线性代数综合练习zhongkai.docx

1、线性代数综合练习zhongkai线性代数综合练习一.填空题1. 1.设 则 ， 。 ， 。详解： 2.设行列式则第4行各元素代数余子式之和为 。详解： 3、设A的特征值为：1，2，3，则2A的特征值是 的特征值 详解： 2，4，6 4、正交矩阵A的行列式的绝对值等于 1 解答：对， 二.选择题1. 设，则 (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4详解：选.2. 设=，则 (A) 18； (B)； (C) 13 ； (D) 15.详解：B3. 设非齐次线性方程组Ax = b，其中Am n且R(A)=mn，则(A) 方程组Ax = b仅有唯一解. (B) 方程组Ax = b仅有零解.(

2、C) 方程组Ax = b有无穷多解. (D) 方程组Ax = b无解.详解：选C; 4设A是n阶可逆阵，是非零常数，则下列等式错误的是(A)； (B)； (C)； (D) 详解：选C5若，则阶方阵的秩是(A) 2 (B)； (C)； (D) 不能确定详解：选C6已知满足,则(A)； (B)； (C)； (D) 详解：选B7行列式中元素的代数余子式等于(A)； (B) 9； (C)； (D) 29详解：选D8设为阶方阵，如果，则(A)； (B) A； (C) E； (D) O详解：选D9设均为阶方阵，下列各式正确的是：(A)； (B)；(C)； (D) 详解：选D10. 设=，则(A)； (B)

3、； (C)； (D) 详解：选C11设是n阶可逆阵，是非零常数，则(A)； (B)；(C)； (D) 详解：选A12齐次线性方程组存在非零解，则 = (A) ； (B)； (C)； (D) 详解：选A13设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，则该方程组的通解为(A) (B) (C) (D) 详解：选C14设非齐次线性方程组，其中且，则(A) r = m时方程组无解； (B) m = n时方程组有无穷多解；(C) r = R = n时方程组有唯一解；(D) r = n时方程组有唯一解. 详解：选C15向量组= (1，1，1)T ， = (1，2，3)T ， = (1，3，

4、6)T的秩等于(A)； (B) 2； (C) 3； (D) 4详解：选C16若，则3阶方阵的秩等于(A) 3 (B) 2； (C)； (D) 不能确定详解：选A17设，是n阶方阵，则(A) (B) (C) (D) 详解：选C18已知向量组= (1，1，1)T ， = (1，2，3)T ， = (1，3，t)T的秩是2，则t =(A) 1 (B) 3； (C) 5； (D) 7详解：选C19. A满足2AE0则A逆（）A 不存在; B E; C (2EA); D (A 2E) 详解：由定义选C20. .如果，则 。A. B. C. D. 详解：选C21 .行列式非零的充分条件是 。A.所有元素都

5、不为零 B.至少有个元素不为零C.的任意两列元素之间不成比例 D.以为系数行列式的线性方程组有唯一解详解：选D22.设非齐次线性方程组有唯一解，则 。A. B. C. D. 详解：选C23. 对于同一n阶矩阵,关于非齐次线性方程组()和齐次线性方程组,下列说法中正确的是 ( )() 无非零解时,无解 () 有无穷多解时,有无穷多解() 无解时,无非零解 () 有唯一解时,只有零解详解：选D24. 设是齐次线性方程组的两个解向量,是非齐次线性方程组的两个解向量,则 ( )() 是的解 () 是的解() 是的解 () 是的解详解：选C25. 设都是非齐次线性方程组的解向量,若是导出组AX=0的解向

6、量,则 ( )() 3 () 2 () 1 () 0详解：选B,对式子左乘一个后，令其等于零，即可得26. 方程组的基础解系由几个解向量组成? ( )() 0个 () 1个 () 2个 () 3个详解：选D，3-1227. 已知是矩阵,齐次线性方程组有4个自由变量,则 秩() ( )() 2 () 3 () 4 () 5详解：选A，自由变量的个数与秩之和等于未知数的个数28. 设元线性方程组的增广矩阵为,秩(),秩,问:在下列何种情况下,方程组必定有解 ( )() () () () 详解：选C，此为有解的充要条件29. 设是矩阵,秩(),则齐次线性方程有非零解的充分必要条件是 ( )() ()

7、 () () 解：选A，有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组中未知数的个数30 若方程组有无穷多解,则= ( )() 1 () 2 () 3 () 4 详解：选C，满秩行列式不为零AX=0只有零解AX=b有唯一解，当系数矩阵的秩小于3时，即系数矩阵的行列式等于零，31 设线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为,则此方程组 ( )() 有唯一解或有无穷多解 () 一定有无穷多解 () 可能无解 () 一定无解详解：选D，当a=0，时第三个方程为矛盾，当不等于零时，第二个为矛盾方程32. 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换,如果能将某一行的全部元素变为0,则该方程组 ( )() 有唯一解 (

8、) 无解 () 有无穷解 () 有多余方程详解：选D，33、设n阶矩阵A的行列式为,则(k为常数)的行列式为( )详解：选B，参阅行列式的性质34、线性方程组一定( )(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解详解：选D，35、线性方程组一定( )(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解详解：选D方程一和方程三为矛盾方程36、设向量组线性无关，则关于向量组，下列说法正确的是：（ ） A、线性无关 B、线性相关 C、无法判断 D、秩为2详解：选A,注意,因为变换矩阵的行列式不为零,所以秩相同37、设四元非齐次线性方程组AX=b的三个解分别为：，又知R(A

