高三数学第一轮复习数列知识点很全docx.docx

1、高三数学第一轮复习数列知识点很全docx高三数学第一轮复习数列一、知识梳理数列概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列an的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 anf (n) .3.递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项） ，且任何一项 an 与它的前一项 an 1 （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即anf (an 1 ) 或 an f (an1, an 2 ) ，那么这个式子叫做数列 an的递推公式 .如数列 an中， a11, an 2an 1，其中 an2an1

2、 是数列 an 的递推公式 .数列的前 n 项和与通项的公式4. Sn a1 a2an； anS1 (n1)Sn.Sn 1 (n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法 .6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .递增数列 : 对于任何 nN , 均有 an 1an .递减数列 : 对于任何 nN , 均有 an 1an .摆动数列 : 例如 :1,1, 1,1,1, .常数数列 : 例如 :6,6,6,6,.有界数列 : 存在正数 M使 anM , nN.无界数列 : 对于任何正数M ,总有项 an 使得an M .等

3、差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数称为等差数列的公差 .d ，这个数列叫做等差数列，常数d2.通项公式与前 n 项和公式通项公式 ana1(n1) d ，a1 为首项， d 为公差 .前 n 项和公式 Snn(a1an )或 Snna11 n(n1) d .223. 等差中项如果 a, A, b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项 .即： A 是 a 与 b 的等差中项2 A a ba ， A ， b 成等差数列 .4. 等差数列的判定方法定义法： an 1and （ nN ， d 是常数）an 是等差数列；中项法： 2an1a

4、nan2 ( nN )an是等差数列 .5.等差数列的常用性质数列 an是等差数列，则数列an p 、pan（ p 是常数）都是等差数列；在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an , an k , an2k , an 3k ,为等差数列，公差为kd .nm() anan b abSnan2bn(,b是常数，a 0)a anm d ；( ,是常数 ) ；a( , , ,q N) ，则manapaq ；若m n p q m n pa若等差数列an的前 n 项和 Sn ，则Sn是等差数列；n当项数为2n(nN) ，则偶奇S偶an 1；SSnd,anS奇当项数为 2n1(nN )

5、，则奇偶an ,S偶n1 .SSS奇n等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q 0) ，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数列的公比 .2.通项公式与前 n 项和公式通项公式： an a1qn1，a1为首项， q 为公比 .前 n 项和公式：当 q1时， Snna1当 q 1 时， Sna1 (1 q n ) a1an q .1 q1q3. 等比中项如果 a, G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 .即： G 是 a 与 b 的等差中项a ， A ， b 成等差数列G 2a b .4. 等比数列的判定方法定义法：

6、 an 1q （ nN ， q0是常数）an是等比数列；an2an an 2 ( n N) 且 an 0an中项法：an 1是等比数列 .5.等比数列的常用性质数列 an是等比数列，则数列pa n 、pan（ q0是常数）都是等比数列；在等比数列an 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an , ank , an 2k , an 3k ,为等比数列，公比为 qk . an am q n m (n, m N)( , ,q N) ，则 a anapaq；若m n p q m n pm若等比数列an 的前 n 项和 Sn ，则 Sk 、 S2kSk 、 S3 kS2 k 、 S4 kS3k 是

7、等比数列 .二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、 已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a4 9, a9 6, Sn 63 ，求 n ；2、等差数列 an 中， a4 10 且 a3， a6， a10 成等比数列，求数列 an 前 20 项的和 S20 3、设 an 是公比为正数的等比数列，若 a1 1, a5 16 ，求数列 an 前 7 项的和 .4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37 ，中间两数之和为 36 ，求这四个数 .2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知 Sn 为等差数列an

8、的前 n 项和， a6100，则 S11；2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列an、 an 的前 n 项和， Sn7n2 ，则 a5.Tnn3b53、设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，若 a55,S9（）a39S54、等差数列 an , bn 的前 n 项和分别为 Sn, Tn ,若 Sn2n,则 an =（）Tn3n 1bn5、已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， Snm, Sm n(nm) ，则 Sm n.6、在正项等比数列an中， a1a52a3a5 a3a725 ，则 a3a5_ _。7、已知数列an 是等差数列，若a4a7 a1017 , a4a5a6La12a13a1

9、477 且 ak13 , 则 k_。8、已知 Sn 为等比数列an前 n 项和， Sn54 ， S2 n60 ，则 S3 n.9、在等差数列an 中，若 S41, S84 ，则 a17a18a19a20 的值为（）10、在等比数列中，已知a9a10a(a0) ， a19a20b ，则 a99a100.11、已知 an为等差数列， a158,a6020 ，则 a7512、等差数列an中，已知 S41 , 求 S8 .S83S16B、求数列通 公式1） 给出前几项，求通项公式1,0,1,0,1,3,6,10,15,21, ,3，-33,333 ，-3333,33333 2）给出前n 项和求通项公式

10、1、 S2n2n3n1.n3 ； Sn2、设数列an 满足 a1 3a2 32 a3 +3n-1 ann (n N * ) ，求数列an 的通项公式33）给出递推公式求通项公式a、已知关系式an 1 anf (n) ，可利用迭加法或迭代法；an (an an 1 ) (an 1an 2 ) (an 2an 3 )(a2a1 ) a1例：已知数列an中， a12, anan 12n 1(n2) ，求数列an的通项公式；b、已知关系式 an 1 anf (n) ，可利用迭乘法 . ananan 1an2a3a2 a1an 1 an 2an 3a2a1例、已知数列an满足：ann12), a1 2

