第二章 事件的概率.docx

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第二章事件的概率

第二章事件的概率

§2-1概率的概念

一、事件的概率

●在随机试验中，事件A出现的可能性大小称为事件A的概率，记为P（A）。

●随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，但是在大量重复试验中，某个事件的发生是有其内在规律性的，它出现的可能性大小是可以度量的，即概率。

二、事件的频率

1、定义：

在相同的条件下，随机事件A在n次试验中出现了r次，则称比值

为这n次试验中事件A出现的频率。

2、频率和概率的关系：

概率为频率的稳定值，事件的概率可用频率近似。

三、概率性质

1、

2、

3、A1，A2，…An两两互斥，则

§2-2古典概型

一、古典盖型：

若我们的试验有如下特征：

（1）试验的可能结果只有有限个

（2）各个可能结果出现是等可能的

则称此试验为古典概型

二、古典概型概率的计算公式

其中n为样本空间中所含有的样本点总数，K为事件A所包含的样本点数

三、基本计数原理

设有m个试验，第一个试验有n1种可能结果，对于第i（2≤i≤m）次试验，前

i-1个试验的每一种可能结果，都使第i个试验有ni种可能结果，则m个试验一共有n1×n2×…nm种可能结果。

【例７】设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件，现按以下两种方式随机抽取2件产品：

（a）有放回抽取，即先任意抽取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；

（b）不放回抽取，即先任抽一件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取一件。

试分别按这两种抽样方式求：

（1）两件都是次品的概率

（2）第一件是次品，第二件是正品的概率

【例８】一口袋中装有6只球，其中4只白球，2只红球，从袋中取球两次，每次随机的取一只，考虑两种取球的方式，放回抽样和不放回抽样

求：

（1）取到的两只球都是白球的概率

（2）取到的两只球颜色相同的概率

　（3）取到的两只球中至少有一个是白球的概率

【例9】某城市电话号码升位后为六位数，且第一位为6或8，求：

（1）随机抽取的一个电话号码为不重复的六位数的概率

（2）随机抽取的电话号码末位数是8的概率

【例10】一位常饮牛奶加茶的女士称：

她能从一杯冲好的饮料中辨别出先放茶还是先放牛奶，并且她在10次试验中都正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？

【例11】设某超市有奖销售，投放n张奖券只有一张有奖，每位顾客可抽

一张，求第k位顾客中奖的概率（1≤k≤n）。

【例12】从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列，求取得的三个数字

排成的数是三位数且是偶数的概率

【例13】设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k

（k≤D）件次品的概率是多少？

§2-3几何概率

一、几何概型：

若试验有如下特征

（1）试验的一切可能结果为无限多个

（2）各个可能结果出现是等可能的

二、几何概率的计算方法

设有某个空间区域Ω，试验的结果可用位于Ω内的某个随机点ω的位置来表

示，假定随机点ω落在Ω中任意一个位置是等可能的，用事件A表示随机点落在Ω的一个子区域SA内则有

，其中：

当SA为直线上区间时，|SA|为区间长度；

当SA为平面矩形是，|SA|为矩形面积；

当SA为空间长方体时，|SA|即为长方体的体积；|Ω|的意义相同。

【例14】某公共汽车站从上午7时起，每隔15min来一趟车，一乘客在

7：

00到7：

30分之间随机到达该车站。

求：

（1）该乘客等候不到5min乘上车的概率

（2）该乘客等候时间超过10min才乘上车的概率

【例15】甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面，先到的人等候

另一个人，经过时间t（t

该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连，求甲乙两人能会面的概率。

.

§2-4概率的公理化定义

一、公理化定义

设随机试验的样本空间为Ω，若对每一事件A，有且只有一个实数P（A）与之对应满足如下公理

1.公理1（非负性）：

0≤P（A）≤1

2.公理2（规范性）：

P（Ω）=1

3.公理3（完全可加性）对任意一列两两互斥事件A1，A2，…有

则称P（A）为事件A的概率。

二、性质

1、

2、

3、有限可加性：

对任意有限个互斥事件A1,A2,……An有

4、

5、若

，则

【例16】将n个球随机的放入N（N≥n）个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率（设盒子的容量无限）

【例17】设一年有365天，求下述事件A，B的概率

A={n个人中没有2人生日相同}

B={n个人有2人生日在同一天}

【例18】将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有

3名是优秀生，问：

（1）每一个班级中各分配到一名优秀生的概率是多少？

（2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？

【例19】某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的

【例20】将一枚硬币抛掷三次

（1）求事件A为“恰有一次出现正面”的概率

（2）出现正面次数为1的概率

【例21】袋中有a个黑球，b个白球，它们除颜色不同外，其他没有差别，现在随机地把球一个接一个的摸出来，求A=“第k次摸出的球是黑球”的概率

【例22】设事件A，B的概率分别为

和

，求在下列三种情况下

的值

（1）A与B互斥

（2）A⊂B

（3）P（AB）=1/8

【例23】在1-2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除又不能被8整除的概率是多少？

【例24】设A、B、C是三个事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/8，求A,B,C至少有一个发生的概率。

【例25】在某城市中发行三种报纸A，B，C，经调查按户订阅A报的占45%，订阅B报的占35%，订阅C报的占30%，同时订阅A报和B报的占10%，同时订阅A报和C报的占8%，同时订阅B报和C报的占5%，同时订阅这三种报纸的占3%，试求下列事件的概率

（1）只订B报的

（2）只订A报及B报的

（3）正好订1种报纸的（4）正好订2种报纸的

（5）至少订阅2种报纸的（6）至少订一种报纸的

（7）不订报纸的（8）至多订阅一种报纸的

【例26】在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码

（1）求最小号码为5的概率

（2）求最大号码为5的概率

【例27】在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。

【例28】从5双不同的鞋中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？

【例29】将3个球随机的放入4个杯子中去，求杯子中球的最大数分别为1，2，3的概率。

【例30】袋中有白球5个，黑球6个，陆续取出3球。

求

（1）顺序为黑白黑的概率

（2）2只黑球的概率

（3）有放回地取3次，求取得两只黑球的概率