微分几何课程教学大纲文档格式.docx
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5．Duppin标形和曲面在一点的近似展开
6．某些特殊曲面。
第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、Gauss曲率、中曲率的计算。
第五章曲面论基本定理
1．自然标架的运动公式
2．曲面一唯一性定理
3．曲面论基本议程
4．曲面的存在定理
5．Gauss定理。
自然标架的运动公司，曲面基本议程，Gauss曲率的内在计算（Gauss定理）。
第六章测地曲率和测地线
1．测地曲率和测地挠率
2．测地线
3．测地坐标系
4．常曲率曲面
5．向量场的平行移动
6．Gauss-Bonnet公式
测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
四、学时分配
章
内容
参考学时
1
预备知识
2
曲线论
8
3
第一基本形式
10
4
第二基本形式
5
曲面论基本定理
14
6
测地曲率及测地线
大纲制定者：
李洪军执笔
大纲审定者：
陈红斌
大纲批准者：
张胜利
大纲校对者：
李洪军
“数学分析”课程教学大纲
Mathematicalanalysis
BO
课程类型：
必修课
256学分：
理学院数学各专业一、二年级本科生
高中数学
1．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。
2．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，1999年
3．W.RudinPrincipleofMathematicalAnalysis3rd
McGraw-HillBookCompany,NewYork1976
本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。
通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。
第一章集合、映射与函数
集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。
第二章序列极限
序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。
了解：
区间套定理及柯西收敛准则。
第三章函数极限与连续
函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。
一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。
第四章微分、导数
微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。
第五章利用导数研究函数
微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。
平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。
第六章不定积分
不定积分的定义及性质，不定积分的计算。
第七章定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。
微分方法概念。
第八章欧氏空间与多元函数
n维欧氏空间定义，Rn中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。
连续与紧性，连续与连通性等概念。
第九章多元函数的微分学
偏导与全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。
高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。
第十章多元函数微分学的应用
方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。
陷函数的重积分
第十一章多元函数的重积分
重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。
重积分在物理上的应用。
第十二章曲线积分与曲面积分
第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。
它们的几何或物理意义及应用。
第十三章：
各种积分间的联系
格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。
第十四章广义积分