11、，求求数列an的通项公式；n( nan 11c、构造新数列1递推关系形如“an 1panq ”，利用待定系数法求解例、已知数列an中， a11, an12an3，求数列an的通项公式 .2递推关系形如“，两边同除pn 1 或待定系数法求解例、a1 1, an 1 2an 3n，求数列 an 的通项公式 .3递推已知数列an 中，关系形如“ an 2p an 1q an ”，利用待定系数法求解例、已知数列 an中， a1 1, a2 2, an 23an 12an ，求数列 an 的通项公式 .4递推关系形如 anpan 1qan an （1 p,q0) , 两边同除以 anan 1例 1、 已

12、知数列 an中， anan 1 2anan （1n 2),a 1 2 ，求数列an 的通项公式 .例 2、数列 an 中， a1 2, an 12an ( n N ) ，求数列an 的通项公式 .4 and 、给出关于 Sn 和 am 的关系例 1、设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 a, an 1 Sn 3n (n N ) ，设 bn Sn 3n ，求数列 bn 的通项公式例 2、设 Sn 是数列 an的前 n 项和， a11， Sn2an Sn1 (n 2) .2求 an 的通项；Sn，求数列bn 的前 n 项和 Tn .设 bn2n1C、证明数列是等差或等比数列1)证明数

13、列等差例 1、已知Sn 为等差数列an的前n 项和， bnSnn(nN ) . 求证：数列bn是等差数列.例 2、已知数列 ann，且满足nnn 111 的前 n 项和为 Sa +2S S =0（ n 2）， a = .12 是等差数列；求证： Sn2）证明数列等比例 1、设 an 是等差数列， bn12an，求证：数列 bn 是等比数列；例2、 数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn 中，若 an+Sn=n.设 cn=an1，求证：数列 cn 是等比数列；例 3、已知 Sn 为数列 an 的前 n 项和， a11， Sn4an 2 .设数列bn 中， bnan1 2an ，求证： b

14、n是等比数列；设数列cn 中， cnan，求证：cn是等差数列；求数列an 的通项公式及前2nn 项和 .例 4、设 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 ban 2nb 1 Sn证明：当 b 2时， ann 2n 1 是等比数列；求 an 的通项公式例 5、已知数列 an 满足 a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an (n N * ).证明：数列 an 1 an 是等比数列；求数列 an 的通项公式；若数列 bn 满足 4b1 14b2 1.4bn 1 (an 1)bn (n N * ), 证明 bn 是等差数列 .D、求数列的前 n 项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法 .

15、例 1、求数列 2 n2n3 的前 n 项和 Sn .例 2、求数列1，1 ，1， ，1 )， 的前n项和Sn .123( n2n248例3、求和： 2 5+3 6+4 7+ +n（n+3 ）2 ） 裂 项 相 消 法 ， 数 列 的 常 见 拆 项 有 ：11 (11 ) ；n( n k )k nn k1n1n ；nn 1例 1、求和： S=1+11112123123n例 3、求和：1111.213243n1n3）倒序相加法，例、设 f ( x)x22 ，求：1x f ( 41 )f ( 31 )f ( 21 )f (2)f ( 3)f (4) ； f ( 20101 )f ( 20091

16、)f ( 31 )f ( 21 )f (2)f (2009) f ( 2010).4）错位相减法，3n ，求此数列的前例、若数列 an 的通项 an(2n 1)n 项和 Sn .5）对于数列等差和等比混合数列分组求和2的前 n 项和 T .例、已知数列 a 的前 n 项和 S =12n n ，求数列 | a |nnnnE、数列单调性最值问题例 1、数列 an 中， an2n49 ，当数列 an的前 n 项和 Sn 取得最小值时， n.例 2、已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和， a125, a4 16. 当 n 为何值时， Sn 取得最大值；例 4、 数列 an 中， an3n228n

17、1，求 an 取最小值时 n 的值 .例 5、 数列 an 中， an n n 2 2 ，求数列 an 的最大项和最小项 .例 5、设数列an的前 n 项和为 Sn 已知 a1 a ， an 1Sn 3n ， n N * （）设 bnSn3n ，求数列 bn 的通项公式；（）若 an1 an ， n N * ，求 a 的取值范围例6、已知求数列数列 anSn 为数列 an 的前 n 项和， a1 3 ， Sn Sn 1 2an (n 2) .an 的通项公式；中是否存在正整数 k ，使得不等式 ak ak 1 对任意不小于 k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数 k ，若不存在，说明理由

18、.例 7、非等比数列 an 中，前 n 项和 Sn1 (an1)2 ，（ 1）求数列 an 的通项公式；4（ 2）设 bn1b2Lbn ，是否存在最大的整数m，使得对任意( n N*) ，Tn b1n(3an )的 n 均有 Tnm 总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。32F、有关数列的实际问题例1、用砖砌墙 , 第一层 ( 底层 ) 用去了全部砖块的一半多一块 , 第二层用去了剩下的一半多一块 ,依次类推 , 每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块 , 到第十层恰好把砖块用完， 问共用了多少块 ?例 2、 2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的40 ，从 2003年开始 , 计划每年将非绿化面积的8绿化 , 由于修路和盖房等用地 , 原有绿化面积的2被非绿化 .1,2002 年底绿化面积为a14an 1 , 试用设该县的总面积为, 经过 n 年后绿化的面积为10an 表示an 1 ；求数列 an 的第 n1项 an 1 ；至少需要多少年的努力, 才能使绿化率超过60%(参考数据 : lg 20.3010, lg 30.4771 )