专题五二次函数与幂函数高考数学一轮复习专题.docx

1、专题五二次函数与幂函数高考数学一轮复习专题专题五二次函数与幂函数一、题型全归纳题型一 幂函数的图象及性质 【题型要点】1巧识幂函数的图象和性质2.幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解【例1】已知幂函数yxm22m3(mN*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于

2、y轴对称，则m的所有可能取值为 【解析】因为幂函数yx m22m3 (mN*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，所以m22m30且m22m3(mN*)为偶数由m22m30得1m3，又mN*，所以m1，2，3，当m1时，m22m31234为偶数，符合题意；当m2时，m22m34433为奇数，不符合题意；当m3时，m22m39630为偶数，符合题意综上所述，m1，3.【例2】幂函数yf(x)的图象过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图象是()【解析】设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，所以24，解得，所以y，其定义域为0，)，且是增函数，当0x4ac；2ab

3、1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确故选B.命题角度二二次函数的单调性及最值问题【题型要点】二次函数的单调性及最值问题(1)类型：对称轴、区间都是给定的；对称轴动、区间固定；对称轴定、区间变动(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成【例1】求函数f(x)x22ax1在区间1，2上的最大值【解析】f(x)(xa)21a2

4、，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.当a时，f(x)maxf(2)4a5.当a即a时，f(x)maxf(1)22a，综上，f(x)max【例2】函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是 【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上递减知解得3a0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是【例1】已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是 【解析】作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x

5、)0，则有即解得mxk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为 【解析】由题意得x2x1k在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减所以g(x)ming(1)1.所以k0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.【例2】已知函数f(x)x22tx1在区间2，5上单调且有最大值为8，则实数t的值为 【解析】函数f(x)x22tx1图象的对称轴是xt，函数在区间2，5上单调，故t2或t5.若t2，则函数f(x)在区间2，5上是增函数，故f(x)maxf

6、(5)2510t18，解得t；若t5，则函数f(x)在区间2，5上是减函数，此时f(x)maxf(2)44t18，解得t，与t5矛盾综上所述，t.综上可知，a的值为或3.二、高效训练突破一、选择题1.(2020洛阳一中月考）抛物线yax2bxc的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的符号为()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0【解析】 由题意知抛物线开口向下，故a0.由抛物线与x轴的两个交点分别位于原点两侧得0.再由顶点在第一象限得0，所以b0.2二次函数f(x)ax2bx5满足条件f(1)f(3)，则f(2)的值为()A5

7、B6C8 D与a，b的值有关【解析】因为函数f(x)ax2bx5满足条件f(1)f(3)，所以f(x)ax2bx5的图象关于x1对称，则f(2)f(0)5.故选A.3.如图是yxa；yxb；yxc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()AcbaBabc Cbca Dacf(b)，则()Aa2b2 Ba2b2Cab【答案】A.【解析】：函数f(x)x(x2)，令tx2，易知yt，在第一象限为单调递增函数又f(a)f(b)，所以a2b2.故选A.5对任意的x2,1，不等式x22xa0恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0 B(，3C0，) D3，)【解析】设f(x)x22xa(x2,1)，

8、其对称轴为x1，所以当x1时，f(x)取得最大值3a，所以3a0，解得a3.故选D.6.(2020石家庄市模拟(一)若函数f(x)x2axb的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A在(，2)上递减，在2，)上递增 B在(，3)上递增C在1，3上递增 D单调性不能确定【解析】：由已知可得该函数图象的对称轴为x2，又二次项系数为10，所以f(x)在(，2)上是递减的，在2，)上是递增的7.(2020福建连城一模)已知函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2) D与x的值无关【解析】：由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x，因为

9、x1x20，所以直线xx1，xx2关于直线x0对称，由x1x2，结合二次函数的图象可知f(x1)f(x2)8.(2020甘肃甘谷一中第一次质检)若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0，4 B.C. D.【解析】：二次函数图象的对称轴为x，且，f(3)f(0)4，结合函数图象(如图所示)可得m9(2019襄阳五中期中)已知a，b，c，d都是常数，ab，cd.若f(x)2 019(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd【解析】 f(x)2 019(xa)(xb)x2(ab)xab2 019，又f(a)f(b)

10、2 019，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知cabd.故选D.10.(2019杭州测试)若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则实数a的取值集合为()A3,3 B1,3 C3,3 D1，3,3【解析】因为函数f(x)x22x1(x1)2的图象的对称轴为直线x1，f(x)在区间a，a2上的最小值为4，所以当a1时，f(x)minf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；当a1a2，即1a1时，f(x)minf(1)04.故a