无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。
第十五章数项级数
无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。
广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。
第十六章函数项级数、幂级数
函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。
逼近定理。
第十七章傅里叶级数
傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。
第十八章实数理论
上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连续性定理及其证明。
第十九章含参变量的积分
重点掌握：
含参变量的积分的概念及计算。
第二十章含参量的广义积分
含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。
阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，Γ函数、β函数，含参变量积分与函数逼近问题。
第二十一章场论初步
场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。
保守场与势函数。
第二十二章节外微分形式与斯托克司公式
反对称的κ重线性函数，κ次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。
掌握外微分形式与斯托克司公式。
流形与流形上的积分。
集合、映射与函数（含习题课、下同）
序列极限
16
函数极限与连续
微分、导数（含期中测验）
利用导数研究函数
不定积分
7
定积分及其应用
欧氏空间与多元函数
9
多元函数的微分学
多元函数微分学的应用
11
隐函数定理
12
多元函数的重积分（含期中测验）
13
曲线积分与曲面积分
15
广义积分
数项级数
17
函数项级数
18
傅里叶级数
19
关于实数理论的进一步知识（含期中测验）
20
含参变量的积分
21
含参变量的广义积分
22
场论初步
23
外微分形式与斯托克司公式
陈红斌执笔
赫孝良
“复变函数”课程教学大纲
Theoryof0necomplexvariable{Complexanaylsis}
C09003
必修课（双语）
60学分：
钟玉泉：
《复变函数论》，高教出版社。
余家荣：
Ahlfors：
《ComplexAnalysis》McGraw-HillBookCompany。
Marsden<
<
Basiccomplexanalysis〉〉McGraw-HillBookCompany
本课程是理科数学专业的基础课之一，通过本课程的学习使学生掌握复变函数论的基本理论和内容与方法，为工程应用打下基础，也为进一步学习与研究多复变函数、复动力系统、复几何等提供必要的预备知识。
要求学生熟悉掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算、学会应用本课程的基本理论及方法支解决工程实际提出的问题，并通过对英文版教材的教学与阅读，提高学生的专业外语水平。
第一章平面点集与初等函数
复平面上的点集、复变函数概念；
复变函数的极限与连续性概念及有关理论；
解析函数的概念与柯西一黎曼条件、复变函数的导数与微分、初等解析函数。
复球面与无穷远点，初等多值函数等内容。
第二章全纯函数与柯西积分
全纯函数概念，复变函数积分的定义及基本性质、柯西积分定理、柯西积分公式。
柯西型积分，解析函数与调合函数的关系，平面向量场一解析函数的应用。
第三章解析函数的幂级数表示法
复级数的基本性质，幂级数及其敛散性，解析函数的泰勒展式及罗朗展式。
解析函数零点孤立性及唯一性定理。
第四章奇点与留数
解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质，留数及留数定理与计算实积分。
整函数与亚纯函数概念，平面向量场——解析函数的应用；
辐解原理。
第五章共形映射
解析变换的特性，线性变换，某些初等函数所构成的共形映射。
第六章解析延拓
解析延拓与幂级数延拓概念，透弧解析延拓，对称原理。
完全解析函数及黎曼面概念，多角形式域的共形映射。
第七章黎曼定理与正规族
黎曼定理与正规族的概念。
教学内容
平面点集与初等函数
全纯函数与柯西积分
解析函数的幂级数表示法
奇点与留数
共形映射
解析延拓
黎曼定理与正规族
“常微定性稳定性方法”课程教学大纲
QualitativeandstabilitymethodsofOrdinaryDifferentialEquation
MATH3055
