高考圆锥曲线部分大题解析.docx

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高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018 浙江 21】如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线

C :

 y 2 = 4 x 上存在不同的两点 A, B 满足 PA, PB 的中点均在 C 上。

（1） 设 AB 中点为 M ，证明：

 PM 垂直于 y 轴；

（2） 若 P 是半椭圆 x2 +

y 2

4

= 1（x < 0） 上的动点，求 ∆PAB 面积的取值范围。

1

001122

AP 中点满足：

 （

0

x 2 +

0

2          2

y 2

1

4 ）

BP 中点满足：

 BP :

 （

0

x 2 +

0

2          2

y 2

2

4 ）

12

x 2 +

0

y 2

4 ） 即 y 2 - 2 y y + 8 x - y 2 = 0 的两

0        0     0

2

个根，所以 y1 + y 2 = y ，故 PM 垂直于 y 轴。

0

1 / 19

（2）由

（1）可知 y + y = 2 y , y ⋅ y = 8 x - y

120120

0

2

所以 | PM |=

1

8

（ y 2 + y 2 ） - x =

1 2 0

3

0 1 2 0 0

因此， S

∆PAB

3

=  | PM | ⋅ | y - y |=    （ y 2 - 4 x ） 2

1 2 0 0

因为 x 2 +

0

y 2

0

4

= 1（x < 0） ，所以 y 2 - 4 x = -4 x 2 - 4 x + 4 ∈ [4,5]

0 0 0 0 0

因此， ∆PAB 面积的取值范围是[6 2, 15 10 ]

4

1. 距离型问题

2.【2018 全国 3 理 20】已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C :

x2  y 2

+   = 1 交于 A, B 两点，

4   3

线段 AB 的中点为 M （1,m）（m > 0）

（1）证明：

 k < - 1 ；

2

（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点且 FP + FA + FB = 0 ，证明：

 FP, FA, FB 为

等差数列，并求出该数列的公差。

2 / 19

解析：

（1）由中点弦公式 k ⋅ k

OM

=-

b2           3

，解得 k = -

a 2 4m

又因为点 M 在椭圆内，故 0 < m <

3         1

，故 k < -

2         2

21

（2）由题意知 FA + FB = 2 FM , FP = -2 FM ，故 P（1,-2m）

3

 k = -1 ，即 | FP |=

42

1

x ,| FB |= 2 -x

1

1

| FA | + | FB |= 4 -（ x + x ）

2

⎧ x2y 2

+= 1

联立 ⎨

⎪ y = - x + 7

⎪⎩4

1                    1

⇒ 7 x2 - 14 x +  = 0 ⇒ x + x = 2, x x =

1 2 1 2

21

即 | FA | + | FB |= 4 - 1 （ x + x ） = 3

2

故满足 2 | FP |=| FA | + | FB | ，所以 FP, FA, FB 为等差数列

设其公差为 d ，因为 A, B 的位置不确定，则有

11

2d = ± || FA | - | FB ||= ±| x - x |= ±（ x + x ）2 - 4 x x

12121 2

3 21

 d = ±

1428

3.【2018 全国 3 文 20】已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C :

线段 AB 的中点为 M （1,m）（m > 0）

x2  y 2

+   = 1 交于 A, B 两点，

4   3

3 / 19

（1）证明：

 k < - 1 ；

2

（2）设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点且 FP + FA + FB = 0 ，证明

2 | FP |=| FA | + | FB | 。

解析：

（1）设 A（ x , y ）, B（ x , y ） ，则

1122

x 2  y 2   x 2  y 2            y - y

1 + 1 = 1, 2 + 2 = 1 ，因为 k = 2 1

4   3     4   3 x - x

2 1

y + y

12 +1

43

2 k = 0

11

y + y

2       2

2 = m 即 x + x

1 2

= 2, y + y = 2m 代入上式得

1 2

31

，又因为点 M 在椭圆内，故 0 < m <，故 k < -

4m22

（2） F （1,0） ，设 P（ x , y ） ，

33

FP + FA + FB = 0 ⇒ （ x -1, y ） + （ x -1, y ） + （ x -1, y ） = 0 即

331122

x = 3 - （ x + x ） = 1, y = -（ y + y ） = -2m 因为点 P 在椭圆上，代入得

312312

m = 333

422

因为 | FA |= （ x - 1）2 + y 2 = 2 -

11

x x

1 ，同理得 | FB |= 2 - 2

2                 2

21

故 | FA | + | FB |= 4 - 1 （ x + x ） = 3

2

所以 2 | FP |=| FA | + | FB |

注意：

文理科题目相同，但是给出的解题思路是不同的。

4 / 19

4.【2018 天津 理 19】设椭圆

x2  y 2

+

a2 b2

= 1 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的离心

率为5 ，点 A 的坐标为 （b,0） ，且 | FB | ⋅ | AB |= 6 2

3

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线 l :

 y = kx（k > 0） 与椭圆在第一象限的交点为 P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q ，

