【规范解答】函数f（x）为R上的奇函数，因此f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝2015x＋log2015x在区间（0，

）内存在一个零点，又f（x）为增函数，因此在（0，＋∞）内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在（－∞，0）内有且仅有一解，从而函数f（x）在R上的零点的个数为3.

【巩固】

1、若函数f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，求不等式af（－2x）>0的解集．

【规范解答】∵f（x）＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

由根与系数的关系知

，∴

，∴f（x）＝x2－x－6.

∵不等式af（－2x）>0，即－（4x2＋2x－6）>0⇔2x2＋x－3<0，解集为{x|－

2、已知函数f（x）＝x3－x2＋

＋

.证明：

存在x0∈（0，

），使f（x0）＝x0.

【规范解答】令g（x）＝f（x）－x.∵g（0）＝

，g（

）＝f（

）－

＝－

，∴g（0）·g（

）<0.

又函数g（x）在[0，

]上连续，∴存在x0∈（0，

），使g（x0）＝0.即f（x0）＝x0.

【拔高】

1、已知函数f（x）＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

【规范解答】解　∵f（x）＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，

即方程（2x）2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t（t>0），则t2＋mt＋1＝0.

当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1（不合题意，舍去），

∴2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ>0，即m>2或m<－2时，t2＋mt＋1＝0有两正根或两负根，

即f（x）有两个零点或没有零点．

∴这种情况不符合题意．

综上可知，m＝－2时，f（x）有唯一零点，该零点为x＝0.

2、已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋

（x>0）．

（1）若y＝g（x）－m有零点，求m的取值范围；

（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

【规范解答】解　

（1）方法一　

∵g（x）＝x＋

≥2

＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g（x）的值域是[2e，＋∞），

因而只需m≥2e，则y＝g（x）－m就有零点．

方法二　作出g（x）＝x＋

（x>0）的大致图象如图．

可知若使y＝g（x）－m有零点，则只需m≥2e.

（2）若g（x）－f（x）＝0有两个相异实根，即g（x）与f（x）的图象有两个不同的交点，

作出g（x）＝x＋

（x>0）的大致图象如图．

∵f（x）＝－x2＋2ex＋m－1＝－（x－e）2＋m－1＋e2.

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，

最大值为m－1＋e2.

故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g（x）与f（x）有两个交点，即g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是（－e2＋2e＋1，＋∞）．

课程小结

1．函数的零点

（1）定义：

如果函数y＝f（x）在实数α处的值等于零，即f（α）＝0，则α叫做这个函数的零点．

（2）变号零点：

如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．

（3）几个等价关系：

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

2．零点存在性定理

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f（a）f（b）<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈（a，b），使f（x0）＝0.

3．用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤

第一步，确定区间[a，b]，验证f（a）f（b）<0；

第二步，求区间（a，b）的中点c1；

第三步，计算f（c1）：

（1）若f（c1）＝0，则c1就是函数的零点；

（2）若f（a）f（c1）<0，则令b＝c1（此时零点x0∈（a，c1））；

（3）若f（b）f（c1）<0，则令a＝c1（此时零点x0∈（c1，b））；

第四步，判断x0是否满足给定的精确度；否则重复第二、三、四步．

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象

与x轴的交点

（x1,0），（x2,0）

（x1,0）

无交点

零点个数

2个

1个

0个