高考圆锥曲线部分大题解析.docx

1、高考圆锥曲线部分大题解析1.【2018浙江21】如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上。（1）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（2）若P是半椭圆x2+y24=1(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围。10 0 1 1 2 2AP中点满足：(0x2+022y214)BP中点满足：BP:(0x2+022y224)1 2x2+0y24)即y2-2yy+8x-y2=0的两0002个根，所以y1+y2=y，故PM垂直于y轴。01/19（2）由（1）可知y+y=2y,yy=8x-y1 2 0 1 2 002所以|PM|=18

2、(y2+y2)-x=120301200因此，SPAB3=|PM|y-y|=(y2-4x)21200因为x2+0y204=1(x0)（1）证明：k-1；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FP+FA+FB=0，证明：FP,FA,FB为等差数列，并求出该数列的公差。2/19解析：（1）由中点弦公式kkOM=-b23，解得k=-a24m又因为点M在椭圆内，故0m31，故k0)x2y2+=1交于A,B两点，433/19（1）证明：k-1；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点且FP+FA+FB=0，证明2|FP|=|FA|+|FB|。解析：（1）设A(x,y),B(x,y)，则1 1 2 2x2y

3、2x2y2y-y1+1=1,2+2=1，因为k=214343x-x21y+y1 2+ 14 32k=01 1y+y222=m即x+x12=2,y+y=2m代入上式得123 1，又因为点M在椭圆内，故0m ，故k0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q，52|PQ| 4解析：（1）由题意知：e2=c2a2-b25a2a29由|FB|AB|=62知ab=6，解得a=3,b=2x2 y2故椭圆方程为+ =19 4（2）设P(x,y),P(x,y)，则|PQ|= y1-y21 1 2 2,|AQ|=2y2|AQ| 52 5= sinAOQ = 5y=9y11 22（得到一个等量关系，然后

4、用k分别表示出y,y）1 25/19y=kxy=kx 2k 6ky= ,x2 y2 y=2 19 4分别代入上式得30k 1 11k= 或k=1+k 2 285.【2018江苏18】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C过点(3,1)，焦点2F(-3,0),F(3,0)，圆O的直径为FF。1 2 1 2（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P（i）设直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；（ii）直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为26，求直线l的方程。7解析：（1）设椭圆方程为x2y21+a2b22 + =1a2 4b2a2-b2=3a2=4x

5、24+y2=1又因为圆O的直径为FF，故圆的方程为x2+y2=31 2（2）（i）本题有两种解法：法一：椭圆和圆有公切线时求点P的坐标，可先设公切线方程为y=kx+b6/19然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出k,b的值，再求出点P的坐标，这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。法二：题目中让求点P的坐标，不如一开始就设出点P的坐标，利用点P的坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立，=0即可求出点P的坐标。这里我们选用第二种方法：y设直线与圆的切点P(x,y)，则满足x2+y0 0 0y-y=-x0(x-x)即y=-x 30x+y y0 00 0002=3，故直线l的方程为： xy=-

6、 0x+y0x2+y2=143y0(4x2+y2)x2-24xx+36-4y2=0（1）0000因为直线l与椭圆有且只有一个交点，故=0，即=(-24x)2-4(4x2+y2)(36-4y2)=48y2(x2-2)=00 0 0 0 0 0因为点P位于第一象限，即x0,y0，故x=2,y=10 0 0 0所以点P的坐标为(2,1)（ii）分析：第二问由于OAB的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长AB的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程y=kx+b，根据直线与圆相切可得b2=3k2+3，然后直线与椭圆联立，根据韦达定理写出弦长公式，将k或b转化成一个，求出即可，但是计算过

7、程很麻烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：7/19解析：设直线方程为y=kx+b，A(x,y),B(x,y)，根据直线与圆相切得1 1 2 2b2=3k2+3y=kx+bx24(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=01+4k2 1+4k2x+x=-1 28kb4b2-4,xx=12|AB|=1+k28kb16b2-1642(x+x)22()2-=1212将b2=3k2+3代入得1+k264k2(3k2+3)16(3k2+3)-1642-=(1+4k2)21+4k27注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式还需要进行平方，再将b转化为k的形式计算起来相当复杂，因

8、此我们要想办法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。4k2+1 4k2+1(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0x =1,244k2+1-b2 4k2-2|x-x|= =1 2-8kb4k2+1-b22(1+4k2)4k2-2 42|AB|=1+k2 2 =1 2解得k2=5,b2=18所以k=-5,b=32，直线方程为y=-5x+325.定值问题6.【2018全国1理】设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0)（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O

9、为坐标原点，证明：OMA=OMB8/19分析：第二问两角度相等如何证明？解析几何中常出现的量无非是距离长度，斜率，面积，周长，如果你想到了证明两个角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了长度，但是长度不容易求得，本题目M点在x轴上且角度均从O点出发，A,B两点一个在x轴上方一个在下方，因此可以考虑两条直线关于x轴对称，而对称又反应了斜率互为相反数的关系，因此本题目虽是证明题的形式出现，但本质上是求定值问题，即k+k=01 2解析：（1）由题意知F(1,0)，当l与x轴垂直时，l:x=1，此时A(1,22)，所以直线AM的方程为y=22(x-2)（2）设直线AM,BM的斜率分别为k,k12当直线l斜率

10、不存在时，此时直线AM,BM的倾斜角互补，则OMA=OMB当直线l斜率存在时，设l:y=k(x-1),A(x,y),B(x,y)1 1 2 2x2+y2=1y=k(x-1)x+x=1 24k22k2-2,xx=2k2+1122k2+1y k(x-1) k(x-1) k2xx-3(x+x)+41 + 2 = + = 12 1 21 21 2 1 2 1 29/19（注意，此处为什么不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只需要证明分子为零即可）所以k+k=1 22(2k2-2)12k2k-2k2+12k2+1(x-2)(x-2)12+4=0所以直线AM,BM的倾斜角互补，则OMA=OMB7.【20

11、18全国1文20】设抛物线C:y2=2x，点A(2,0),B(-2,0)，过点A的直线l与C交于M,N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABM=ABN解析：（1）当l与x轴垂直时，l:x=2，此时B(2,2)，直线BM的方程为1y= (x+2)2（2）具体过程可以参考32题，在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在的情况，其实无需讨论斜率是否存在，可以直接将直线方程设为x=my+2设l:x=my+2，直线BM,BN的斜率分别为k,k12x=my+2联立y2=2xy2-2my-4=0y+y=2m,yy=-41212y 2myy+4(y+y)1 + = =01 21 2 1

12、 2所以直线AM,BM的倾斜角互补，则OMA=OMB8.【2018全国3理16】已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点，若ABM=90，则k=_.10/19解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切所以y=yN Mk kAB0=1，设N(x,1)，根据焦点弦斜率公式可得012k=2AB009.【2018北京理19】已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QM=QO,QN=QO，求证：1解析：（1）因为抛物线经过P(1,2)，则p=2，抛物线方程为y2=4x由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1(k0)y2=4x由y=kx+1k2x2+(2k-4)x+1=0=(2k-4)2-4k210解得k0或0k0，则m2b0)的右顶点为A，上顶点为B。已知53（1）求椭圆的方程；（2）设直线l:y=kx(k0)与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M，且点P,M均在第四象限，若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值。14/19解析：（1）x2