5 2

| PQ |4

解析：

（1）由题意知：

e2 =

c2  a 2 - b2  5

a 2 a 2    9

由 | FB | ⋅ | AB |= 6 2 知 ab = 6 ，解得 a = 3, b = 2

x2y 2

故椭圆方程为

+= 1

94

（2）设 P（ x , y ）, P（ x , y ） ，则 | PQ |=y1 - y2

1122

| AQ |= 2 y

2

| AQ |5 25

=sin ∠AOQ ⇒=⇒ 5 y = 9 y

1

12

2

（得到一个等量关系，然后用 k 分别表示出 y , y ）

12

5 / 19

⎧ y = kx

⎧ y = kx2k⎪6k

⇒ y =, ⎨ x2y 2⇒ y =

21

⎩ 94

分别代入上式得

30k111

k =或 k =

1 + k228

5.【2018 江苏 18】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 过点 （ 3, 1 ） ，焦点

2

F （- 3,0）, F （ 3,0） ，圆 O 的直径为 F F 。

1212

（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；

（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P

（i）设直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；

（ii）直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.若 ∆OAB 的面积为 2 6 ，求直线 l 的方程。

7

解析：

（1）设椭圆方程为

x2  y 2                            1

+

a2 b2 2

⎪+= 1

⎨ a24b2

⎪a2 - b2 = 3

⎧a2 = 4                x2

4

+ y 2 = 1

又因为圆 O 的直径为 F F ，故圆的方程为 x2 + y 2 = 3

12

（2）（i）本题有两种解法：

法一：

椭圆和圆有公切线时求点 P 的坐标，可先设公切线方程为 y = kx + b

6 / 19

然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出 k , b 的值，再求出点 P 的坐标，

这个方法很容易想到，但是需要两次计算相切时的条件。

法二：

题目中让求点 P 的坐标，不如一开始就设出点 P 的坐标，利用点 P 的

坐标表示出切线方程，然后直线与椭圆联立， ∆ = 0 即可求出点 P 的坐

标。

这里我们选用第二种方法：

y

设直线与圆的切点 P（ x , y ） ，则满足 x 2 + y

000

y - y =- x0 （ x - x ） 即 y = -

x3

0 x +

yy

00

00

0

0

2

= 3 ，故直线 l 的方程为：

⎧x

y =-0 x +

y

0

⎪ x2 + y 2 = 1

⎪⎩ 4

3

y

0 ⇒ （4 x 2 + y 2 ） x2 - 24 x x + 36 - 4 y 2 = 0  

（1）

0 0 0 0

因为直线 l 与椭圆有且只有一个交点，故 ∆ = 0 ，即

∆ = （-24 x ）2 - 4（4 x 2 + y 2 ）（36 - 4 y 2 ） = 48 y 2 （ x 2 - 2） = 0

000000

因为点 P 位于第一象限，即 x > 0, y > 0 ，故 x = 2, y = 1

0000

所以点 P 的坐标为 （ 2,1）

（ii）分析：

第二问由于 ∆OAB 的高即为圆的半径，故由面积可以得出弦长

AB 的值，根据弦长再求出直线方程，最容易想到的就是设出直线方程

y = kx + b ，根据直线与圆相切可得 b2 = 3k 2 + 3 ，然后直线与椭圆联立，根据

韦达定理写出弦长公式，将 k 或 b 转化成一个，求出即可，但是计算过程很麻

烦，下面给出同一个方法的两种不同解法：

7 / 19

解析：

设直线方程为 y = kx + b ， A（ x , y ）, B（ x , y ） ，根据直线与圆相切得

1122

b2 = 3k 2 + 3

⎧ y = kx + b

⎪

⎨ x2

⎩ 4

⇒ （1+ 4k 2 ） x2 + 8kbx + 4b2 - 4 = 0

1 + 4k 2      1 + 4k 2

x + x =-

12

8kb       4b2 - 4

 x x =

1 2

| AB |= 1 + k

2

8kb 16b2 -16  4 2

（ x + x ）2                      2 ⋅ （     ）2 - =

1 2 1 2

将 b2 = 3k 2 + 3 代入得 1 + k 2 ⋅

64k 2 （3k 2 + 3） 16（3k 2 + 3） -16  4 2

-              =

（1+ 4k 2 ）2      1 + 4k 2       7

注意此处，根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂，如果利用上式

还需要进行平方，再将 b 转化为 k 的形式计算起来相当复杂，因此我们要想办

法避开平方，因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根，再利用弦长

公式，就可以避开平方的出现，解法也会简单一些。

4k 2 + 1      4k 2 + 1

（1+ 4k 2 ） x2 + 8kbx + 4b2 - 4 = 0 ⇒ x=

1,2

4 4k 2 + 1 - b24 k 2 - 2

| x - x |==

12

-8kb ± 4k 2 + 1 - b2

2（1+ 4k 2 ）

4 k 2 - 24 2

| AB |= 1 + k 22 ⋅=

12

解得 k 2 = 5, b2 = 18

所以 k = - 5, b = 3 2 ，直线方程为 y = - 5 x + 3 2

5.定值问题

6.【2018 全国 1 理】设椭圆 C :