9、)=2，则此方程级的通解为： （ ）A、 B、C、 D、详解：选B,非齐次的两个解之差为对应齐次方程组的解，先作两个差，作为基，再加上其中一个作为特解38、设有向量组，则向量组的秩为：（ ） A、1 B、2 C、3 D、4详解：选C39若，则阶方阵的秩是（ ）(A) 2 (B)； (C)； (D) 不能确定详解：选C,满秩行列式不为零AX=0只有零解AX=b有唯一解40、行列式中元素1的代数余子式等于：（ ） A、4 B、4 C、8 D、0详解：选D, 41、设，则方程组：（ ） A、无解 B、有无穷多解 C、只有零解 D、有唯一的非零解详解：选D, 因系数矩阵的行列式不为零,所以只有零解42

10、、设，问为下列哪种情况下有非零解：（ ）A、只有当 B、只有当 C、只有当 D、当或详解：选D,只有满足此条件,系数矩阵的行列式才为零,才有非零解43、设A为n阶方阵，如果线性方程组AX=b有唯一解，则下列说法不正确的是（ ） A、|A|0; B、|A|不为零; C、A可逆 D、R(A)n详解：选A, 有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数44、的充分条件是： （ ） A、k = 2; B、k = 0; C、k =2 D、k = 3详解：选C45、如果的充分条件是： （ ） A、k = 2; B、k = 0; C、k =2 D、k = 3详解：选C46、如果A为三阶矩阵，|A|a 0

11、，为A的伴随矩阵，那么|（ ） A、; B、a; C、; D、详解：因为，三阶时，所以选C47、设A，B是n阶方阵，则（ ） A、A或B可逆，必有AB可逆; B、A或B不可逆，必有AB不可逆;C、A和B都可逆，必有AB可逆; D、A和B都不可逆，必有AB不可逆;详解：A、A或B可逆(即其中之一可逆,若另一矩阵的秩小于n)，不一定有AB可逆，R(AB)minR(A),R(B)n,所以AB不一定可逆 B、A或B不可逆(即其中之一不可逆,即其秩小于n)，R(AB)minR(A),R(B)n,所以AB不一定可逆 C、A和B都可逆，如单位矩阵E与-E都可逆，但必有E（-E）不可逆; D、A和B都不可逆，

12、;A，B都不可逆，但A+B可逆。故选B48、设A，B是n阶方阵，则（ ） A、A或B可逆，必有AB可逆; B、A或B不可逆，必有AB不可逆;C、A和B都可逆，必有AB可逆; D、A和B都不可逆，必有AB不可逆;详解：A、A或B可逆(即其中之一可逆,若另一矩阵的秩小于n)，不一定有AB可逆，R(AB)minR(A),R(B)n,所以AB不一定可逆 B、A或B不可逆(即其中之一不可逆,即其秩小于n)，R(AB)minR(A),R(B)n,所以AB不一定可逆 C、A和B都可逆，如单位矩阵E与-E都可逆，但必有E（-E）不可逆; D、A和B都不可逆，;A，B都不可逆，但A+B可逆。 故选B49、设非齐

13、次线性方程组AX=b，其中则（ ） A、r = m时，AX=b有解； B、r = n时, AX = b有唯一解;C、m = n 时，AX=b有无穷多解; D、r n时，AX = b有无穷多解;详解：A、AX=b有解，而不是r = m (m为方程个数)； B、n(未知数的个数) r R(A) minm行数,n列数, 所以nm,其中某n个方程通过初等行变换得到其余m-n个方程，即这n个方程和原方程组同解。而这n个方程的系数矩阵组成一个n阶可逆矩阵，故n个方程组成的方程组有唯一解，所以原方程组AX = b也只有唯一解， C、m = n，即系数矩阵为方阵，不是有穷的充要条件，有穷解的充要条件是系数矩阵

14、的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数; D、r n且r = R(A,b)时，才有AX = b有无穷多解 故选B50、若方程组有非零解，则（ ） A、2或1； B、-2或-1; C、-2或1; D、2或-1;详解：齐次方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，所以：，所以先C51、设a=2是可逆矩阵A的一个特征值，则有一个特征值等于 （ ）A、2； B、-2; C、; D、-;解：，所以选C52、零为方阵A的特征值是A不可逆的（ ）A、充分条件； B、充要条件; C、必要条件; D、无关条件;解：，所以选B三判断题1、若n阶方阵A与B相似，则R(A) = R(B)解答：对，其中表示对A进行初等行变换，之后表示对进行初等列变换，得到B，由于初等变换不改变矩阵的秩，故R(A) = R(B)2、若n阶方阵A与B相似，则解答：对， 3、设A、B都是n阶方阵，A可逆，则AB与BA相似解答：对， 4、正交矩阵A的行列式|A|1，则1是A的特征值。解答：对，； 5、n阶矩阵A是奇异矩阵（即：|A| 0）的充分必要条件是A有一个特征值为零。解答：对， A有一个特征值为零；6、矩阵A的每个特征值的特征向量个数等于该特征值的重数，则A一定可以对角化。解答：对， 7、A与B是相似矩阵，则R(A) =