二次函数实际问题及应用学案横版.docx

1、二次函数实际问题及应用学案横版二次函数实际问题及应用适用学科初中数学适用年级初中三年级适用区域全国新课标课时时长（分钟）60分钟知识点1. 根据实际问题列二次函数关系式；2. 二次函数的运用；3. 应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值；4. 应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题；5. 应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题； 学习目标一、 知识与技能1. 会根据题目所给实际问题列二次函数关系式；2. 能根据题意判断是何种类型的运用，然后根据具体类型的解题方法来解决实际问题；3. 能将实际问题转化为二次函数的模型，运用二次函数的图像、性质来解决问题；4. 掌握

2、转化、实际到理论、理论到实际的学习方法，做到学以致用。二、 过程与方法1 列二次函数关系式是建立在等式关系的基础上的，只不过是用一个未知量表示另一个未知量，所以解决这类问题是跟方程紧密联系在一起的，还有一些建立等量关系的一些公式（利润=售价-进价等等）；2加强和巩固对不同类型的方程实际问题的攻克；3引导学生先将各部分用关于自变量的代数式表示出来，然后再根据等量关系将它们组合在一起，进而列出关系式；4让学生通过实践二次函数不同类型的应用，总结出做不同类型题目的方法。三、 情感、态度与价值观1培养学生分步，循序渐进、由浅入深、组合的学习方法；2养成善于观察、勤动手、勤思考的学习习惯；3培养学生学习

3、数学的数学思想（数形结合、转化、方程、分类等）。4激发学生学习数学的兴趣，形成良好的价值观。学习重点根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的应用学习难点根据实际问题列二次函数关系式；二次函数的应用学习过程 一、复习预习1、抛物线与x轴的交点：（1）抛物线y= ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a0）在形式上有区别也有联系；（2）令抛物线y=0时，二次函数就变为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）；反过来，令一元二次方程0=y时，一元二次方程就变为二次函数y= ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0）；（3）二次函数与x

4、轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根是二次函数与x轴交点的横坐标。2、图像法求一元二次方程的近似根： （1）作出二次函数的图像； （2）观察二次函数图像与x轴的交点在哪些点之间；（3）取适当的值进行试解，求方程的近似根。3、抛物线与不等式（组）的关系： （1）当抛物线的函数值大于或小于零时，即对应着一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0或ax2+bx+c0或ax2+bx+c0；(3)若抛物线与直线没有交点，则联立二次函数和直线关于自变量x的方程，即：ax2+bx+c=kx+b，此时一元二次方程ax2+(b-k

5、)x-b=0无解，且判别式0；二、知识讲解考点/易错点1根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。(5)检验所得解是否符合

6、实际：即是否为所提问题的答案(6)写出答案2、常见题目类型 (1)几何类(三角形、四边形、圆等) 一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。 (2)桥梁问题 这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。 (3)销售问题 这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）数量这个公式去进行，难度大一点的

7、就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。 考点/易错点2二次函数的应用： 1、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值：这类问题常见有面积、利润销售量的最大（小）值，一般这类问题的解题方法是：先表示出二次函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。2、 应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题:这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。3、 应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式

8、求出顶点坐标。 三、例题精析【例题1】 【题干】（庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）Ay=-2x2By=2x2Cy=-x2Dy=-x2【答案】C【解析】解：设此函数解析式为：y=ax2，a0；那么（2，-2）应在此函数解析式上则-2=4a，即得a=-，那么y=-x2故选C【例题2】 【题干】（自贡）进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）Ay=2a（x-1）By

9、=2a（1-x）Cy=a（1-x2）Dy=a（1-x）2【答案】D【解析】解：由题意第二次降价后的价格是a（1-x）2则函数解析式是y=a（1-x）2故选D【例题3】 【题干】（青岛）有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为_【答案】.【解析】解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），y=ax（x-40）又函数过点（20，16）代入得20a（20-40）=16，解得a=抛物线的解析式为y=-故答案为y=【例题4】【题干】（哈尔滨）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设A

10、B边长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）的关系式为_（不要求写出自变量x的取值范围）【答案】y=. 【解析】解：AB边长为x米，而菜园ABCD是矩形菜园，BC=，菜园的面积=ABBC=（30-x）x，y=-x2+15x故填空答案：y=-x2+15x【例题5】【题干】（丽水）如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（） 【答案】C【解析】解：作AEAC，DEAE，两线交于E点，作DFAC垂足为F点，BAD=CAE=90，即BAC+CAD=CAD+DAEBAC=DAE又AB=AD，ACB=E=

