微分几何课程教学大纲文档格式.docx

1、5 Duppin标形和曲面在一点的近似展开6 某些特殊曲面。第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。第五章 曲面论基本定理1 自然标架的运动公式2 曲面一唯一性定理3 曲面论基本议程4 曲面的存在定理5 Gauss定理。自然标架的运动公司，曲面基本议程，Gauss曲率的内在计算（Gauss定理）。第六章 测地曲率和测地线1 测地曲率和测地挠率2 测地线3 测地坐标系4 常曲率曲面5 向量场的平行移动6 Gauss-Bonnet公式测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。四、学时分配章内 容参考学时1预备知识2曲线论83第一基本形式104第二基本形式5曲面论基本

2、定理146测地曲率及测地线大纲制定者：李洪军 执笔大纲审定者：陈红斌大纲批准者：张胜利大纲校对者：李洪军“数学分析”课程教学大纲Mathematical analysisBO课程类型：必修课256 学分：理学院数学各专业一、二年级本科生高中数学1陈传璋等，数学分析，高等教育出版社。2张筑生 主编，数学分析新讲，北京大学出版社，1999年3W.Rudin Principle of Mathematical Analysis 3rdMcGraw-Hill Book Company,New York 1976本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学

3、生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。第一章 集合、映射与函数集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。第二章 序列极限序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。了 解：区间套定理及柯西收敛准则。第三章 函数极限与连续函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大

4、量的定义与性质。一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。第四章 微分、导数微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。第五章 利用导数研究函数微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。第六章 不定积分不定积分的定义及性质，不定积分的计算。第七章 定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。微分方法概念。第八章 欧氏空间与多元函数n维欧氏空间定义，Rn中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。连续与紧性，连续与连通性等概念。第九章多元函数的微分学偏导与全微分的概念

5、，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。第十章 多元函数微分学的应用方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。陷函数的重积分第十一章 多元函数的重积分重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。重积分在物理上的应用。第十二章 曲线积分与曲面积分第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。它们的几何或物理意义及应用。第十三章：各种积分间的联系格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。第十四章 广义积分无穷区间上广义积分的概

6、念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。第十五章 数项级数无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。第十六章 函数项级数、幂级数函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。逼近定理。第十七章 傅里叶级数傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。第十八章 实数理论上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理

7、、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连续性定理及其证明。第十九章 含参变量的积分 重点掌握：含参变量的积分的概念及计算。第二十章 含参量的广义积分含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，函数、函数，含参变量积分与函数逼近问题。第二十一章 场论初步场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。保守场与势函数。第二十二章节 外微分形式与斯托克司公式反对称的重线性函数，次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。掌握外微分形式与斯托克司公式。流形与

8、流形上的积分。集合、映射与函数（含习题课、下同）序列极限16函数极限与连续微分、导数（含期中测验）利用导数研究函数不定积分7定积分及其应用欧氏空间与多元函数9多元函数的微分学多元函数微分学的应用11隐函数定理12多元函数的重积分（含期中测验）13曲线积分与曲面积分15广义积分数项级数17函数项级数18傅里叶级数19关于实数理论的进一步知识（含期中测验）20含参变量的积分21含参变量的广义积分22场论初步23外微分形式与斯托克司公式陈红斌 执笔赫孝良“复变函数”课程教学大纲Theory of 0ne complex variable Complex anaylsis C09003必修课（双语）6

9、0 学分：钟玉泉：复变函数论，高教出版社。余家荣：Ahlfors：Complex AnalysisMcGraw-Hill Book Company 。Marsden Basic complex analysisMcGraw-Hill Book Company 本课程是理科数学专业的基础课之一，通过本课程的学习使学生掌握复变函数论的基本理论和内容与方法，为工程应用打下基础，也为进一步学习与研究多复变函数、复动力系统、复几何等提供必要的预备知识。要求学生熟悉掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算、学会应用本课程的基本理论及方法支解决工程实际提出的问题，并通过对英文版教材的教学与阅读，提高学生的专

10、业外语水平。第一章 平面点集与初等函数复平面上的点集、复变函数概念；复变函数的极限与连续性概念及有关理论；解析函数的概念与柯西一黎曼条件、复变函数的导数与微分、初等解析函数。复球面与无穷远点，初等多值函数等内容。第二章 全纯函数与柯西积分全纯函数概念，复变函数积分的定义及基本性质、柯西积分定理、柯西积分公式。柯西型积分，解析函数与调合函数的关系，平面向量场一解析函数的应用。第三章 解析函数的幂级数表示法复级数的基本性质，幂级数及其敛散性，解析函数的泰勒展式及罗朗展式。解析函数零点孤立性及唯一性定理。第四章 奇点与留数解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质，留数及留数定理与计算实积分。整函