必修
学时：
64学分：
理学院数学类四年级本科生
数学分析、高等代数、常微分方程
教材：
马知恩、周义仓，微分方程定性稳定性方方法，科学出版社，北京，2000。
参考书：
张芷芬等，微分方程定性理论，科学出版社，北京，1998。
廖晓晰，稳定性的理论方法和应用，华中理工大学出版社，1999。
LawrencePerko,DifferentialEquationsandDynamicalSystems,Springer-
VerlagNewYorkInc.,1991.
一、课程性质、目的和任务
本课程的目的是让学生学会常微分方程定性稳定性的基本理论和方法，尝试用这些理论和方法解决一些实际问题。
二、教学基本要求
要求学生掌握的存在唯一性、解对初值和参数的连续依赖性、稳定性概念、Liapunov方法、奇点分析、极限环、全局结构方面的研究方法及理论。
1．基本理论：
解的存在唯一性定理（用压缩映像原理证明），解的延拓定理，保证解可以延拓到无穷的条件；
解对初值和参数的连续依赖性（仅叙述定理）；
自治系统的基本性质（平移、轨线不相交、解对时间的可加性）；
等价自治系统的无限延拓；
动力系统的基本知识简介：
定义、极限集合及性质、不变集合、轨线分类、平面动力系统的主要特征、极限环的分类。
2．稳定性概念与二次型：
基本概念、扰动系统和未扰动系统、各种稳定性和不稳定性定义；
Liapunov函数概念、定号函数和常号函数及其几何意义、无限小上界概念；
K类函数概念，用K类函数给出定号函数与无穷小上界的等价定义；
二次型正定函数、Sylverster判据、K次其次函数的定号问题、加高次项的情形；
变系数二次型的定号条件。
3．Liapunov第二方法：
稳定性的基本定理（Liapunov第二方法、稳定、一致稳定、渐近稳定、一致渐近稳定、指数稳定）及其几何解释；
不稳定定理及其推广，从Liapunov定理到Qetaef定理，Lassalle不变性原理及其应用；
非自治系统的比较原理及其在稳定性判定中的应用。
4．一次近似理论与全局稳定性：
指数矩阵；
线性系统解的表达式、判定线性系统稳定性的特征根法；
判定非线性方程稳定性的一次近似理论；
全局稳定性和区域稳定性的有关概念；
全局稳定性的基本理论。
5．奇点分析：
初等奇点及其分类；
Perron定理（仅就焦点和正常结点的情形给出证明）、焦点情形的证明；
特殊方向与正常区域、正常结点情形的证明；
关于拓扑结构不变的Hartman定理（仅叙述而不证明）；
细焦点概念，中心与细焦点的判别法；
高阶奇点、F定号的情形、奇异情形、第一、二类判定（仅叙述而不证明）；
平面奇点的指数。
6．极限环：
判定闭轨线不存在的Dulac函数法及其推广；
Lienard方程极限环的存在性证明；
细焦点产生极限环的分支定理，Gpagilef定理、Punimof定理；
极限环的稳定性及其判别法；
极限环的唯一性、Sansone方法；
张芷芬定理、Qepkas定理。
7．全局结构：
无穷远奇点及其求法；
全局结构的定性分析。
8．微分方程应用举例。
9．总结。
四、实践环节
上机4学时。
五、学时分配表
教学内容
基本理论
稳定性概念与二次型
Liapunov第二方法
一次近似理论与全局稳定性
奇点分析
极限环
全局结构
微分方程应用举例
总结
大纲制订者：
王宇莹执笔
周义仓
王宇莹
“常微分方程”课程教学大纲
OrdinaryDifferentialEquation
MATH2043
理学院数学类二四年级本科生
数学分析、高等代数
周义仓、靳祯、秦军林，常微分方程及其应用，科学出版社，2003年。
王高雄等，常微分方程，高等教育出版社，1987。
丁同仁,李承治，常微分方程，北京：
高等教育出版社，1991。
W.E.Boyce,R.C.Diprima,ElementaryDifferentialequations,7thedition,JohnWiley&
Sons,2000.
本课程的目的是让学生学会求解常微分方程的基本方法，掌握常微分方程解的存在性和稳定性等基本理论，训练学生的数学思维、应用意识和分析与解决实际问题的能力。
要求学生掌握常微分方程的基本概念、思想、方法和理论，能求解常见的一些方程和方程组，使学生受到严格的数学思维方式的训练，体会数学在解决实际问题中的巨大作用，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程。
不仅使学生学会求解各类微分方程解析解、数值解的方法，而且让他们掌握用计算机分析求解的思想与过程。
具体内容包括：
（1）求解各类微分方程的方法；
（2）常微分方程的基本理论；
（3）从微分方程提取尽可能多的信息；
（4）近似方法、数值方法及其实现；
（5）建立微分方程模型解决实际问题；
（6）在应用问题中使用各种软件包和数学。