11、90ABCADE（AAS）BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a， CF=AC-AF=AC-DE=3a，在RtCDF中，由勾股定理得， CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=（DE+AC）DF=（a+4a）4a=10a2=x2故选C【例题6】【题干】（毕节地区）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1x10），求出

12、y关于x的函数关系式；（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次【答案】(1) y=-10x2+180x+400（-2，3）；(2) 6【解析】解：（1）第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件第x档次，提高的档次是x-1档y=6+2（x-1）95-5（x-1），即y=-10x2+180x+400（其中x是正整数，且1x10）；（2）由题意可得：-10x2+180x+400=1120整理得：x2-18x+72=0解得：x1=6，x2=12（舍去）答：该产品的质量档次为第6档【例题7】【题干】（抚顺）某经销商销

13、售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】(1) y=-2x+60（10x18）；（2）当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元；(3) 15元； 【解析】解：（1）

14、设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入得10k+b40,18k+b24;解得k2, b60;y与x之间的函数关系式y=-2x+60（10x18）；（2）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600，对称轴x=20，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，10x18，当x=18时，W最大，最大为192即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元（3）由150=-2x2+80x-600，解得x1=15，x2=25（不合题意，舍去）答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元【例题8】【题干】（天水）如图，排球运动员站在

15、点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由（3）若球一定能越过球网，又不出边界则h的取值范围是多少？【答案】(1) y=-（x-6）2+2.6，(2) 会出界,(3) h.【解析】解：（1）h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），2=a（0-6）2+2.6，解得：a=，

16、故y与x的关系式为：y=-（x-6）2+2.6，（2）当x=9时，y=（x-6）2+2.6=2.452.43，所以球能过球网；当y=0时，（x-6）2+2.6=0，解得：x1=6+218，x2=6-2（舍去）故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：236a+h，0144a+h；解得a- ，h=此时二次函数解析式为：y= （x-6）2+此时球若不出边界h，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：2.43a(96)2+h，2a(06)2+h；解得a=，h=；此时球要过

17、网h；故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h【例题9】【题干】（台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（

18、毛利润=销售总收入-经营总成本）求w关于x的函数关系式；若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润 【答案】(1) y=(2)y=18吨 (3) 购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元 【解析】解：（1）当2x8时，如图，设直线AB解析式为：y=kx+b，将A（2，12）、B（8，6）代入得：，解得，y=-x+14；当x8时，y=6所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：y=（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨

19、梅（20-x）吨当2x8时， wA=x（-x+14）-x=-x2+13x； wB=9（20-x）-12+3（20-x）=108-6xw=wA+wB-320=（-x2+13x）+（108-6x）-60=-x2+7x+48；当x8时， wA=6x-x=5x； wB=9（20-x）-12+3（20-x）=108-6xw=wA+wB-320=（5x）+（108-6x）-60=-x+48w关于x的函数关系式为：w=当2x8时，-x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=-2，均不合题意；当x8时，-x+48=30，解得x=18当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨（3）设该公司用132万元

20、共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m-x）吨，则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为12+3（m-x）万元，3m+x+12+3（m-x）=132，化简得：x=3m-60当2x8时， wA=x（-x+14）-x=-x2+13x； wB=9（m-x）-12+3（m-x）=6m-6x-12w=wA+wB-3m=（-x2+13x）+（6m-6x-12）-3m=-x2+7x+3m-12将3m=x+60代入得：w=-x2+8x+48=-（x-4）2+64当x=4时，有最大毛利润64万元，此时m=，m-x=；当x8时， wA=6x-x=5x； wB=9（m-x）-

21、12+3（m-x）=6m-6x-12w=wA+wB-3m=（5x）+（6m-6x-12）-3m=-x+3m-12将3m=x+60代入得：w=48当x8时，有最大毛利润48万元综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元 四、课堂运用【基础】1. 某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是_.2. 一个容器内盛满纯酒精50kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精ykg，设每次倒出的xkg，则y与x之间的函数关系式为_.3. 在一

22、幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是4. （甘肃）如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是_.5、（杨浦区二模）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是_.【巩固】1. 某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降

23、价2元，每天可多卖出1件在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为2. 喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件设每件商品的售价上涨x元（x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为_.3. （滨州二模）如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AEEF设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是_.4（眉山）如图，已知等腰直角ABC的直角边长与正方

24、形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为_. 【拔高】1. （呼伦贝尔）某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16

25、元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由2. （合肥模拟）某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），最高处距水面10m，入水处距池边的距离为4m在某次跳水时，要求该运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误（）求这条抛物线的解析式；（）该运动员按（）中抛物线运行，要使此次跳水不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多为多少米？3. （黄冈样卷）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？课程小结1. 根据实际问题列二次函数关系式；2. 二次函数的运用；3. 应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值；4. 应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题；5. 应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题.