11、数与亚纯函数概念，平面向量场解析函数的应用；辐解原理。第五章 共形映射解析变换的特性，线性变换，某些初等函数所构成的共形映射。第六章 解析延拓解析延拓与幂级数延拓概念，透弧解析延拓，对称原理。完全解析函数及黎曼面概念，多角形式域的共形映射。第七章 黎曼定理与正规族黎曼定理与正规族的概念。教学内容平面点集与初等函数全纯函数与柯西积分解析函数的幂级数表示法奇点与留数共形映射解析延拓黎曼定理与正规族 “常微定性稳定性方法”课程教学大纲Qualitative and stability methods of Ordinary Differential EquationMATH3055必修学 时：64

12、学 分：理学院数学类四年级本科生数学分析、高等代数、常微分方程教材：马知恩、周义仓，微分方程定性稳定性方方法，科学出版社，北京，2000。参考书：张芷芬等，微分方程定性理论，科学出版社，北京，1998。 廖晓晰，稳定性的理论方法和应用，华中理工大学出版社，1999。 Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer- Verlag New York Inc. , 1991. 一、课程性质、目的和任务本课程的目的是让学生学会常微分方程定性稳定性的基本理论和方法，尝试用这些理论和方法解决一些实际问题。 二、

13、教学基本要求要求学生掌握的存在唯一性、解对初值和参数的连续依赖性、稳定性概念、Liapunov方法、奇点分析、极限环、全局结构方面的研究方法及理论。 1基本理论：解的存在唯一性定理（用压缩映像原理证明），解的延拓定理，保证解可以延拓到无穷的条件；解对初值和参数的连续依赖性（仅叙述定理）；自治系统的基本性质（平移、轨线不相交、解对时间的可加性）；等价自治系统的无限延拓；动力系统的基本知识简介：定义、极限集合及性质、不变集合、轨线分类、平面动力系统的主要特征、极限环的分类。 2稳定性概念与二次型：基本概念、扰动系统和未扰动系统、各种稳定性和不稳定性定义；Liapunov函数概念、定号函数和常号函数

14、及其几何意义、无限小上界概念；K类函数概念，用K类函数给出定号函数与无穷小上界的等价定义；二次型正定函数、Sylverster判据、K次其次函数的定号问题、加高次项的情形；变系数二次型的定号条件。3Liapunov 第二方法：稳定性的基本定理（Liapunov第二方法、稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定、指数稳定）及其几何解释；不稳定定理及其推广，从Liapunov 定理到Qetaef定理，Lassalle不变性原理及其应用；非自治系统的比较原理及其在稳定性判定中的应用。 4一次近似理论与全局稳定性：指数矩阵；线性系统解的表达式、判定线性系统稳定性的特征根法；判定非线性方程稳定性的一次近似

15、理论；全局稳定性和区域稳定性的有关概念；全局稳定性的基本理论。5奇点分析：初等奇点及其分类；Perron定理（仅就焦点和正常结点的情形给出证明）、焦点情形的证明；特殊方向与正常区域、正常结点情形的证明；关于拓扑结构不变的Hartman定理（仅叙述而不证明）；细焦点概念，中心与细焦点的判别法；高阶奇点、F定号的情形、奇异情形、第一、二类判定（仅叙述而不证明）；平面奇点的指数。 6极限环：判定闭轨线不存在的Dulac函数法及其推广；Lienard 方程极限环的存在性证明；细焦点产生极限环的分支定理，Gpagilef定理、 Punimof定理；极限环的稳定性及其判别法；极限环的唯一性、 Sanson

16、e方法；张芷芬定理、Qepkas定理。 7全局结构：无穷远奇点及其求法；全局结构的定性分析。 8微分方程应用举例。 9总结。四、 实践环节上机4学时。五、 学时分配表教 学 内 容基本理论稳定性概念与二次型Liapunov第二方法一次近似理论与全局稳定性奇点分析极限环全局结构微分方程应用举例总结大纲制订者：王宇莹执笔周义仓王宇莹 “常微分方程”课程教学大纲 Ordinary Differential EquationMATH2043理学院数学类二四年级本科生数学分析、高等代数 周义仓、靳祯、秦军林，常微分方程及其应用，科学出版社，2003年。王高雄等，常微分方程，高等教育出版社，1987。丁同

17、仁,李承治，常微分方程，北京：高等教育出版社，1991。W. E. Boyce, R. C. Diprima, Elementary Differential equations,7th edition, John Wiley & Sons, 2000.本课程的目的是让学生学会求解常微分方程的基本方法，掌握常微分方程解的存在性和稳定性等基本理论，训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力。要求学生掌握常微分方程的基本概念、思想、方法和理论，能求解常见的一些方程和方程组，使学生受到严格的数学思维方式的训练，体会数学在解决实际问题中的巨大作用，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程。不

