高三数学第一轮复习数列知识点很全docx.docx
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高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.
数列的定义:
按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项
.
2.
通项公式:
如果数列an
的第n项与序号之间可以用一个式子表示
那么这个公式叫做这个数列的
通项公式,即an
f(n).
3.
递推公式:
如果已知数列
an
的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an1(或前几
项)间的关系可以用一个式子来表示,即
an
f(an1)或anf(an
1,an2),那么这个式子叫做数
列an
的递推公式.
如数列an
中,a1
1,an2an1,其中an
2an
1是数列an的递推
公式.
数列的前n项和与通项的公式
4.
①Sna1a2
an
;②an
S1(n
1)
Sn
.
Sn1(n2)
5.数列的表示方法:
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类:
有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界
数列.
①递增数列:
对于任何n
N,均有an1
an.
②递减数列:
对于任何n
N,均有an1
an.
③摆动数列:
例如:
1,1,1,1,
1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,
.
⑤有界数列:
存在正数M
使an
M,n
N
.
⑥无界数列:
对于任何正数
M,
总有项an使得
anM.
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数
称为等差数列的公差.
d,这个数列叫做等差数列,
常数
d
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式an
a1
(n
1)d,
a1为首项,d为公差.
⑵前n项和公式Sn
n(a1
an)
或Sn
na1
1n(n
1)d.
2
2
3.等差中项
如果a,A,b成等差数列,那么
A叫做a与b的等差中项.
即:
A是a与b的等差中项
2Aab
a,A,b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法:
an1
an
d(n
N,d是常数)
an是等差数列;
⑵中项法:
2an
1an
an
2(n
N)
an
是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列an
是等差数列,则数列
anp、
pan
(p是常数)都是等差数列;
⑵在等差数列
an
中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即
an,ank,an
2k,an3k,
为等
差数列,公差为
kd.
⑶
n
m
(
)an
anba
b
Sn
an
2
bn
(
b
是常数,
a0
)
aa
n
md;
(,
是常数);
a
(,,,
qN
),则
m
a
n
a
p
a
q;
⑷若
mnpqmnp
a
⑸若等差数列
an
的前n项和Sn,则
Sn
是等差数列;
n
⑹当项数为
2n
(n
N
),则
偶
奇
S偶
an1
;
S
Snd,
an
S奇
当项数为2n
1(n
N),则
奇
偶
an,
S偶
n
1.
S
S
S奇
n
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0),这个数列叫做等比数
列,常数q称为等比数列的公比.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式:
ana1qn
1
,
a1为首项,q为公比.
⑵前n项和公式:
①当q
1
时,Sn
na1
②当q1时,Sn
a1(1qn)a1
anq.
1q
1
q
3.等比中项
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
即:
G是a与b的等差中项
a,A,b成等差数列G2
ab.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法:
an1
q(n
N,q
0是常数)
an
是等比数列;
an
2
anan2(nN
)且an0
an
⑵中项法:
an1
是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列an
是等比数列,则数列
pan、
pan
(q
0
是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列
an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即
an,an
k,an2k,an3k,为等
比数列,公比为qk.
⑶anamqnm(n,mN
)
(,,
qN
),则aa
n
a
p
a
q
;
⑷若
mnpqmnp
m
⑸若等比数列
an的前n项和Sn,则Sk、S2k
Sk、S3k
S2k、S4k
S3k是等比数列.
二、典型例题
A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知Sn为等差数列an的前n项和,a49,a96,Sn63,求n;
2、等差数列an中,a410且a3,a6,a10成等比数列,求数列an前20项的和S20.
3、设an是公比为正数的等比数列,若a11,a516,求数列an前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数.
2)根据数列的性质求解(整体思想)
1、已知Sn为等差数列
an
的前n项和,a6
100
,则S11
;
2
、设Sn、Tn分别是等差数列
an
、an的前n项和,Sn
7n
2,则a5
.
Tn
n
3
b5
3、设Sn是等差数列
an
的前n项和,若a5
5
S9
(
)
a3
9
S5
4
、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn
Tn,若Sn
2n
则an=(
)
Tn
3n1
bn
5
、已知Sn为等差数列
an
的前n项和,Sn
m,Smn(n
m),则Smn
.
6、在正项等比数列
an
中,a1a5
2a3a5a3a7
25,则a3
a5
_______。
7、已知数列
an是等差数列,若
a4a7a10
17,a4
a5
a6
L
a12
a13
a14
77且ak
13,则k
_________。
8
、已知Sn为等比数列
an
前n项和,Sn
54,S2n
60,则S3n
.
9、在等差数列
an中,若S4
1,S8
4,则a17
a18
a19
a20的值为(
)
10、在等比数列中,已知
a9
a10
a(a
0),a19
a20
b,则a99
a100
.
11、已知an
为等差数列,a15
8,a60
20,则a75
12、等差数列
an
中,已知S4
1,求S8.
S8
3
S16
B、求数列通公式
1)给出前几项,求通项公式
1,0,1,0,⋯⋯
1,3,6,10,15,21,,
3,-33,333,-3333,33333⋯⋯
2)给出前
n项和求通项公式
1
、⑴S
2
n2
n
3
n
1.
n
3;⑵Sn
2、设数列
an满足a13a232a3⋯+3n-1an
n(nN*),求数列
an的通项公式
3
3)给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式
an1an
f(n),可利用迭加法或迭代法;
an(anan1)(an1
an2)(an2
an3)
(a2
a1)a1
例:
已知数列
an
中,a1
2,an
an1
2n1(n
2),求数列
an
的通项公式;
b、已知关系式an1an
f(n),可利用迭乘法.an
an
an1
an
2
a3
a2a1
an1an2
an3
a2
a1
例、已知数列
an
满足:
an
n
1
2),a12,求求数列
an
的通项公式;
n
(n
an1
1
c、构造新数列
1°递推关系形如“
an1
pan
q”,利用待定系数法求解
例、已知数列
an
中,a1
1,an
1
2an
3,求数列
an
的通项公式.