x2

2

+ y 2 = 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于

A, B 两点，点 M 的坐标为 （2,0）

（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；

（2）设 O 为坐标原点，证明：

 ∠OMA = ∠OMB

8 / 19

分析：

第二问两角度相等如何证明？

解析几何中常出现的量无非是距离长度，斜率，

面积，周长，如果你想到了证明两个角余弦值相等，那么恭喜你，你想到了长

度，但是长度不容易求得，本题目 M 点在 x 轴上且角度均从 O 点出发， A, B 两

点一个在 x 轴上方一个在下方，因此可以考虑两条直线关于 x 轴对称，而对称

又反应了斜率互为相反数的关系，因此本题目虽是证明题的形式出现，但本质

上是求定值问题，即 k + k = 0

12

解析：

（1）由题意知 F （1,0） ，当 l 与 x 轴垂直时， l :

 x = 1，此时 A（1,±

2

2

） ，所以直

线 AM 的方程为 y = ±

2

2

（ x - 2）

（2）设直线 AM , BM 的斜率分别为 k , k

1

2

当直线 l 斜率不存在时，此时直线 AM , BM 的倾斜角互补，则

∠OMA = ∠OMB

当直线 l 斜率存在时，设 l :

 y = k （ x - 1）, A（ x , y ）, B（ x , y ）

1122

⎧ x2

+ y 2 = 1

⎩

⎪ y = k （ x - 1）

x + x =

12

4k 2       2k 2 - 2

 x x =

2k 2 + 1 1 2 2k 2 + 1

yk （ x - 1）k （ x - 1）k[2 x x - 3（x + x ） + 4]

1+2=+=1 212

12

121212

9 / 19

（注意，此处为什么不需要整理分母部分，因为证明分式为零，只需要证明分

子为零即可）

所以 k + k =

12

2（2 k 2 - 2）  12k 2

k[        -

2k 2 + 1   2k 2 + 1

（ x - 2）（ x - 2）

1 2

+ 4]

= 0

所以直线 AM , BM 的倾斜角互补，则 ∠OMA = ∠OMB

7.【2018 全国 1 文 20】设抛物线 C :

 y 2 = 2 x ，点 A（2,0）, B（-2,0） ，过点 A 的直线 l

与 C 交于 M , N 两点

（1）当 l与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；

（2）证明：

 ∠ABM = ∠ABN

解析：

（1）当 l与 x 轴垂直时， l :

 x = 2 ，此时 B（2, ±2） ，直线 BM 的方程为

1

y = ±（ x + 2）

2

（2）具体过程可以参考 32 题，在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在

的情况，其实无需讨论斜率是否存在，可以直接将直线方程设为 x = my + 2

设 l :

 x = my + 2 ，直线 BM , BN 的斜率分别为 k , k

1

2

⎧ x = my + 2

联立 ⎨

⎩ y 2 = 2 x

⇒ y 2 - 2my - 4 = 0 ⇒ y + y = 2m, y y = -4

1 2 1 2

y2my y + 4（ y + y ）

1+== 0

12

1212

所以直线 AM , BM 的倾斜角互补，则 ∠OMA = ∠OMB

8.【2018 全国 3 理 16】已知点 M （-1,1）和抛物线 C :

 y 2 = 4 x ，过 C 的焦点且斜率为

k 的直线与抛物线交于 A, B 两点，若 ∠ABM = 90︒ ，则 k =________.

10 / 19

解析：

用到结论：

在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切

所以 y = y

NM

k⋅ k

AB

0

= 1 ，设 N （ x ,1） ，根据焦点弦斜率公式可得

0

1   2

⇒ k = 2

AB

0 0

9.【2018 北京 理 19】已知抛物线 C :

 y 2 = 2 px 经过点 P（1,2） ，过点 Q（0,1） 的直线 l 与

抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于

N .