11、的取值集合为3,3故选C.二、填空题1.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_【解析】依题意可设f(x)a(x2)21(a0)，又其图象过点(0,1)，所以4a11，所以a，所以f(x)(x2)21.2.(2020甘肃兰州一中月考)已知函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0，)上递减，则实数m 【解析】：根据幂函数的定义和性质，得m2m11.解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，符合题意；当m1时，f(x)x01在(0，)上不是减函数，所以m2.3.设函数f(x)mx2mx1，若对于xR，f(x)0恒成立，则实数m的取值

12、范围是 【解析】：当m0时，f(x)10，符合题意当m0时，f(x)为二次函数，则由f(x)0恒成立得即解得4m0.故实数m的取值范围是(4，04.若函数f(x)x22x1在区间a，a2上的最小值为4，则a的取值集合为 【解析】：因为函数f(x)x22x1(x1)2，对称轴x1，因为f(x)在区间a，a2上的最小值为4，所以当1a时，f(x)minf(a)(a1)24，解得a1(舍去)或a3，当a21，即a1时，f(x)minf(a2)(a1)24，解得a1(舍去)或a3，当a1a2，即1a1时，f(x)minf(1)04，故a的取值集合为.5.(2020重庆(区县)调研测试)已知函数f(x)

13、2x2mx3(0m4，0x1)的最大值为4，则m的值为 【解析】：f(x)2x2mx323，因为0m4，所以01，所以当x时，f(x)取得最大值，所以34，解得m2.6.(2019河北师大附中期中)若函数f(x)mx22x3在1，)上单调递减，则实数m的取值范围为_【解析】当m0时，f(x)2x3在R上单调递减，符合题意；当m0时，函数f(x)mx22x3在1，)上单调递减，只需对称轴x1，且m0，解得1m0，综上，实数m的取值范围为1,07.定义：如果在函数yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均

14、值点，如yx4是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是 【解析】：因为函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf(x0)，即关于x0的方程xmx01m在(1，1)内有实数根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0，2)三、解答题1.(2019杭州模拟)已知值域为1，)的二次函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且方程f(x)0的两个实根x1，x2满足|x1x2|2.(1)求f(x)的表达式；(2)函数g(x)f(x)kx在区间1,2上的最大值为f(2)，最

15、小值f(1)，求实数k的取值范围【解析 (1)由f(1x)f(1x)可得f(x)的图象关于直线x1对称，设f(x)a(x1)2hax22axah(a0)，由函数f(x)的值域为1，)，可得h1，根据根与系数的关系可得x1x22，x1x21，所以|x1x2|2，解得a1，所以f(x)x22x.(2)由题意得函数g(x)在区间1,2上单调递增，又g(x)f(x)kxx2(k2)x.所以g(x)的对称轴方程为x，则1，即k0，故k的取值范围为(，02.(2020辽宁第一次联考)已知幂函数f(x)(m1)2xm24m3(mR)在(0，)上单调递增(1)求m的值及f(x)的解析式；(2)若函数g(x)2

16、ax1a在0，2上的最大值为3，求实数a的值【解析】：(1)幂函数f(x)(m1)2x m24m3 (mR)在(0，)上单调递增，故解得m0，故f(x)x3.(2)由f(x)x3，得g(x)2ax1ax22ax1a，函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为xa.因为在0，2上的最大值为3，所以当a2时，g(x)在0，2上单调递增，故g(x)maxg(2)3a33，解得a2.当a0时，g(x)在0，2上单调递减，故g(x)maxg(0)1a3，解得a2.当0a1)(1)若函数f(x)的定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有

17、|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围【解析】：(1)因为f(x)x22ax5在(，a上为减函数，所以f(x)x22ax5(a1)在1，a上单调递减，即f(x)maxf(1)a，f(x)minf(a)1，所以a2或a2(舍去)即实数a的值为2.(2)因为f(x)在(，2上是减函数，所以a2.所以f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线xa，所以f(x)minf(a)5a2，f(x)maxmaxf(1)，f(a1)，又f(1)f(a1)62a(6a2)a(a2)0，所以f(x)maxf(1)62a.因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，即62a(5a2)4，解得1a3.又a2，所以2a3.即实数a的取值范围为2a3.