第二章 事件的概率.docx

1、第二章 事件的概率第二章 事件的概率2-1 概率的概念一、事件的概率 在随机试验中，事件A出现的可能性大小称为事件A的概率，记为P(A)。 随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，但是在大量重复试验中，某个事件的发生是有其内在规律性的，它出现的可能性大小是可以度量的，即概率。二、事件的频率1、定义：在相同的条件下，随机事件A在n次试验中出现了r次，则称比值为这n次试验中事件A出现的频率。2、频率和概率的关系：概率为频率的稳定值，事件的概率可用频率近似。三、概率性质1、2、3、A1，A2，An两两互斥，则2-2 古典概型一、古典盖型：若我们的试验有如下特征：（1）试验的可能结果只有有限个（2

2、）各个可能结果出现是等可能的则称此试验为古典概型二、古典概型概率的计算公式其中n为样本空间中所含有的样本点总数，K为事件A所包含的样本点数三、基本计数原理 设有m个试验，第一个试验有n1种可能结果，对于第i(2im)次试验，前 i-1个试验的每一种可能结果，都使第i个试验有ni种可能结果，则m个试验一共有n1n2nm种可能结果。【例】设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件，现按以下两种方式随机抽取2件产品：(a)有放回抽取，即先任意抽取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；(b)不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取一件。试分别按这两种抽样方式求：(1)两件都是次品

3、的概率(2)第一件是次品，第二件是正品的概率【例】一口袋中装有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机的取一只，考虑两种取球的方式，放回抽样和不放回抽样求：(1)取到的两只球都是白球的概率 (2)取到的两只球颜色相同的概率 (3)取到的两只球中至少有一个是白球的概率【例9】某城市电话号码升位后为六位数，且第一位为6或8，求：(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率(2)随机抽取的电话号码末位数是8的概率【例10】一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，并且她在10次试验中都正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？【例11】设某超市有奖

4、销售，投放n张奖券只有一张有奖，每位顾客可抽一张，求第k位顾客中奖的概率（1kn）。【例12】从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率【例13】设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k（kD）件次品的概率是多少？2-3 几何概率一、几何概型：若试验有如下特征（1）试验的一切可能结果为无限多个（2）各个可能结果出现是等可能的二、几何概率的计算方法 设有某个空间区域，试验的结果可用位于内的某个随机点的位置来表示，假定随机点落在中任意一个位置是等可能的，用事件A表示随机点落在的一个子区域SA内则有，其中：当SA为直线上区间时，|S

5、A|为区间长度；当SA为平面矩形是，|SA|为矩形面积；当SA为空间长方体时，|SA|即为长方体的体积；|的意义相同。【例14】某公共汽车站从上午7时起，每隔15min来一趟车，一乘客在7：00到7：30分之间随机到达该车站。求： (1)该乘客等候不到5min乘上车的概率 (2)该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率【例15】甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面，先到的人等候另一个人，经过时间t（tT）后离去，设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连，求甲乙两人能会面的概率。.2-4 概率的公理化定义一、公理化定义设随机试验的样本空间为，若对每一

6、事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应满足如下公理1.公理1（非负性）：0P(A)1 2.公理2（规范性）：P()=13.公理3（完全可加性）对任意一列两两互斥事件A1，A2，有则称P(A)为事件A的概率。二、性质1、2、3、有限可加性：对任意有限个互斥事件A1,A2,An有4、5、若，则【例16】 将n个球随机的放入N（Nn）个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率（设盒子的容量无限）【例17】 设一年有365天，求下述事件A，B的概率A=n个人中没有2人生日相同B=n个人有2人生日在同一天【例18】 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生，问：(1)每一

7、个班级中各分配到一名优秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？【例19】 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的【例20】 将一枚硬币抛掷三次(1)求事件A为“恰有一次出现正面”的概率(2)出现正面次数为1的概率【例21】 袋中有a个黑球，b个白球，它们除颜色不同外，其他没有差别，现在随机地把球一个接一个的摸出来，求A=“第k次摸出的球是黑球”的概率 【例22】 设事件A，B的概率分别为和，求在下列三种情况下的值(1) A与B互斥(2) A B(3)P(AB)=1/8【例23】 在1-2000的整数中

8、随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除又不能被8整除的概率是多少？【例24】 设A、B、C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)= 1/8，求A,B,C至少有一个发生的概率。【例25】 在某城市中发行三种报纸A，B，C，经调查按户订阅A报的占45%，订阅B报的占35%，订阅C报的占30%，同时订阅A报和B报的占10%，同时订阅A报和C报的占8%，同时订阅B报和C报的占5%，同时订阅这三种报纸的占3%，试求下列事件的概率(1)只订B报的 (2)只订A报及B报的(3)正好订1种报纸的 (4)正好订2种报纸的(5)至少订阅2种报纸的 (6)至少

9、订一种报纸的(7)不订报纸的 (8)至多订阅一种报纸的【例26】 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码 (1)求最小号码为5的概率 (2)求最大号码为5的概率【例27】 在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。【例28】 从5双不同的鞋中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？【例29】 将3个球随机的放入4个杯子中去，求杯子中球的最大数分别为1，2，3的概率。【例30】 袋中有白球5个，黑球6个，陆续取出3球。求 (1) 顺序为黑白黑的概率(2) 2只黑球的概率(3) 有放回地取3次，求取得两只黑球的概率