高三数学第一轮复习数列知识点很全docx.docx
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高三数学第一轮复习数列知识点很全docx
高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.
数列的定义：
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项
.
2.
通项公式：
如果数列an
的第n项与序号之间可以用一个式子表示
那么这个公式叫做这个数列的
通项公式，即an
f（n）.
3.
递推公式：
如果已知数列
an
的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an1（或前几
项）间的关系可以用一个式子来表示，即
an
f（an1）或anf（an
1,an2），那么这个式子叫做数
列an
的递推公式.
如数列an
中，a1
1,an2an1，其中an
2an
1是数列an的递推
公式.
数列的前n项和与通项的公式
4.
①Sna1a2
an
；②an
S1（n
1）
Sn
.
Sn1（n2）
5.数列的表示方法：
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类：
有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界
数列.
①递增数列:
对于任何n
N,均有an1
an.
②递减数列:
对于任何n
N,均有an1
an.
③摆动数列:
例如:
1,1,1,1,
1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,
.
⑤有界数列:
存在正数M
使an
M,n
N
.
⑥无界数列:
对于任何正数
M,
总有项an使得
anM.
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数
称为等差数列的公差.
d，这个数列叫做等差数列，
常数
d
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式an
a1
（n
1）d，
a1为首项，d为公差.
⑵前n项和公式Sn
n（a1
an）
或Sn
na1
1n（n
1）d.
2
2
3.等差中项
如果a,A,b成等差数列，那么
A叫做a与b的等差中项.
即：
A是a与b的等差中项
2Aab
a，A，b成等差数列.
4.等差数列的判定方法
⑴定义法：
an1
an
d（n
N，d是常数）
an是等差数列；
⑵中项法：
2an
1an
an
2（n
N）
an
是等差数列.
5.等差数列的常用性质
⑴数列an
是等差数列，则数列
anp、
pan
（p是常数）都是等差数列；
⑵在等差数列
an
中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即
an,ank,an
2k,an3k,
为等
差数列，公差为
kd.
⑶
n
m
（
）an
anba
b
Sn
an
2
bn
（
b
是常数，
a0
）
aa
n
md；
（,
是常数）；
a
（,,,
qN
），则
m
a
n
a
p
a
q；
⑷若
mnpqmnp
a
⑸若等差数列
an
的前n项和Sn，则
Sn
是等差数列；
n
⑹当项数为
2n
（n
N
），则
偶
奇
S偶
an1
；
S
Snd,
an
S奇
当项数为2n
1（n
N），则
奇
偶
an,
S偶
n
1.
S
S
S奇
n
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（q0），这个数列叫做等比数
列，常数q称为等比数列的公比.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式：
ana1qn
1
，
a1为首项，q为公比.
⑵前n项和公式：
①当q
1
时，Sn
na1
②当q1时，Sn
a1（1qn）a1
anq.
1q
1
q
3.等比中项
如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
即：
G是a与b的等差中项
a，A，b成等差数列G2
ab.
4.等比数列的判定方法
⑴定义法：
an1
q（n
N，q
0是常数）
an
是等比数列；
an
2
anan2（nN
）且an0
an
⑵中项法：
an1
是等比数列.
5.等比数列的常用性质
⑴数列an
是等比数列，则数列
pan、
pan
（q
0
是常数）都是等比数列；
⑵在等比数列
an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即
an,an
k,an2k,an3k,为等
比数列，公比为qk.
⑶anamqnm（n,mN
）
（,,
qN
），则aa
n
a
p
a
q
；
⑷若
mnpqmnp
m
⑸若等比数列
an的前n项和Sn，则Sk、S2k
Sk、S3k
S2k、S4k
S3k是等比数列.
二、典型例题
A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）
1）根据基本量求解（方程的思想）
1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；
2、等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．
3、设an是公比为正数的等比数列，若a11,a516，求数列an前7项的和.
4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.
2）根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知Sn为等差数列
an
的前n项和，a6
100
，则S11
；
2
、设Sn、Tn分别是等差数列
an
、an的前n项和，Sn
7n
2，则a5
.
Tn
n
3
b5
3、设Sn是等差数列
an
的前n项和，若a5
5
S9
（
）
a3
9
S5
4
、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn
Tn,若Sn
2n
则an=（
）
Tn
3n1
bn
5
、已知Sn为等差数列
an
的前n项和，Sn
m,Smn（n
m），则Smn
.
6、在正项等比数列
an
中，a1a5
2a3a5a3a7
25，则a3
a5
_______。
7、已知数列
an是等差数列，若
a4a7a10
17,a4
a5
a6
L
a12
a13
a14
77且ak
13,则k
_________。
8
、已知Sn为等比数列
an
前n项和，Sn
54，S2n
60，则S3n
.
9、在等差数列
an中，若S4
1,S8
4，则a17
a18
a19
a20的值为（
）
10、在等比数列中，已知
a9
a10
a（a
0），a19
a20
b，则a99
a100
.
11、已知an
为等差数列，a15
8,a60
20，则a75
12、等差数列
an
中，已知S4
1,求S8.
S8
3
S16
B、求数列通公式
1）给出前几项，求通项公式
1,0,1,0,⋯⋯
1,3,6,10,15,21,,
3，-33,333，-3333,33333⋯⋯
2）给出前
n项和求通项公式
1
、⑴S
2
n2
n
3
n
1.
n
3；⑵Sn
2、设数列
an满足a13a232a3⋯+3n-1an
n（nN*），求数列
an的通项公式
3
3）给出递推公式求通项公式
a、⑴已知关系式
an1an
f（n），可利用迭加法或迭代法；
an（anan1）（an1
an2）（an2
an3）
（a2
a1）a1
例：
已知数列
an
中，a1
2,an
an1
2n1（n
2），求数列
an
的通项公式；
b、已知关系式an1an
f（n），可利用迭乘法.an
an
an1
an
2
a3
a2a1
an1an2
an3
a2
a1
例、已知数列
an
满足：
an
n
1
2）,a12，求求数列
an
的通项公式；
n
（n
an1
1
c、构造新数列
1°递推关系形如“
an1
pan
q”，利用待定系数法求解
例、已知数列
an
中，a1
1,an
1
2an
3，求数列
an
的通项公式.