常微分方程课程的内容为5章，要求在理论、方法，应用和计算机使用方面有全面的训练。
各章节主要内容如下：
第一章引论：
微分方程的的起源、历史、作用、问题
第一节导出微分方程的一些实际问题：
等角轨线、衰变与增长；
第二节基本概念与解的存在唯一性：
微分方程、解的存在惟一性定理；
第三节一阶微分方程的向量场：
向量场的导出、意义、等倾线法。
第二章一阶微分方程
第一节变量可分离的方程：
求解方法、齐次方程、Maple、应用举例；
第二节线性方程：
常数变异法、Bernoulli方程、Maple、应用举例；
第三节全微分方程：
充要条件、解法、积分因子；
第四节变量替换：
参数解法、Clairaut方程、变量替换法；
第五节近似解法：
逐次逼近法、幂级数法、Euler折线法、软件包
第六节一阶微分方程的应用：
应用思路、具体问题
第三章二阶及高阶微分方程
第一节可降阶的方程：
三种类型、最速降线、世界跳远记录
第二节线性微分方程的基本理论.解的迭加原理、线性无关、基本解、Wronskian行列式、非齐次方程解的结构
第三节线性齐次常系数方程：
特征根法
第四节线性非齐次常系数方程：
降阶法、待定系数法、常数变异法
第五节高阶微分方程的应用：
机械振动、LRC回路。
第四章微分方程组
第一节微分方程组的概念：
实例，解的存在唯一性问题
第二节微分方程组的消元法:
微分算子、消元法、首次积分法
第三节线性方程组的基本理论：
解的结构定理
第四节常系数线性方程组:
单实根、单复根、多重根、基本矩阵解
第五节线性非齐次常系数方程：
线性变换、待定系数法、消元法
第六节应用举例：
自由振动、计算机实验
第五章非线性微分方程组
第一节引言：
例子与概念
第二节自治微分方程组的性质：
轨线特点、与非自治系统的差异
第三节平面线性系统的奇点与相图：
鞍点、结点、焦点、中心、用Maple画各种相图、p-q平面的划分
第四节几乎线性系统的稳定性：
与线性系统的关系、举例
第五节Liapunov第二方法：
思想、定理、例子
第六节周期解与极限环：
定义、存在性、不存在性
六、实践环节
上机10学时。
七、学时分配表
引论
6+2
一阶微分方程
14+2
二阶及高阶微分方程
10+2
微分方程组
非线性微分方程组
秦军林执笔
秦军林
《概率论与数理统计》教学大纲
PrbabilityTheoryandMathematicalStatistics
STAT2703
必修、基础理论课
48 学分：
二年级本科生
高等数学、线性代数
1、施雨、李耀武编，《概率论与数理统计应用》，西安交大出版社，1998。
2、复旦大学编，《概率论》，高教出版社，1987。
3、盛骤等编，《概率论与数理统计》，高教出版社，1996（浙大）。
4、龚冬保、王宁编，《概率统计典型题》，交大出版社2000。
本课程是工科学生的一门基础理论课。
概率统计是研究随机现象客观规律性的数学学科。
随着科学技术的发展以及人们对随机现象规律性认识的需要，概率统计的思想方法正日益渗透到自然科学和社会科学的众多领域中。
通过本课程的学习，使学生掌握概率统计的基本概念。
了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计分析和解决实际问题的能力。
要求学生理解并掌握随机事件与概率的计算理解并掌握随机变量及概率分布的性质，掌握随机变量的数学特征，了解大数定律，会用中心极限定理求近似概率，了解数理统计的基本概念，掌握参数估计及假设检验的基本理论和方法，并会用这些方法解决一些实际问题。
三、教学内容及要求（重点内容用“*”表示，了解内容“△”表示，不加记号者为掌握内容）
第一章随机事件与概率：
随机事件、概率、古典概率的计算△、条件概率*事件的独立性*
第二章随机变量及概率分布：
一维随机变量*、二维随机变量、随机变量的相互独立定性*、随机变量的函数的概率分布
第三章随机变量的数字特征：
数学期望*、方差*、矩、协方差与相关系数。
第四章大数定律与中心极限定理：
大数定律△，中心极限定理*
第五章数理统计学的基本概念：
总体与样本、样本分布△、统计量、抽样分布*
第六章参数估计：
点估计*、估计量的评选标准、区间估计、正态总体参数的区间估计*
第七章假设检验：
假设检验的基本概念、正态总体参数的假设检验*、单边假设检验、参数假设的大样本检验、分布假设检验△
四、课内学时分配（供参考）
章次
讲课学时
习题课学时
小计
随机事件与概率
随机变量及概率分布
随机变量的数字特征
大数定律与中心极限定理
数理统计学的基本概率
参数估计
假设检验
合计
28
48
大纲制定者：
王宁执笔
魏平
大纲校对者:
魏平
《概率论与随机过程》教学大纲
ProbabilityTheoryandStochasticProcess
MATH2028
高
升级会员 