2°递推关系形如“,两边同除
pn1或待定系数法求解
例、
a11,an12an3n
,求数列an的通项公式.
3°递推已知数列
an中,关系形如“an2
pan1
qan”,利用待定系数法求解
例、已知数列an
中,a11,a22,an2
3an1
2an,求数列an的通项公式.
4°递推关系形如"an
pan1
qanan(1p,q
0),两边同除以anan1
例1、已知数列an
中,an
an12anan(1
n2),a12,求数列
an的通项公式.
例2、数列an中,a12,an1
2an(nN),求数列
an的通项公式.
4an
d、给出关于Sn和am的关系
例1、设数列an的前n项和为Sn,已知a1a,an1Sn3n(nN),设bnSn3n,
求数列bn的通项公式.
例2、设Sn是数列an
的前n项和,a1
1,Sn2
anSn
1(n2).
2
⑴求an的通项;
Sn
,求数列
bn的前n项和Tn.
⑵设bn
2n
1
C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差
例1、已知
Sn为等差数列
an
的前
n项和,bn
Sn
n
(n
N).求证:
数列
bn
是等差数列
.
例2、已知数列{an
n
,且满足
nnn-1
1
1
}的前n项和为S
a+2S·S=0
(n≥2),a=.
1
2
}是等差数列;
求证:
{
Sn
2)证明数列等比
例1、设{an}是等差数列,bn=
1
2
an
,求证:
数列{bn}是等比数列;
例2、数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,若an+Sn=n.设cn=an-1,求证:
数列{cn}是等比数列;
例3、已知Sn为数列an的前n项和,a1
1
,Sn
4an2.
⑴设数列
bn中,bn
an
12an,求证:
bn
是等比数列;
⑵设数列
cn中,cn
an
,求证:
cn
是等差数列;⑶求数列
an的通项公式及前
2n
n项和.
例4、设Sn为数列
an的前n项和,已知ban2n
b1Sn
⑴证明:
当b2
时,an
n2n1是等比数列;
⑵求an的通项公式
例5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).
⑴证明:
数列an1an是等比数列;
⑵求数列an的通项公式;
⑶若数列bn满足4b114b21...4bn1(an1)bn(nN*),证明bn是等差数列.
D、求数列的前n项和
基本方法:
1)公式法,
2)拆解求和法.
例1、求数列{2n
2n
3}的前n项和Sn.
例2、求数列
1
,
1,
1,,
1),的前
n
项和
Sn.
1
2
3
(n
2n
2
4
8
例3、求和:
2×5+3×6+4×7++n(n+3)
2)裂项相消法,数列的常见拆项有:
1
1(1
1);
n(nk)
kn
nk
1
n
1
n;
n
n1
例1、求和:
S=1+
1
1
1
1
2
1
2
3
1
2
3
n
例3、
求和:
1
1
1
1
.
2
1
3
2
43
n
1
n
3)倒序相加法,
例、设f(x)
x2
2,求:
1
x
⑴f(41)
f(31)
f(21)
f
(2)
f(3)
f(4);
⑵f(20101)
f(20091)
f(31)
f(21)
f
(2)
f(2009)f(2010).
4)错位相减法,
3n,求此数列的前
例、若数列an的通项an
(2n1)
n项和Sn.
5)对于数列等差和等比混合数列分组求和
2
的前n项和T.
例、已知数列{a}的前n项和S=12n-n,求数列{|a|}
n
n
n
n
E、数列单调性最值问题
例1、数列an中,an
2n
49,当数列an
的前n项和Sn取得最小值时,n
.
例2、已知Sn为等差数列
an
的前n项和,a1
25,a416.当n为何值时,Sn取得最大
值;
例4、数列an中,an
3n2
28n1,求an取最小值时n的值.
例5、数列an中,annn22,求数列an的最大项和最小项.
例5、设数列
an
的前n项和为Sn.已知a1a,an1
Sn3n,nN*.
(Ⅰ)设bn
Sn
3n,求数列bn的通项公式;
(Ⅱ)若an
1≥an,nN*,求a的取值范围.
例6、已知
⑴求数列⑵数列an
Sn为数列an的前n项和,a13,SnSn12an(n2).
an的通项公式;
中是否存在正整数k,使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立?
若存在,求最小的正整数k,若不存在,说明理由.
例7、非等比数列{an}中,前n项和Sn
1(an
1)2,
(1)求数列{an}的通项公式;
4
(2)设bn
1
b2
L
bn,是否存在最大的整数
m,使得对任意
(nN*),Tnb1
n(3
an)
的n均有Tn
m总成立?
若存在,求出
m;若不存在,请说明理由。
32
F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完,问共用了多少块?
例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的
40%,从2003
年开始,计划每年将非绿化
面积的
8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的
2%被非绿化.
1,2002年底绿化面积为
a1
4
an1,试用
⑴设该县的总面积为
经过n年后绿化的面积为
10
an表示
an1;
⑵求数列an的第n
1
项an1;
⑶至少需要多少年的努力
才能使绿化率超过
60%(参考数据:
lg2
0.3010,lg3
0.4771)