18、仅使学生学会求解各类微分方程解析解、数值解的方法，而且让他们掌握用计算机分析求解的思想与过程。具体内容包括：（1）求解各类微分方程的方法；（2）常微分方程的基本理论；（3）从微分方程提取尽可能多的信息；（4）近似方法、数值方法及其实现；（5）建立微分方程模型解决实际问题；（6）在应用问题中使用各种软件包和数学。 常微分方程课程的内容为5章，要求在理论、方法，应用和计算机使用方面有全面的训练。各章节主要内容如下：第一章 引论：微分方程的的起源、历史、作用、问题第一节 导出微分方程的一些实际问题：等角轨线、衰变与增长；第二节 基本概念与解的存在唯一性：微分方程、解的存在惟一性定理；第三节 一阶微分

19、方程的向量场：向量场的导出、意义、等倾线法。第二章 一阶微分方程第一节 变量可分离的方程：求解方法、齐次方程、Maple、应用举例；第二节 线性方程：常数变异法、Bernoulli方程、Maple、应用举例；第三节 全微分方程：充要条件、解法、积分因子；第四节 变量替换：参数解法、Clairaut方程、变量替换法；第五节 近似解法：逐次逼近法、幂级数法、Euler折线法、软件包第六节 一阶微分方程的应用：应用思路、具体问题 第三章 二阶及高阶微分方程第一节 可降阶的方程：三种类型、最速降线、世界跳远记录第二节 线性微分方程的基本理论.解的迭加原理、线性无关、基本解、Wronskian行列式、非

20、齐次方程解的结构 第三节 线性齐次常系数方程：特征根法第四节 线性非齐次常系数方程：降阶法、待定系数法、常数变异法第五节 高阶微分方程的应用：机械振动、LRC回路。第四章 微分方程组第一节 微分方程组的概念：实例，解的存在唯一性问题第二节 微分方程组的消元法:微分算子、消元法、首次积分法第三节 线性方程组的基本理论：解的结构定理第四节 常系数线性方程组:单实根、单复根、多重根、基本矩阵解第五节 线性非齐次常系数方程：线性变换、待定系数法、消元法第六节 应用举例：自由振动、计算机实验第五章 非线性微分方程组 第一节 引言：例子与概念第二节 自治微分方程组的性质：轨线特点、与非自治系统的差异第三节

21、 平面线性系统的奇点与相图：鞍点、结点、焦点、中心、用Maple画各种相图、p-q平面的划分第四节 几乎线性系统的稳定性：与线性系统的关系、举例第五节 Liapunov第二方法：思想、定理、例子第六节 周期解与极限环：定义、存在性、不存在性六、 实践环节上机10学时。七、 学时分配表引论6+2一阶微分方程14+2二阶及高阶微分方程10+2微分方程组非线性微分方程组秦军林执笔秦军林概率论与数理统计教学大纲Prbability Theory and Mathematical StatisticsSTAT2703必修、基础理论课48 学 分：二年级本科生高等数学、线性代数 1、施雨、李耀武编，概率论

22、与数理统计应用，西安交大出版社，1998。 2、复旦大学编，概率论，高教出版社，1987。 3、盛骤等编，概率论与数理统计，高教出版社，1996（浙大）。 4、龚冬保、王宁编，概率统计典型题，交大出版社 2000。本课程是工科学生的一门基础理论课。概率统计是研究随机现象客观规律性的数学学科。随着科学技术的发展以及人们对随机现象规律性认识的需要，概率统计的思想方法正日益渗透到自然科学和社会科学的众多领域中。通过本课程的学习，使学生掌握概率统计的基本概念。了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计分析和解决实际问题的能力。要求学生理解并掌握随机事件

23、与概率的计算理解并掌握随机变量及概率分布的性质，掌握随机变量的数学特征，了解大数定律，会用中心极限定理求近似概率，了解数理统计的基本概念，掌握参数估计及假设检验的基本理论和方法，并会用这些方法解决一些实际问题。 三、教学内容及要求（重点内容用“*”表示，了解内容“”表示，不加记号者为掌握内容）第一章 随机事件与概率：随机事件、概率、古典概率的计算、条件概率*事件的独立性*第二章 随机变量及概率分布：一维随机变量* 、二维随机变量、随机变量的相互独立定性* 、随机变量的函数的概率分布 第三章 随机变量的数字特征：数学期望*、方差*、矩、协方差与相关系数。 第四章 大数定律与中心极限定理：大数定律

24、，中心极限定理* 第五章 数理统计学的基本概念：总体与样本、样本分布、统计量、抽样分布* 第六章 参数估计：点估计*、估计量的评选标准、区间估计、正态总体参数的区间估计* 第七章 假设检验：假设检验的基本概念、正态总体参数的假设检验*、单边假设检验、参数假设的大样本检验、分布假设检验四、 课内学时分配（供参考）章次讲课学时习题课学时小计随机事件与概率随机变量及概率分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理数理统计学的基本概率参数估计假设检验合计2848 大纲制定者：王宁 执笔魏平大纲校对者: 魏平概率论与随机过程教学大纲 Probability Theory and Stochastic ProcessMATH2028高