2°递推关系形如“，两边同除
pn1或待定系数法求解
例、
a11,an12an3n
，求数列an的通项公式.
3°递推已知数列
an中，关系形如“an2
pan1
qan”，利用待定系数法求解
例、已知数列an
中，a11,a22,an2
3an1
2an，求数列an的通项公式.
4°递推关系形如"an
pan1
qanan（1p,q
0）,两边同除以anan1
例1、已知数列an
中，an
an12anan（1
n2）,a12，求数列
an的通项公式.
例2、数列an中，a12,an1
2an（nN），求数列
an的通项公式.
4an
d、给出关于Sn和am的关系
例1、设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n（nN），设bnSn3n，
求数列bn的通项公式．
例2、设Sn是数列an
的前n项和，a1
1，Sn2
anSn
1（n2）.
2
⑴求an的通项；
Sn
，求数列
bn的前n项和Tn.
⑵设bn
2n
1
C、证明数列是等差或等比数列
1）证明数列等差
例1、已知
Sn为等差数列
an
的前
n项和，bn
Sn
n
（n
N）.求证：
数列
bn
是等差数列
.
例2、已知数列{an
n
，且满足
nnn－1
1
1
}的前n项和为S
a+2S·S=0
（n≥2），a=.
1
2
}是等差数列；
求证：
{
Sn
2）证明数列等比
例1、设{an}是等差数列，bn＝
1
2
an
，求证：
数列{bn}是等比数列；
例2、数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：
数列{cn}是等比数列；
例3、已知Sn为数列an的前n项和，a1
1
，Sn
4an2.
⑴设数列
bn中，bn
an
12an，求证：
bn
是等比数列；
⑵设数列
cn中，cn
an
，求证：
cn
是等差数列；⑶求数列
an的通项公式及前
2n
n项和.
例4、设Sn为数列
an的前n项和，已知ban2n
b1Sn
⑴证明：
当b2
时，an
n2n1是等比数列；
⑵求an的通项公式
例5、已知数列an满足a11,a23,an23an12an（nN*）.
⑴证明：
数列an1an是等比数列；
⑵求数列an的通项公式；
⑶若数列bn满足4b114b21...4bn1（an1）bn（nN*）,证明bn是等差数列.
D、求数列的前n项和
基本方法：
1）公式法，
2）拆解求和法.
例1、求数列{2n
2n
3}的前n项和Sn.
例2、求数列
1
，
1，
1，，
1），的前
n
项和
Sn.
1
2
3
（n
2n
2
4
8
例3、求和：
2×5+3×6+4×7++n（n+3）
2）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1
1（1
1）；
n（nk）
kn
nk
1
n
1
n；
n
n1
例1、求和：
S=1+
1
1
1
1
2
1
2
3
1
2
3
n
例3、
求和：
1
1
1
1
.
2
1
3
2
43
n
1
n
3）倒序相加法，
例、设f（x）
x2
2，求：
1
x
⑴f（41）
f（31）
f（21）
f
（2）
f（3）
f（4）；
⑵f（20101）
f（20091）
f（31）
f（21）
f
（2）
f（2009）f（2010）.
4）错位相减法，
3n，求此数列的前
例、若数列an的通项an
（2n1）
n项和Sn.
5）对于数列等差和等比混合数列分组求和
2
的前n项和T.
例、已知数列{a}的前n项和S=12n－n，求数列{|a|}
n
n
n
n
E、数列单调性最值问题
例1、数列an中，an
2n
49，当数列an
的前n项和Sn取得最小值时，n
.
例2、已知Sn为等差数列
an
的前n项和，a1
25,a416.当n为何值时，Sn取得最大
值；
例4、数列an中，an
3n2
28n1，求an取最小值时n的值.
例5、数列an中，annn22，求数列an的最大项和最小项.
例5、设数列
an
的前n项和为Sn．已知a1a，an1
Sn3n，nN*．
（Ⅰ）设bn
Sn
3n，求数列bn的通项公式；
（Ⅱ）若an
1≥an，nN*，求a的取值范围．
例6、已知
⑴求数列⑵数列an
Sn为数列an的前n项和，a13，SnSn12an（n2）.
an的通项公式；
中是否存在正整数k，使得不等式akak1对任意不小于k的正整数都成立？
若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由.
例7、非等比数列{an}中，前n项和Sn
1（an
1）2，
（1）求数列{an}的通项公式；
4
（2）设bn
1
b2
L
bn，是否存在最大的整数
m，使得对任意
（nN*），Tnb1
n（3
an）
的n均有Tn
m总成立？
若存在，求出
m；若不存在，请说明理由。
32
F、有关数列的实际问题
例1、用砖砌墙,第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,
依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?
例2、2002年底某县的绿化面积占全县总面积的
40％，从2003
年开始,计划每年将非绿化
面积的
8％绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的
2％被非绿化.
1,2002年底绿化面积为
a1
4
an1,试用
⑴设该县的总面积为
经过n年后绿化的面积为
10
an表示
an1；
⑵求数列an的第n
1
项an1；
⑶至少需要多少年的努力
才能使绿化率超过
60%（参考数据:
lg2
0.3010,lg3
0.4771）
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