（1）求直线 l 的斜率的取值范围；

（2）设 O 为原点， QM = λQO, QN = μQO ，求证：

 1

解析：

（1）因为抛物线经过 P（1,2） ，则 p = 2 ，抛物线方程为 y 2 = 4 x

由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y = kx + 1（k ≠ 0）

⎧ y 2 = 4 x

由 ⎨

⎩ y = kx + 1

⇒ k 2 x2 + （2k - 4） x + 1 = 0

∆ = （2 k - 4）2 - 4 ⨯ k 2 ⨯1 > 0 解得 k < 0 或 0 < k < 1

又 PA, PB 与 y 轴相交，故直线 l 不过点 （1,-2） ，故 k ≠ -3 【最容易遗漏的地方】

所以直线 l 斜率的取值范围是 （-∞, -3） ⋃ （-3,0） ⋃ （0,1）

11 / 19

（2）第二问考察有关向量系数的定值问题，很显然需要将 λ, μ 用 A, B 两点的

坐标表示出来然后在利用直线与抛物线联立即可，实际运算起来发现λ, μ 和

M , N 两点的纵坐标有关系，所以需要建立 A, B 和 M , N 坐标的关系，此时就需

要根据 A, B 两点坐标大胆写出 PA, PB 的直线方程，求出 M , N 两点坐标即可，

不要想什么便捷方法，怎么问怎么想就可以。

⎩ y = kx + 1

⎧ y 2 = 4 x

设 A（ x , y ）, B（ x , y ） ，由 ⎨

1122

⇒ k 2 x2 + （2k - 4） x + 1 = 0

1

 x x =

121 2

直线 PA 的方程为 y - 2 = y1 - 2 （ x - 1） ，令 x = 0 得点 M 的纵坐标为

x - 1

1

- y + 2-kx + 1

y=11

M

11

y =

N

-kx + 1

2

x - 1

2

+ 2 ，由 QM = λQO , QN = μQO 得 λ = 1 - y , μ = 1 - y

M

N

所以 1

1 - y 1 - y （k - 1）x （k - 1）x

M N 1

1     1 x - 1    x - 1

+      =   1    +   2

2

故 1

1 2 1 2

k - 1     x x k - 1

1 2

12 / 19

2  2k - 4

+

= 2

10.【2018 北京文 20】已知椭圆 M :

x2  y 2                      6

+

a2 b2 3

2 2 ，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A, B

（1）求椭圆 M 的方程；

（2）若 k = 1 ，求 | AB | 的最大值；

（3）设 P（-2,0） ，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ，直线 PB 与椭圆 M 的另一

个交点为 D ，若 C , D 和点 Q（- 7 , 1 ） 共线，求 k

4 2

⎧ c6

⎪=

⎪2c = 2 2⎪⎩c = 2

x2

⇒   + y 2 = 1

3

（2）设 l :

 y = x + m, A（ x , y ）, B（ x , y ）

1122

⎧ y = x + m

⎪

2 = 1

⎩ 3

2         4

x + x =-

12

3m      3m2 - 3

 x x =

1 2

令 ∆ = （6m）2 - 4 ⋅ 4 ⋅ （3m2 - 3） > 0 ，则 m2 < 4

| AB |= 1 + k 2 ⋅ （ x + x ）2 - 4 x x =

121 2

故当 m = 0 时， | AB | 最大。

6 ⨯ 4 - m2

2

13 / 19

（3）题目给出共线，则用向量共线即可，但是需要知道C , D 两点的坐标，因

此大胆设出 PA, PB 的方程，求出 C , D 的坐标（坐标与 A, B 坐标产生关联之

后即可）

设 A（ x , y ）, B（ x , y ）, C （ x , y ）, D（ x , y ） ，又 P（-2,0） ，所以可设

11223344

k = k1，直线 PA 的方程为：

 y = k （ x + 2）

11

1

⎧ y = k （ x + 2）

1

⎨ x2⇒ （1+ 3k 2 ） x2 + 12k 2 x + 12k 2 - 3 = 0

111

⎩ 3

4 x + 7

x =1

3

12k 2         12k 2

1 1

1 1

-7 x - 12

1

1 3 3 1 1

y

1

x + 2

1

，代入得

【注意此处也可以不转化，直接将 x 转化为 x , y 的形式，但是不如一开始就

311

转化简单】

-7 x - 12y-7 x - 12y

11122

3

11122

444

故 QC = （ x +

3

7

4

1 7 1

 y - ）, QD = （ x + , y - ）

3 4 4

7171

3443

将 C , D 坐标代入化简可得

y - y

1

x - x

1 2

11.【2018 天津文 19】椭圆

x2  y 2

+

2

a   b2

= 1（a > b > 0） 的右顶点为 A ，上顶点为 B 。

已知

5

3

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线 l :

 y = kx（k < 0） 与椭圆交于 P, Q 两点， l 与直线 AB 交于点 M ，且点

P, M 均在第四象限，若 ∆BPM 的面积是 ∆BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值。

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解析：

（1）

x2